二次函數(shù)與平行四邊形綜合

/第十八講二次函數(shù)與平行四邊形綜合教學(xué)內(nèi)容二次函數(shù)的表示,二次函數(shù)圖像與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)和判定；函數(shù)圖像與平行四邊形的綜合應(yīng)用.典型應(yīng)用、圖像題；例題細(xì)看已知：如圖.在平面直角坐標(biāo)系中.直線與x軸、軸的交點(diǎn)分別為.將對(duì)折.使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上.折痕交軸于點(diǎn)〔1直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).并求過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析式；〔2若拋物線的頂點(diǎn)為.在直線上是否存在點(diǎn).使得四邊形為平行四邊形？若存在.求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在.說(shuō)明理由；〔3設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)為為線段上一點(diǎn).直接寫出的取值范圍.[考點(diǎn)分析]二次函數(shù)綜合題[PEC分析]〔1點(diǎn)A的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)為0.得橫坐標(biāo)為8.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔8.0；點(diǎn)B的坐標(biāo)是橫坐標(biāo)為0.解得縱坐標(biāo)為6.所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0.6；由題意得：BC是∠ABO的角平分線.所以O(shè)C=CH.BH=OB=6∵AB=10.∴AH=4.設(shè)OC=x.則AC=8-x由勾股定理得：x=3∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔3.0將此三點(diǎn)代入二次函數(shù)一般式.列的方程組即可求得；〔2求得直線BC的解析式.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì).對(duì)角相等.對(duì)邊平行且相等.借助于三函數(shù)即可求得；〔3如圖.由對(duì)稱性可知QO=QH.|QA-QO|=|QA-QH|．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí).Q、H、A三點(diǎn)共線.|QA-QO|取得最大值4〔即為AH的長(zhǎng)；設(shè)線段OA的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)為K.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)K重合時(shí).|QA-QO|取得最小值0．[跟蹤練習(xí)]例1.<XX義烏市>如圖.拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)〔A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè).直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn).其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．〔1求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；〔2P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn).求線段PE長(zhǎng)度的最大值；A〔3點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).在x軸上是否存在點(diǎn)F.使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在.求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由．A如圖.點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn).以為一邊作矩形.點(diǎn)在第二象限.且．矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得矩形．過(guò)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn).．拋物線過(guò)點(diǎn)、、且和直線交于點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作軸.垂足為點(diǎn)．⑴求的值；⑵點(diǎn)位置改變時(shí).的面積和矩形的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由．[PEC分析]〔1由題意知OB=2OA=2n.在直角三角形AEO中.OF=OB-BF=-2n-AF.因此可用勾股定理求出AF的表達(dá)式.也就求出了FB的長(zhǎng).由于F的坐標(biāo)為〔0.m據(jù)此可求出m.n的關(guān)系式.可用n替換掉一次函數(shù)中m的值.然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出k的值．〔2思路同〔1一樣.先用n表示出E、F、G的坐標(biāo).然后代入拋物線的解析式中.得出a.b.c與n的函數(shù)關(guān)系式.然后用n表示出二次函數(shù)的解析式.進(jìn)而可用n表示出H點(diǎn)的坐標(biāo).然后求出△AMH的面積和矩形AOBC的面積進(jìn)行比較即可．圖4[跟蹤練習(xí)]〔1在圖1.2.3中.給出平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)〔如圖所示.寫出圖1.2.3中的頂點(diǎn)的坐標(biāo).它們分別是..；圖4圖1圖1圖2圖3〔2在圖4中.給出平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)〔如圖所示.求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)〔點(diǎn)坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示；歸納與發(fā)現(xiàn)〔3通過(guò)對(duì)圖1.2.3.4的觀察和頂點(diǎn)的坐標(biāo)的探究.你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置.當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔如圖4時(shí).則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為運(yùn)用與推廣在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線和三個(gè)點(diǎn).〔其中．問(wèn)當(dāng)為何值時(shí).該拋物線上存在點(diǎn).使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)．如圖1.中...點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)、分別在線段、上.且使得四邊形是矩形．設(shè)的長(zhǎng)為.矩形的面積為.已知是的函數(shù).其圖象是過(guò)點(diǎn)的拋物線的一部分〔如圖2所示．〔1求的長(zhǎng)；〔2當(dāng)為何值時(shí).矩形的面積最大.并求出最大值．為了解決這個(gè)問(wèn)題.孔明和研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)作了如下討論：張明：圖2中的拋物線過(guò)點(diǎn)在圖1中表示什么呢？李明：因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)是表示圖1中的長(zhǎng)與矩形面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系.那么表示當(dāng)時(shí).的長(zhǎng)與矩形面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系.趙明：對(duì).