歐幾里得空間

歐幾里得空間1第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六一、基本內(nèi)容首頁上頁下頁返回結(jié)束1.基本概念(1)內(nèi)積與歐氏空間概念(4個(gè)條件)(2)向量的長度、距離與夾角長度：距離：夾角：2第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六(3)度量矩陣首頁上頁下頁返回結(jié)束3第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六(4)標(biāo)準(zhǔn)正交基由兩兩正交的單位向量組成的基.(5)正交子空間(6)歐氏空間的同構(gòu)同構(gòu)映射保持運(yùn)算(加法、數(shù)乘、內(nèi)積)首頁上頁下頁返回結(jié)束4第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束2.基本性質(zhì)設(shè)V為歐氏空間,對于V的內(nèi)積,有:關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基,有:(4)正交向量組是線性無關(guān)的.5第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束3.標(biāo)準(zhǔn)正交基下基本度量的表達(dá)式6第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束7第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束4.標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性與正交化方法8第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束5.正交變換與正交矩陣9第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣;首頁上頁下頁返回結(jié)束10第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束6.對稱變換與對稱矩陣(2)實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).(1)對稱變換的特征值都是實(shí)數(shù).主要結(jié)論:11第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束12第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六二、基本解題方法首頁上頁下頁返回結(jié)束2.學(xué)習(xí)歐氏空間,要抓住“內(nèi)積”這個(gè)概念.內(nèi)積實(shí)際上是定義在線性空間V上的二元實(shí)函數(shù).它滿足對稱性、線性性、非負(fù)性.1.歐氏空間是一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間,對于線性空間的一些基本概念,比如向量的線性相關(guān)性、基、維數(shù)、坐標(biāo)、子空間以及有關(guān)性質(zhì),對歐氏空間都適用.

注:同一個(gè)線性空間對不同的內(nèi)積,所作成的歐氏空間一般是不同的.13第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六

3.對有限維歐氏空間的討論,標(biāo)準(zhǔn)正交基是核心,在標(biāo)準(zhǔn)正交基下,向量的度量性質(zhì)顯得較為簡單.

4.用正交化方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基,可以從一組基出發(fā),先正交化,得正交基,再單位化(即正交化與單位化分開進(jìn)行).也可以在正交化過程中的每一步,將所得的向量單位化(即標(biāo)準(zhǔn)化).5.利用線性變換與矩陣的密切關(guān)系、內(nèi)積、標(biāo)準(zhǔn)正交基來研究歐氏空間中的兩類重要的線性變換-正交變換和對稱變換.首頁上頁下頁返回結(jié)束14第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六三、例題選講首頁上頁下頁返回結(jié)束15第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束16第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束17第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束18第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束19第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束20第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束21第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束22第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束23第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束24第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束25第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束26第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束27第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束28第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束29第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束30第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束31第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束32第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束33第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束34第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束35第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返回結(jié)束36第三十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期六首頁上頁下頁返