機械工程控制基礎系統(tǒng)的穩(wěn)定性

機械工程控制基礎系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念Ab、不穩(wěn)定的擺AAA″a、穩(wěn)定的擺1、穩(wěn)定的概念

穩(wěn)定性示例第二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六原理：外力->閥芯初始位移Xi(0)，閥口2、4打開->活塞右移(隨動)->閥口關閉(回復平衡位置)(反饋)->活塞繼續(xù)右移（慣性）->閥口1,3開啟->活塞左移->閥口關閉-活塞繼續(xù)左移（慣性）->閥口2,4開啟……1)隨動：活塞跟閥芯運動。2)反饋與慣性：引起振蕩。3)振蕩結(jié)果與外界無關。第三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六結(jié)論：1)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，取決于系統(tǒng)本身（結(jié)構(gòu)和參數(shù)），與輸入無關。2)不穩(wěn)定現(xiàn)象的存在是由于反饋作用。3)穩(wěn)定性是指自由響應的收斂性。第四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

穩(wěn)定性定義原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動作用后都會偏離原來的平衡狀態(tài)。若系統(tǒng)在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過渡過程后，系統(tǒng)仍然能夠回復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是（漸近）穩(wěn)定的。否則，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關。若系統(tǒng)不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。第五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定一定意味著大范圍穩(wěn)定，當然此時系統(tǒng)必須工作在其線性范圍內(nèi)。

穩(wěn)定程度臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。a)穩(wěn)定b)臨界穩(wěn)定c)不穩(wěn)定第六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六處于臨界穩(wěn)定，或接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，由于分析時依賴的模型通常是簡化或線性化的，或者由于實際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性等因素的影響，在實際中可能成為不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量，以保證其在實際工作時處于穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。第七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六2、穩(wěn)定的條件假設系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t時，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。第八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六考慮系統(tǒng)其特征方程為：對于特征方程的單實根-，相應瞬態(tài)輸出為：當-

<0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。當-

>0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當-=0時，該輸出分量為常數(shù)。第九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六對于特征方程的一對單復根-+j，相應瞬態(tài)輸出為：其中，

=arctgB/C。當-

<0時，該分量為指數(shù)衰減的振蕩過程。當-

>0時，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過程。當-

=0時，該分量為等幅振蕩。第十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六對于r重實根-，相應的時域分量為：當-

<0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。當-

>0時，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當-=0時，該輸出分量多項式遞增。對于一對r重復根-+j，相應的時域分量為：當-

<0時，該分量為指數(shù)衰減的振蕩過程。當-

>0時，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過程。當-

=0時，該分量為多項式發(fā)散的振蕩過程。第十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負數(shù)或具有負的實數(shù)部分；即：所有特征根均在復數(shù)平面的左半部分。

由于特征根就是系統(tǒng)的極點，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點均在s平面的左半平面。顯然，穩(wěn)定性與零點無關。

系統(tǒng)穩(wěn)定的判別方法：1)特征方程－＞根的分布；2)開環(huán)傳遞函數(shù)->閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；第十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六二、勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)的特征方程為：其中，pi(i=0,1,2,…,n)為系統(tǒng)的特征根。

優(yōu)點：無需求解特征根，直接通過特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這是一種代數(shù)判據(jù)，依據(jù)根與系統(tǒng)的關系來判斷根的分布。第十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六由根與系數(shù)的關系可以求得：第十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六若使全部特征根pi若均具有負實部，則要求特征方程的各項系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)均大于零，即：注意，該條件僅為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。ai>0(i=0,1,2,…,n)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件——勞斯穩(wěn)定判據(jù)其中，ai>0(i=0,1,2,…,n)，即滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。考慮系統(tǒng)的特征方程：勞斯穩(wěn)定判據(jù)的判別過程如下：第十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

列出勞斯陣列…sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 ………s2

e1

e2s1

f1s0

g1…………第十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六在上述計算過程中，為了簡化數(shù)學運算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一整行，這時并不改變系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。

用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號，如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、……的符號相同，則表示系統(tǒng)具有正實部特征根的個數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)。通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。第十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

例題設系統(tǒng)的特征方程為：應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯陣列如下：s3 1

100s2 4

500s1 -250s0 500 0勞斯陣列第一列中元素符號改變了兩次，表明系統(tǒng)具有兩個正實部的極點，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。事實上系統(tǒng)包含了三個極點0.406+j10.185、0.406-j10.185、-4.812第十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)

二階系統(tǒng)勞斯陣列為：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：第十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

三階系統(tǒng)勞斯陣列為：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3從而，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的各項系數(shù)大于零，且：a1a2-a0a3>0第二十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

例題例1：系統(tǒng)方框圖如下，試確定開環(huán)增益K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定。Xi(s)Xo(s)解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第二十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六由三階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，有：此系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，特征方程為：即：當0<K<30時系統(tǒng)穩(wěn)定。第二十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六例2：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)穩(wěn)定時K和T的取值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：第二十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

勞斯陣列的特殊情況

勞斯陣列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各項不等于零或不全為零。處理方法：用一個很小的正數(shù)

