貴州省貴陽市2023屆高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

貴陽市2023屆高三年級摸底考試試卷理科數(shù)學(xué)2022年8月本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時間為120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將姓名、報名號、座位號用鋼筆填寫在答題卡相應(yīng)位置上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．請保持答題卡平整，不能折疊．考試結(jié)束后，監(jiān)考老師將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義可求.【詳解】，故即中元素的個數(shù)為3，故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運算可求得復(fù)數(shù)，根據(jù)虛部定義可得結(jié)果.【詳解】，的虛部為.故選：D.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖可還原幾何體為一個正方體挖去一個圓錐，根據(jù)柱體和錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知幾何體是一個棱長為的正方體挖去一個底面半徑為，高為的圓錐，如圖所示，幾何體體積.故選：A.4.若實數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【詳解】解：由實數(shù)，滿足不等式組，作出可行域如圖，化目標函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最小，此時取最大值．由，解答，即．故選：C．5.已知命題：，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，判斷即可.【詳解】解：命題：，為存在量詞命題，其否定為，；故選：D6.“云樓”是白云區(qū)泉湖公園的標志性建筑，也是來到這里必打卡的項目之一，它端坐于公園的禮儀之軸，建筑外形主體木質(zhì)結(jié)構(gòu)，造型獨特精巧，是泉湖公園的“陣眼”和“靈魂”，同時也是泉湖歷史與發(fā)展變化的資料展示館．小張同學(xué)為測量云樓的高度，如圖，選取了與云樓底部D在同一水平面上的A，B兩點，在A點和B點測得C點的仰角分別為45°和30°，測得米，，則云樓的高度CD為（）A.20米 B.25米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由銳角三角函數(shù)得到，，再在中利用余弦定理求出，即可得解.【詳解】解：依題意，，設(shè)，在、中，，，所以，，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以云樓的高度為米；故選：B7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性排除部分選項，再由特殊值判斷.【詳解】解：因為的定義域為，且，所以是奇函數(shù)，故排除BD，又，則，故排除A，故選：C8.已知數(shù)列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)作差可得，再由，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】解：因為，，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，即，所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故選：A9.貴安新區(qū)是中國第八個國家級新區(qū)，位于貴州省貴陽市和安順市結(jié)合部，是南方數(shù)據(jù)中心核心區(qū)、全國大數(shù)據(jù)應(yīng)用與創(chuàng)新示范區(qū)，同時也是內(nèi)陸開放型經(jīng)濟新高地和生態(tài)文明示范區(qū)．“貴安”拼音的大寫形式為“GUIAN”，現(xiàn)從這5個字母中任選2個，則取到的2個字母中恰有1個字母為軸對稱圖形的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.【詳解】解：依題意從中任取個字母所有可能結(jié)果為、、、、、、、、、共個基本事件，其中滿足恰有個字母為軸對稱圖形的有、、、、、共個基本事件，所以取到的個字母中恰有個字母為軸對稱圖形的概率；故選：B10若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用商數(shù)關(guān)系式和二倍角公式化簡題設(shè)中的三角函數(shù)式可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式可求的值.【詳解】因為，故，故，因為，故，所以，所以即，故，故選：D.11.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且異于長軸端點．點在所圍區(qū)域之外，且始終滿足，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量數(shù)量積關(guān)系可知在以為直徑的圓上；由橢圓定義和中位線性質(zhì)知，結(jié)合可求得當(dāng)時，的值，即為所求最大值.【詳解】，，，，在以為直徑的圓上，圓心分別為的中點，如圖所示，由橢圓方程知：，，，，，，當(dāng)四點共線時，取得最大值.故選：A.12.設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)變化時，方程的所有根從小到大記為，則取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為與直線的交點，并可知與均關(guān)于對稱，作出的圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定不同取值時交點的個數(shù)，結(jié)合對稱性可求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)，圖像關(guān)于點對稱，由得：，則方程的根即為與直線的交點，作出圖像如圖所示，

①當(dāng)，即時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關(guān)于對稱，；②當(dāng)，即時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關(guān)于對稱，；③當(dāng)，即時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關(guān)于對稱，；④當(dāng)時，如圖中所示時，與直線有個交點，與均關(guān)于對稱，；⑤當(dāng)，即時，如圖中和所示時，與直線有且僅有一個交點，.綜上所述：取值的集合為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)對稱性、函數(shù)圖像求解方程根的個數(shù)問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，進而通過數(shù)形結(jié)合的方式確定交點個數(shù).第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23、24題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.二項展開式中項的系數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】由二項式定理可得二項展開式通項公式，令即可求得結(jié)果.【詳解】展開式的通項公式為：，當(dāng)時，的系數(shù)為.故答案為：.14.已知平面向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求出的值，再根據(jù)模長的坐標公式求解即可.【詳解】因為，所以.所以，所以故答案為：15.自2015年以來，貴陽市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計達到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應(yīng)幾何體的外接球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及球的定義可求石凳所對應(yīng)幾何體的外接球的半徑，從而可求其表面積.