初二上學(xué)期角平分線常見輔助線做法名師(完整版)資料

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初二上學(xué)期角平分線常見輔助線做法名師（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）教學(xué)目標(biāo)全等三角形幾種常見輔助線的做法重難點導(dǎo)航全等三角形幾種常見輔助線的做法總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個角之間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2.倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用“截長法”或“補短法”：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.圖形補全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。倍長中線（線段）造全等遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．例1、已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.二、截長補短截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2、如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC3、如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC應(yīng)用：三、借助角平分線造全等遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2、如圖所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于F。求證：3、如圖，AB>AC,∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。112ACDB應(yīng)用：1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDFOPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③四、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．1、如圖5所示，有一塊三角形的空地，其三邊長分別為20m、30m、40m，現(xiàn)在要把它分成面積比為2：3：4的三部分，分別種植不同的花。請你設(shè)計出一個方案，并說明你的理由。圖5圖5圖6解答題專項訓(xùn)練（5）——平行線（輔助線）1.如圖，AB∥CD，∠B=72°，∠D=32°，求∠F的度數(shù)．

如圖，已知AB∥CD，且∠AEF=150°，∠DGF=60°．

(1)試判斷EF和FG的位置關(guān)系．

(2)你能說明你的理由嗎？

已知：如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度數(shù)．

如圖，AB∥DC，增加折線條數(shù)，相應(yīng)角的個數(shù)也會增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之間又會有何關(guān)系？

如圖，已知直線a∥b，直線m和直線a、b交于點C和D，點A在直

線a上，點B在直線b上，點P在直線m上，且點A、B的位置不變，記∠PAC=α，∠APB=β，∠PBD=γ．

（1）當(dāng)點P在C、D之間運動時，問α、β、γ之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

（2）當(dāng)點P在C、D兩點的外側(cè)運動時（P點與點C、D不重合），試探索α、β、γ之間的數(shù)量關(guān)系是______（直接寫出答案）．

如圖，AB∥CD，P為定點，E、F分別是AB、CD上的動點．

（1）求證：∠P=∠BEP+∠PFD；

（2）若M為CD上一點，MN交PF于N．證明：∠PNM=∠NMF+∠NFM；（說明：不能運用三角形內(nèi)角和定理）

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若∠FMN=∠BEP，試說明∠EPF與∠PNM的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

如圖，點A，B分別在直線CM，DN上，CM∥DN．

（1）如圖1，連接AB，則∠CAB+∠ABD=______度（直接寫出結(jié)果）；

（2）如圖2，點P1是直線CM、DN之間的一個點，連接AP1、BP1．求：∠CAP1+AP1B+∠P1BD的值（寫出求解過程）；

（3）如圖3，點P1、P2是直線CM、DN之間的兩個點，連接AP1、P1P2、P2B．求：∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD=______度（直接寫出結(jié)果）．

如圖，AB∥CD，直線a交AB、CD分別于點E、F，點M在EF上，p是直線CD上的一個動點，（點P不與F重合）

（1）當(dāng)點P在射線FC上移動時，如圖（1），∠FMP+∠FPM=∠AEF成立嗎？請說明理由．

（2）當(dāng)點P在射線FD上移動時，如圖（2），∠FMP+∠FPM與∠AEF有什么關(guān)系？說明你的理由．

9.如圖（1），AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．

解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°

理由：過點P作EF∥AB，

∴∠B+∠BPE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD，（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．）

∴∠EPD+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°

∴∠B+∠BPD+∠D=360°

（1）依照上面的解題方法，觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．

（2）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．

全等三角形中做輔助線技巧要點大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①從角平分線上一點向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CM>AB-AC已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。如圖2-2，在△ABC中，∠A=90

，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。已知如圖2-3，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15

，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，則PD=（）A4B3C2D12．已知在△ABC中，∠C=90

，AD平分∠3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180

。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BC上的點，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90

,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）分析：延長CD交AB于點E，則可得全等三角形。問題可證。已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90

，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB12ACDB例5如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。BBDCAABECD例6如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分ABECD練習(xí)：1.已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。CCAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACABABDC123．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CDAAEBDC4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+ADAABCD二、由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點,求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC。在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC>∠BAC。分析：因為∠BDC與∠BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB-AC>PB-PC。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+DAECB例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCDCBAMBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DMMBDCA【夯實基礎(chǔ)】例：中，AD是的平分線，且BD=CD，求證AB=AC方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中方式1：延長AD到E，AD是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長作CF⊥AD于F，延長MD到N，作BE⊥AD的延長線于E使DN=MD，連接BE連接CD【經(jīng)典例題】例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過D作DG∥AE交BC于G，證明ΔDGF≌ΔCEF方法2：過E作EG∥AB交BC的延長線于G，證明ΔEFG≌ΔDFB方法3：過D作DG⊥BC于G，過E作EH⊥BC的延長線于H證明ΔBDG≌ΔECH例3：已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF提示：倍長AD至G，連接BG，證明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，過D作交AE于點F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長FE至H，連結(jié)CH例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE提示：倍長AE至F，連結(jié)DF證明ΔABE≌ΔFDE（SAS）進而證明ΔADF≌ΔADC（SAS）【融會貫通】1、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC2、如圖，AD為的中線，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F.求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG證明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ED至H，連結(jié)CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，過D作DE//AB交BC于E，求證：CT=BE.提示：過T作TN⊥AB于N證明ΔBTN≌ΔECD1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。EEDCBA2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE四、由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因為AD是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。∴ΔCDF的面積為。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點定義）∠1=∠5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）∠1=∠2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。練習(xí)：1如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點，求AD的取值范圍。BBADC862如圖，AB=CD，E為BC的中點，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。BEBECDA3如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AM⊥DC。DDMCDEDADBD4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。ABDCABDCEF常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．（二）、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點E，求證;AB＝AC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖①中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；如圖②中，若∠ABC＝2∠C，如果延長線CB到D，使BD＝BA，連結(jié)AD，則△ADC是等腰三角形；BCDA①②BCDA③BCDA如圖③中，若∠B＝2∠ACB，如果以BCDA①②BCDA③BCDADCBA1、如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求證：∠DBC＝∠DCBAABC2、如圖，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求證：∠A＝90ABC二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，則△ACE是等腰三角形；如圖②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，則△ADE是等腰三角形；如圖③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，則△ACE是等腰三角形；①ADCBE②ECBDA①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG3、如圖，△ABC中，AB＝AC，在AC上取點P，過點P作EF⊥BC，交BA的延長線于點E，垂足為點F.求證：.AE＝AP.FFBACPEFCDEBA4、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CDFCDEBA求證：EF∥AB.E圖1AE圖1ABCD當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，則△AEC是等腰三角形.5、如圖2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于D。求證：BF＝2CD.圖2圖2BFDCA四：其他方法總結(jié)1．截長補短法ABCDABCDE求證：AB+BE=AC．2．倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。E