代替該行第一列的零，并據(jù)此計算出陣列中的其余各項。然后令

0，按前述方法進行判別。

如果零(

)上下兩項的符號相同，則系統(tǒng)存在一對虛根，處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果零(

)上下兩項的符號不同，則表明有一個符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第二十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六例如：s4 1 3 2s3 3 3 0 1 1 0s2 2 2 1 1s1 (0)s0 1勞斯陣列第一列零()上下兩項的符號相同，表明系統(tǒng)有一對虛根。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。事實上，系統(tǒng)特征根如下：－1、－2、±j第二十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

勞斯陣列表某一行全為零勞斯陣列出現(xiàn)全零行表明系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根，即存在大小相等符號相反的實根和（或）一對共軛虛根和（或）對稱于實軸的兩對共軛復根；或存在更多這種大小相等，但在s平面位置徑向相反的根。j0-aaj0-jajaj0-aa-jbjb第二十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六令輔助多項式等于零得到輔助方程，解此方程可得這些成對的特征根。顯然，輔助多項式的階次總是偶數(shù)。處理方法：利用該零行上面一行元素構(gòu)成輔助多項式，取輔助多項式導數(shù)的系數(shù)代替該零行，繼續(xù)計算勞斯陣列中其余各項。例如：第二十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六-1、-1±j2、-1±j、1±j顯然，系統(tǒng)不穩(wěn)定。其特征根如下：s7 1 7 4 28s6 3 5 12 20s5 16/3 0 64/3 0 1 0 4 0s4 5 0 20 1 0 4s3

0 0 4 0s2

(0) 4s1 -16/s0 4第二十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)相對穩(wěn)定性可通過極點距虛軸的距離來表征。為了使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應，常希望極點與虛軸具有一定的距離。為此，可將原s

平面虛軸向左平移期望的最小距離a，即用s–a替換原特征方程中的s，得到新的特征方程，再利用勞斯判據(jù)即可判斷系統(tǒng)的特征根是否位于垂線s=–a的左邊。例如：已知若要求特征根得實部均小于-1，判斷K的取值范圍。第二十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六解：令ss-1：要使D1(s)的特征根實部均小于0，即D(s)的特征根實部均小于－1，須：

例2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中K、K1、K2、Kh、T1、T2均為正常數(shù)。求系統(tǒng)在輸入xi(t)=a+bt(a,b>0)作用下，穩(wěn)態(tài)誤差ess<(

>0)時，系統(tǒng)各參數(shù)應滿足的條件。第三十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六解：系統(tǒng)必須穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。系統(tǒng)的特征方程為：穩(wěn)定條件為：即：本系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，在輸入xi(t)=a+bt作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：第三十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六顯然，穩(wěn)態(tài)誤差ess<須：所以：

例3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下：判斷上述系統(tǒng)開環(huán)增益K的穩(wěn)定域，并說明開環(huán)積分環(huán)節(jié)數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。第三十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六解：系統(tǒng)1的閉環(huán)特征方程為：K的穩(wěn)定域為：系統(tǒng)2的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)3的閉環(huán)特征方程為：由于特征方程缺項，不存在K的穩(wěn)定域。K的穩(wěn)定域為：上述事實表明，增加系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。第三十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、幅角原理第三十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六幅角原理：s按順時針方向沿Ls變化一周時，F(xiàn)(s)將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)N周，即順時針包圍原點N次。即有：N=Z-P，其中Z:Ls內(nèi)的F(s)的零點數(shù)，

P:Ls內(nèi)的F(s)的極點數(shù)。2、開、閉環(huán)零極點與F(s)、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)第三十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六結(jié)論：

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Gb(s)在右半平面沒有極點，也就是F(s)在右半平面沒有零點。第三十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六為研究F(s)在右半平面有沒有零點，可選擇一條包圍一整個s右半平面的封閉曲線，如下圖所示：應用幅角原理時，Ls不能通過F(s)任何極點，所以當函數(shù)F(s)有若干個極點處于s平面的虛軸或原點處時，Ls應以這些點為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向繞過這些點。第三十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六設F(s)=1+G(s)H(s),當s沿Ls移動一周時，在F平面上的映射曲線Lf將逆時針包圍原點N=Z-P圈。G(s)H(s)=F(s)-1，可見GH平面是將F平面的虛軸右移一個單位所構(gòu)成的復平面。故F(s)的映射曲線Lf包圍原點的圈數(shù)就等于G(s)H(s)的映射曲線Lgh包圍(-1,j0)的圈數(shù)。第三十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六對于任何物理上可實現(xiàn)的開環(huán)系統(tǒng)，其Gk(s)分母的階數(shù)n必不小于分子的階數(shù)m,故有：所以，s平面上的半徑為無窮的半圓映射到GH平面為原點或?qū)嵼S上的一點。故G(s)H(s)的繞行情況只需要考慮s平面的虛軸映射到GH平面上的開環(huán)Nyquist軌跡。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當w上到時，若GH平面上的開環(huán)頻率特性G(jw)H(jw)逆時針方向包圍(-1,j0)點P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，P為G(s)H(s)在s右半平面的極點數(shù)。對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P=0，此時閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件：第三十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六系統(tǒng)的開環(huán)頻率軌跡G(jw)H(jw)不包圍(-1,j0)點。3、Nyquist穩(wěn)定判別步驟(1)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，確定P；(2)作G(jw)H(jw)的Nyquist圖，確定N；(3)運用判據(jù)N=Z-P，確定Z；穩(wěn)定不穩(wěn)定第四十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六解：2)G(jw)H(jw)Nyquist軌跡：3)若N=P，則有Z=0，閉環(huán)穩(wěn)定（開環(huán)不穩(wěn)定）1)右半平面極點數(shù)：P=1注意：我們作Nyquist軌跡時，w的取值常從0-，此時Nyquist軌跡逆時針包圍(-1,j0)的圈數(shù)為N，若有N=P/2，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第四十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六4、開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時的Nyquist軌跡當平面上的Nyquist軌跡不能經(jīng)過的極點時，應該以半徑為無窮小的圓弧逆時針繞開開環(huán)極點所在的原點，如前圖所示。考慮極點在原點處的情形，此時新的虛軸由－j~j0–