我知道縱坐標(biāo)36是什么意思了！孔明：哦.這樣就可以算出.這個(gè)問(wèn)題就可以解決了.請(qǐng)根據(jù)上述對(duì)話.幫他們解答這個(gè)問(wèn)題.[考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)]本題結(jié)合三角形、矩形的相關(guān)知識(shí)考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.用數(shù)形結(jié)合的思路求得相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵[PEC分析]〔1由于y是x的函數(shù)且過(guò)〔12.36點(diǎn).即AP=12時(shí).矩形的面積為36.可求出PQ的長(zhǎng).進(jìn)而在直角三角形BPQ中得出BP的值.根據(jù)AB=AP+BP即可求出AB的長(zhǎng)．〔2與〔1類似.可先用AP表示出BP的長(zhǎng).然后在直角三角形BPQ中.表示出PQ的長(zhǎng)；根據(jù)矩形的面積計(jì)算方法即可得出關(guān)于y.x的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)求出矩形的最大面積以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．[跟蹤練習(xí)]如圖.已知與軸交于點(diǎn)和的拋物線的頂點(diǎn)為.拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱.頂點(diǎn)為．〔1求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2已知原點(diǎn).定點(diǎn).上的點(diǎn)與上的點(diǎn)始終關(guān)于軸對(duì)稱.則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí).以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？〔3在上是否存在點(diǎn).使是以為斜邊且一個(gè)角為的直角三角形？若存.求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在.說(shuō)明理由．11234554321如圖.在矩形中.已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.為的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)重合．〔1試證明：無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處.總與相等；〔2當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)的距離最小時(shí).試確定過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析式；〔3設(shè)點(diǎn)是〔2中所確定拋物線的頂點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí).的周長(zhǎng)最小？求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長(zhǎng)；〔4設(shè)點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心.是否存在點(diǎn).使？若存在.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．。[PEC分析]本題綜合考查了三角形全等、一次函數(shù)、二次函數(shù).及線段最短和探索性的問(wèn)題．〔1通過(guò)△POC≌△POD而證得PC=PD．〔2首先要確定P點(diǎn)的位置.再求出P、F兩點(diǎn)坐標(biāo).利用待定系數(shù)法求的拋物線解析式；〔3此問(wèn)首先利用對(duì)稱性確定出P點(diǎn)位置是EC與∠AOC的平分線的交點(diǎn).再利用拋物線與直線CE的解析式求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)．進(jìn)而求的△PED的周長(zhǎng)；〔4要使∠CPN=90°.則P點(diǎn)是以CN的中點(diǎn)為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點(diǎn).由此就易于寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖.已知拋物線：的圖象與軸相交于兩點(diǎn).是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)<不與重合>.拋物線與關(guān)于軸對(duì)稱.以為對(duì)角線的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為．〔1求的解析式；〔2求證：點(diǎn)一定在上；〔3平行四邊形能否為矩形？如果能為矩形.求這些矩形公共部分的面積〔若只有一個(gè)矩形符合條件.則求此矩形的面積；如果不能為矩形.請(qǐng)說(shuō)明理由．〔注：計(jì)算結(jié)果不取近似值．[PEC分析]〔1根據(jù)l1的解析式可求l1與x軸的交點(diǎn)為A〔-2.0.C〔2.0.頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔0.-4.l2與l1關(guān)于x軸對(duì)稱.實(shí)際上是l2與l1的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.即l2的頂點(diǎn)為〔0.4.設(shè)頂點(diǎn)式.可求拋物線l2的解析式；〔2平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.則B、D也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)點(diǎn)B〔m.n.則點(diǎn)D〔-m.-n.由于B〔m.n點(diǎn)是y=x2-4上任意一點(diǎn).則n=m2-4.∴-n=-〔m2-4=-m2+4=-〔-m2+4.可知點(diǎn)D〔-m.-n在l2y=-x2+4的圖象上；〔3構(gòu)造∠ABC=90°是關(guān)鍵.連接OB.只要證明OB=OC即可.為求OB長(zhǎng).過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H.用B的坐標(biāo)為〔x0.x02-4.可求OB.用OB=OC求x0.再計(jì)算面積．[跟蹤練習(xí)]如圖.已知拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是..．〔1求拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式；〔2設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為.拋物線與軸分別交于.兩點(diǎn)<點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)>.頂點(diǎn)為.四邊形的面積為．若點(diǎn).點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí).點(diǎn).點(diǎn)同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng).直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止．求出四邊形的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系式.并寫出自變量的取值范圍；〔3當(dāng)為何值時(shí).四邊形的面積有最大值.并求出此最大值；〔4在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中.四邊形能否形成矩形？若能.求出此時(shí)的值；若不能.說(shuō)明理由．課堂一試1.如圖.在直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)為函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn).點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線過(guò)且與軸平行.過(guò)作軸的平行線分別交軸、直線于.連結(jié)交軸于.直線交軸于．