波動方程初值問題與行波法

波動方程初值問題與行波法第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日行波法——d’Alembert公式

d’Alembert(1717.11.17~1783.10.29)

法國著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，最著名的有8卷巨著《數(shù)學(xué)手冊》、力學(xué)專著《動力學(xué)》、23卷的《文集》、《百科全書》的序言等。他的很多研究成果記載于《宇宙體系的幾個要點研究》中。第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一維波動方程定解問題無界弦自由振動*無界弦強(qiáng)迫振動半無界弦自由振動*半無界弦強(qiáng)迫振動三維波動方程定解問題二維波動方程的定解問題球?qū)ΨQ情形*一般情形球面平均法行波法降維法有限弦振動問題第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日§3.1

一維波動方程初始位移，初始速度

的無界弦自由振動初值問題(Cauchy問題)一.d’Alembert公式推導(dǎo)第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日我們可以求出方程的通解,考慮變量代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得為什么？第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日同理可得：將兩式代入原方程,可得：連續(xù)積分兩次得其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日注：

是方程

的通解,它包含兩個任意函數(shù)。對無限長的自由振動,利用初始條件,則：第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日兩端對

x

積分，可得：第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日由此即得原定解問題的解:無限長弦自由振動的達(dá)朗貝爾(d’Alembert)公式.第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日行波法小結(jié)(注：行波法僅適用于雙曲型方程)3.變量替換：1.波動方程：2.特征方程與特征根：4.解方程：5.利用初始條件解F、G：第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日例1：求解無界自由振動波動方程柯西問題：解：由達(dá)朗貝爾公式：第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日例2：解定解問題:解:

第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日例3：求解波動方程柯西問題解：由達(dá)朗貝爾公式：第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日例4：求二階線性偏微分方程初值問題的解解:先確定所給方程的特征曲線。特征方程為：或者

第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日它的兩族積分曲線為做特征變換容易驗證，經(jīng)過變換原方程化成它的通解為第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，即有把這個函數(shù)代入到條件

第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日代入到得原問題的解為：

第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日例5求二階線性偏微分方程的通解

解：特征方程為

積分曲線為：第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日經(jīng)過變換原方程化成所以,令為原問題的通解，其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日二.d’Alembert公式物理意義1.考慮若的圖形已經(jīng)給定，那么，隨著時間t

的推移，的圖形以速度a向x軸正方向平行移動,故稱齊次波動方程形如的解為右行波。2,表示一個以速度a

向x軸負(fù)方向傳播的行波，且傳播過程中，波形也不變化。

稱為左行波。

第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日考慮：的物理意義,如圖給出的特例行波速度：弦拉的越緊,波傳播速度越快;密度越小,波傳播越快P9第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a

的波的疊加，故稱為行波法。(2)只有初始速度時：(1)只有初始位移時，代表以速度a沿x軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日依賴區(qū)間三.依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域區(qū)間為解的依賴區(qū)間。u(x,t)

僅僅依賴于內(nèi)的初始條件，在區(qū)間以外改變初始數(shù)據(jù)時，解的值不變。它是過（x，t）點，斜率為的直線與x

軸所截而得到的區(qū)間（如右圖）。1.依賴區(qū)間第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日該區(qū)域中任一點(x,t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間[c,d]內(nèi)部，因此解在此該區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間[c,d]上的初始條件決定。該區(qū)域稱為區(qū)間[c

,d]的決定區(qū)域。在區(qū)間[c

,d]上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中確定初值問題的解。決定區(qū)域2.決定區(qū)域第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日3.影響區(qū)域如果在初始時刻t＝0，擾動僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時間t后，擾動傳到的范圍為定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域。影響區(qū)域第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間小結(jié)：特征線特征變換第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日分析其物理意義表明,在xot

平面上斜率為的兩族直線：對一維波動方程研究起重要作用，稱這兩族直線為一維波動方程的特征線。波動沿特征線傳播。稱為特征變換,行波法也叫特征線法。自變量變換4.行波法又叫特征線法第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日注：容易看出,一維波動方程的兩族特征線恰好是常微分方程的解。

這個常微分方程稱為波動方程的特征方程。

第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日一維非齊次波動方程柯西問題的Kirchihoff公式.四.無界弦受迫振動問題第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日例：解：第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日我們先考慮情形，即端點固定的振動。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來求解五.半無界弦的自由振動問題第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日為此，我們要作奇延拓(有時也作偶延拓)：第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日

半無界問題的解為：當(dāng)時：當(dāng)時：當(dāng)在

x=0

處有一個自由端，即：則需要作偶延拓。第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期日例當(dāng)當(dāng)?shù)谌屙摚踩隧?，編輯?023年，星期日§4.2

三維波動方程柯西問題的解

一.三維波動方程和球?qū)ΨQ解r第三十六頁，共三十八頁，編輯于20