和

j0+~j

的兩段直線和小半圓j0–

~0~j0+組成。小半圓的表達式為：

=-90°對應

=j0–

；

=0°

對應

=0

；

=90°對應

=j0+

；第四十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六對G(j)起始點位于無窮小的半圓上。當

=0–時，

=-90°，當

=0時，

=0°，當

=j0+時，

=90°，第四十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六或：arg[G(j)]=－v180°。即當由0–

00+變化時，G(j)以幅值順時針旋轉(zhuǎn)v180°。

顯然，若僅考慮

>0的情形，即由00+變化時，G(j)以幅值順時針旋轉(zhuǎn)v90°。

綜上所述，對于包含積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)，對虛軸作上述處理后，繪制Nyquist圖時需考慮由00+變化時的軌跡。

即按常規(guī)方法作出由0+

變化時的Nyquist曲線后，從G(j0)開始，以的半徑順時針補畫v90°的圓弧(輔助線)得到完整的Nyquist曲線。第四十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六顯然，對于最小相位系統(tǒng)，由于：其輔助線的起始點始終在無窮遠的正實軸上。=0=0=0+ReIm0型系統(tǒng)=0=Re0=0+ImI型系統(tǒng)=0=Re0=0+ImII型系統(tǒng)第四十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六對于非最小相位系統(tǒng)，輔助線的起始點則由其含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個數(shù)決定。偶數(shù)個時，起于正實軸，奇數(shù)個時起于負實軸。為作圖方便，通常按由0+0變化加輔助線，即從G(j0+)開始以的半徑逆時針補畫v90°的圓弧。作出輔助線的Nyquist曲線方向仍然是0

0+

+。作出輔助線后，即可應用Nyquist判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第四十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

例題

例1：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為應用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：開環(huán)Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點，而N=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。=0=0=0+ReIm第四十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為應用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：第四十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六

＝0：A(0)＝K(0)＝－270°

＝：

A()＝0()＝－270°注意到：

即T1<T2時，Nyquist曲線位于第二象限。

T1>T2時，Nyquist曲線位于第一象限。

第四十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六T1<T2T1>T2=0=0=0+ReIm=0=0+由圖可見，Nyquist曲線順時針包圍(-1,j0)點半次，而N＝1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。第五十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六5、Nyquist判據(jù)中“穿越”的概念

穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過(-1,j0)點左邊實軸時的情況。

正穿越：

增大時，Nyquist曲線由上而下穿過-1~-

段實軸。

負穿越：增大時，Nyquist曲線由下而上穿過-1~-

段實軸。負穿越相當于Nyquist曲線

反向包圍(-1,j0)點一圈。正穿越時，相角增加，相當于Nyquist曲線正向包圍(-1,j0)點一圈。第五十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六-1++–0ReIm==0q=2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當由0變化到時Nyquist曲線在(-1,j0)點左邊實軸上的正負穿越次數(shù)之差等于q/2時（q為系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。易知，上圖所示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。第五十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六6、滯后系統(tǒng)的Nyquist穩(wěn)定性分析考慮開環(huán)附加延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)

可見延遲環(huán)節(jié)不改變原系統(tǒng)的幅頻特性，僅對相頻特性有影響。具體實例見P176。延遲環(huán)節(jié)不利于系統(tǒng)穩(wěn)定第五十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六四、Bode穩(wěn)定判據(jù)1、Nyquist圖與Bode圖的對應關系Bode穩(wěn)定判據(jù)是幾何判據(jù)，Nyquist判據(jù)的引申。第五十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期六Nyquist軌跡與單位圓交點的頻率，即對數(shù)幅頻特性曲線與橫軸交點的頻率，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率、幅值交界頻率，記為ωc。Nyquist軌跡與負實軸交點的頻率，即對數(shù)相頻特性曲線與橫軸交點的頻率，稱為相位穿越頻率或相位交界頻率，記為ωg。2、穿越的概念

在前面已講過穿越、正穿越、負穿越。第五十五頁，共六十頁，編輯于2023