⑴求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；⑵求證：四邊形為菱形；⑶除點(diǎn)外.直線與拋物線有無(wú)其它公共點(diǎn)？若有.求出其它公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有.請(qǐng)說(shuō)明理由．2.如圖.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi).以軸為對(duì)稱軸的拋物線經(jīng)過(guò)直線與軸的交點(diǎn)和點(diǎn)．〔1求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；〔2將〔1中所求拋物線沿軸平移．①在題目所給的圖中畫出沿軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線大致圖象；②設(shè)沿軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱軸與直線相交于點(diǎn)．判斷以為圓心.為半徑的圓與直線的位置關(guān)系.并說(shuō)明理由；〔3點(diǎn)是沿軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)。求點(diǎn)的坐標(biāo).使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．yyxABBOM3.如圖所示.在平面直角坐標(biāo)系中.矩形的邊在軸的負(fù)半軸上.邊在軸的正半軸上.且..矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到矩形．點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn).拋物線過(guò)點(diǎn)．〔1判斷點(diǎn)是否在軸上.并說(shuō)明理由；〔2求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔3在軸的上方是否存在點(diǎn).點(diǎn).使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍.且點(diǎn)在拋物線上.若存在.請(qǐng)求出點(diǎn).點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由．yyxODECFAB4.如圖10.已知拋物線P：y=ax2+bx+c<a≠0>與x軸交于A、B兩點(diǎn)<點(diǎn)A在x軸的正半軸上>.與y軸交于點(diǎn)C.矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上.頂點(diǎn)F、G分別在線段BC、AC上.拋物線P上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：x…-3-212…y…--4-0…圖10<1>求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；圖10<2>若點(diǎn)D的坐標(biāo)為<m.0>.矩形DEFG的面積為S.求S與m的函數(shù)關(guān)系.并指出m的取值范圍；<3>當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí).連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M.使FM=k·DF.若點(diǎn)M不在拋物線P上.求k的取值范圍.5.如圖.平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH.點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔－8.0.點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔－6.－4．〔1畫出直角梯形OMNH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC.并寫出頂點(diǎn)A.B.C的坐標(biāo)〔點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A.點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B.點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C；〔2求出過(guò)A.B.C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；〔3截取CE=OF=AG=m.且E.F.G分別在線段CO.OA.AB上.求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在.請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由；〔4在〔3的情況下.四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況.若存在.請(qǐng)直接寫出此時(shí)m的值.并指出相等的鄰邊；若不存在.說(shuō)明理由．6.如圖1.在平面直角坐標(biāo)系中.有一張矩形紙片OABC.已知O<0.0>.A<4.0>.C<0.3>.點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)<與點(diǎn)O、A不重合>．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折.得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E.將△POE沿PE翻折.得到△PFE.并使直線PD、PF重合．<1>設(shè)P<x.0>.E<0.y>.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.并求y的最大值；<2>如圖2.若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上.求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；<3>在<2>的情況下.在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q.使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在.說(shuō)明理由；若存在.求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．圖1圖1圖2課后有練1.如圖.矩形ABCD中.AB＝3.BC＝4.將矩形ABCD沿對(duì)角線A平移.平移后的矩形為EFGH〔A、E、C、G始終在同一條直線上.當(dāng)點(diǎn)E與C重時(shí)停止移動(dòng)．平移中EF與BC交于點(diǎn)N.GH與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M.EH與DC交于點(diǎn)P.FG與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．設(shè)S表示矩形PCMH的面積.表示矩形NFQC的面積．〔1S與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．〔2設(shè)AE＝x.寫出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式.并求出x取何值時(shí)S有最大值.最大值是多少？〔3如圖11.連結(jié)BE.當(dāng)AE為何值時(shí).是等腰三角形．圖11圖11圖102.如圖12.四邊形OABC為直角梯形.A〔4.0.B〔3.4.C〔0.4．點(diǎn)從出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí).另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn).連結(jié)AC交NP于Q.連結(jié)MQ．〔1點(diǎn)〔填M或N能到達(dá)終點(diǎn)；〔2求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.并寫出自變量t的取值范圍.當(dāng)t為何值時(shí).S的值最大；〔3是否存在點(diǎn)M.使得△AQM為直角三角形？若存在.求出點(diǎn)M的坐標(biāo).若不存在.說(shuō)明理由．圖12圖123..已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