【詳解】設(shè)正方體的中心為，為棱的中點，連接，則為矩形的對角線的交點，則，同理，到其余各棱的中點的距離也為，故石凳所對應(yīng)幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，故答案為：16.《九章算術(shù)》中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在計算球的體積時使用的一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面的面積暅相等，則它們的體積相等．已知雙曲線，若雙曲線右焦點到漸近線的距離記為，雙曲線的兩條漸近線與直線，以及雙曲線的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】利用點到直線距離公式可知；聯(lián)立和漸近線、雙曲線方程可得交點橫坐標，由此可表示出旋轉(zhuǎn)后所得幾何體的體積，從而構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程，進而解得離心率.【詳解】由題意知：漸近線方程為，右焦點為，，由得：；由得：，陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積，即，，即，，解得：，.故答案為：.【點睛】思路點睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果.三、解答題：第17題至21題每題12分，第22、23、24題為選考題，各10分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若，________，求△ABC的周長．在①；②△ABC的面積為這兩個條件中任選一個，補充在橫線上．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，從而可求B的大小.（2）若選①，利用正弦定理可求，若選②，利用面積公式同樣可得，結(jié)合余弦定理可求，從而可求周長.【小問1詳解】由正弦定理可得，而為三角形內(nèi)角，故，故即.而為三角形內(nèi)角，故.【小問2詳解】若選①，因為，故外接圓直徑即.而，故，而，故即，故三角形周長為.若選②，因為三角形面積為，故即.而，故即，故三角形的周長為.18.年月日—月日北京冬奧會如期舉行，各國媒體爭相報道運動會盛況，因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看冬奧新聞．某機構(gòu)將每天關(guān)注冬奧時間在小時以上的人稱為“冬奧迷”，否則稱為“非冬奧迷”，通過調(diào)查并從參與調(diào)查的人群中隨機抽取了人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：非冬奧迷冬奧迷合計歲及以下歲以上合計（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“非冬奧迷”還是“冬奧迷”與年齡有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的歲及以下的人中，按“非冬奧迷”與“冬奧迷”這兩種類型進行分層抽樣抽取人，然后，再從這人中隨機選出人，其中“冬奧迷”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“非冬奧迷”還是“冬奧迷”與年齡有關(guān)（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望【解析】【分析】（1）由列聯(lián)表計算可得，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定“非冬奧迷”與“冬奧迷”應(yīng)抽取的人數(shù)，由此可確定所有可能的取值，利用超幾何概型概率公式可求得每個取值對應(yīng)的概率，由此可得的分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計算可得期望.【小問1詳解】由列聯(lián)表可得：，能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“非冬奧迷”還是“冬奧迷”與年齡有關(guān).【小問2詳解】由題意知：“非冬奧迷”應(yīng)抽取人；“冬奧迷”應(yīng)抽取人；則所有可能的取值為，；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望.19.如圖，在直三棱柱中，，，，分別是的中點．（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由等腰三角形中位線性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可得，，由線面垂直的判定可得平面，由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】三棱柱為直三棱柱，平面，，為中點，，平面，平面，，平面，，平面，又平面，.【小問2詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設(shè)平面法向量，，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，；，平面平面，即平面與平面的夾角為.20.已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在y軸的正半軸上，直線l：經(jīng)過拋物線C的焦點．（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l與拋物線C相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線相交于點P，求△ABP面積的最小值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線C的方程為，根據(jù)題意得到焦點坐標，即可求得拋物線C的方程；（2）設(shè)?，聯(lián)立方程組得到，求得，化簡拋物線方程，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得點和點處的切線方程，聯(lián)立方程組求得點的坐標和到直線的距離，得出的面積，即可求解最小值.【小問1詳解】由題意，設(shè)拋物線C的方程為，因為直線經(jīng)過，即拋物線C的焦點，所以，解得，所以拋物線C的方程為.【小問2詳解】設(shè)?，聯(lián)立方程組，整理得，因為，且，，，所以，由，可得，則，所以拋物線經(jīng)過點的切線方程是，將代入上式整理得，同理可得拋物線C經(jīng)過點B的切線方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以，所以到直線的距離，所以的面積，因為，所以，即當(dāng)時，，所以面積的最小值為.【點睛】本題主要考查了拋物線方程的求解，同時也考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與拋物線中的面積問題，需要根據(jù)題意設(shè)切點，求得交點的坐標，再根據(jù)韋達定理表達出面積的解析式，進而求得最值.屬于難題.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)是的兩個極值點，求證；．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，由在恒成立即可得到單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)后，由極值點定義可得，；將化為；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即；設(shè)，，代入，結(jié)合韋達定理的結(jié)論可得，由此可推導(dǎo)得到結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，，則的定義域為，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.【小問2詳解】由題意得：，是的兩個極值點，，；，；令，則，在上單調(diào)遞增，，即；設(shè)，，，即，，，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、不等式證明的問題；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，從而代入求得.請考生在第22、23、24題中選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號的方框涂黑．選修4—4：極坐標與參數(shù)方程22.在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極