第十講 一筆畫問題

講一筆畫問題、分類數(shù)圖形、錯(cuò)中求解2021/5/91第一節(jié)簡單一筆畫與一條線相連的點(diǎn)有2021/5/922021/5/93歸納：把和一條、三條、五條等單數(shù)條線連的點(diǎn)叫做單數(shù)點(diǎn)；把和二條、四條、六條等雙數(shù)條線連的點(diǎn)叫雙數(shù)點(diǎn)。每個(gè)圖中的點(diǎn)要么是單數(shù)點(diǎn)，要么是雙數(shù)點(diǎn)。2021/5/94例題2下列圖形中各有幾個(gè)單數(shù)點(diǎn)？能一筆畫成嗎？2021/5/95【分析】圖（1）中有二個(gè)單數(shù)點(diǎn)，圖（2）中有0個(gè)單數(shù)點(diǎn)，都能一筆畫成；圖（3）中有四個(gè)單數(shù)點(diǎn)，不能一筆畫成。結(jié)論：一個(gè)圖能不能一筆畫成與它包含的單數(shù)點(diǎn)有關(guān)，有0個(gè)或2個(gè)單數(shù)點(diǎn)的圖能夠一筆畫成，否則不能一筆畫成。2021/5/96例題3下圖（圖1）能不能一筆畫成？如果能，應(yīng)該怎樣畫？2021/5/97分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)圖中所有的點(diǎn)都是雙數(shù)點(diǎn)，根據(jù)前面的結(jié)論，所有的點(diǎn)都是雙數(shù)點(diǎn)一定可以一筆畫成。因此任何一個(gè)雙數(shù)點(diǎn)都可以作為起點(diǎn)，最后仍以這點(diǎn)作為終點(diǎn)。外圓為順時(shí)針方向，正方形是順時(shí)針方向，菱形是逆時(shí)針方向，中間兩條線是順時(shí)針方向。2021/5/98例題4下圖（圖1）能否一筆畫成，若不能，你能用什么方法把它改成一筆畫成？2021/5/992021/5/910例題5下圖是某新村小區(qū)主干道平面圖，甲乙兩人分別從A、B出發(fā)，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到達(dá)C，問誰能最先到達(dá)C？【思路導(dǎo)航】圖中兩人必須走完所有的主干道，最后到達(dá)C，而且兩人必須以同樣的速度走，很顯然誰走的路少，誰肯定先到。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，圖中有兩個(gè)單數(shù)點(diǎn)，兩個(gè)雙數(shù)點(diǎn)，A、C為單數(shù)點(diǎn)，這就是說甲可以從A點(diǎn)出發(fā)，不重復(fù)走所有的主干道，最后到達(dá)C；而B點(diǎn)是雙數(shù)點(diǎn)，從B點(diǎn)出發(fā)的乙不可能不重復(fù)走完所有的街道，因此，甲走的路程正好等于所有主干道的總和，而乙走的路程一定要比這個(gè)總和多。所以甲比乙先到達(dá)C。C乙B（乙）A（甲）2021/5/911第二節(jié)數(shù)圖形2021/5/912分類數(shù)圖形專題簡析：分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地?cái)?shù)出圖形的個(gè)數(shù)。2021/5/913例題1下面圖形中有多少個(gè)正方形？32分析：圖中的正方形的個(gè)數(shù)可以分類數(shù)，如由一個(gè)小正方形組成的有6×3=18個(gè)，2×2的正方形有5×2=10個(gè)，3×3的正方形有4×1=4個(gè)。因此圖中共有18＋10＋4=32個(gè)正方形。2021/5/914例題2下圖中共有多少個(gè)三角形？16分析為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的各類三角形的個(gè)數(shù)相加。（1）圖中共有6個(gè)小三角形；（2）由兩個(gè)小三角形組合的三角形有3個(gè)；（3）由三個(gè)小三角形組合的三角形有6個(gè)；（4）由六個(gè)小三角形組合的三角形有1個(gè)。所以共有6＋3＋6＋1=16個(gè)三角形。2021/5/915例題3數(shù)出下圖中所有三角形的個(gè)數(shù)。2021/5/916分析和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個(gè)；和三角形ABF一樣形狀的三角形有10個(gè)；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5個(gè)；和三角形ABE一樣形的三角形有5個(gè)；和三角形AMD一樣形狀的三角形有5個(gè)，共35個(gè)三角形。2021/5/917例題4如下圖，平面上有12個(gè)點(diǎn)，可任意取其中四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，這樣的正方形有多少個(gè)？2021/5/918（1）最小的正方形有6個(gè)；

（2）由4個(gè)小正方形組合而成的正方形有2個(gè)；

（3）中間還可圍成2個(gè)正方形。

所以共有6＋2＋2=10個(gè)。2021/5/919例題5數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)三角形？分析我們可以分類來數(shù)：1，單一的小三角形有16個(gè)；2，兩個(gè)小三角形組合的有10個(gè)；3，四個(gè)小三角形組合的有8個(gè)；4，八個(gè)小三角形組合的有2個(gè)。所以，圖中一共有16＋10＋8＋2=36個(gè)三角形。2021/5/920找規(guī)律數(shù)圖形在解決數(shù)圖形問題時(shí)，首先要認(rèn)真分析圖形的組成規(guī)律，根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，既可以逐個(gè)計(jì)數(shù)，也可以把圖形分成若干個(gè)部分，先對每部分按照各自構(gòu)成的規(guī)律數(shù)出圖形的個(gè)數(shù)，再把他們的個(gè)數(shù)合起來。2021/5/921例1：數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)長方形？2021/5/922數(shù)長方形可以用下面的公式：長邊上的線段×短邊上的線段=長方形的個(gè)數(shù)分析與解答：圖中的AB邊上有線段1+2+3=6條，把AB邊上的每一條線段作為長，AD邊上的每一條線段作為寬，每一個(gè)長配一個(gè)寬，就組成一個(gè)長方形，所以，圖中共有6×3=18個(gè)長方形。2021/5/923例2：數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)正方形？（每個(gè)小方格是邊長為1的正方形）2021/5/924經(jīng)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，由相同的n×n個(gè)小方格組成的幾行幾列的正方形其中所含的正方形總數(shù)為：1×1＋2×2＋…＋n×n。分析與解答：圖中邊長為1個(gè)長度單位的正方形有3×3=9個(gè)，邊長為2個(gè)長度單位的正方形有2×2=4個(gè)，邊長為3個(gè)長度單位的正方形有1×1=1個(gè)。所以圖中的正方形總數(shù)為：1+4+9=14個(gè)。2021/5/925例3：數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)正方形？（其中每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)長度單位的正方形）2021/5/926規(guī)律：經(jīng)進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，一般情況下，如果一個(gè)長方形的長被分成m等份，寬被分成n等份（長和寬的每一份都是相等的）那么正方形的總數(shù)為：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n分析與解答：邊長是1個(gè)長度單位的正方形有3×2=6個(gè)，邊長是2個(gè)長度單位的正方形有2×1=2個(gè)。所以，圖中正方形的總數(shù)為：6+2=8個(gè)。2021/5/927例4：從廣州到北京的某次快車中途要停靠8個(gè)大站，鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同車的車票？這些車票中有多少種不同的票價(jià)？2021/5/928分析與解答：這道題是數(shù)線段的方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，連同廣州、北京在內(nèi)，這條鐵路上共有10個(gè)站，共有1+2+3+…+9=45條線段，因此要準(zhǔn)備45種不同的車票。由于這些車站之間的距離各不相等，因此，有多少種不同的車票，就有多少種不同的票價(jià)，所以共有45種不同的票價(jià)。2021/5/929第三節(jié)錯(cuò)中求解2021/5/930錯(cuò)中求解（一）專題簡析：解答這類題，往往要采用倒推的方法，從錯(cuò)誤的結(jié)果入手分析錯(cuò)誤的原因，最后利用和差的變化求出加數(shù)或被減數(shù)、減數(shù)，利用積、商的變化求出因數(shù)或被除數(shù)、除數(shù)。2021/5/931例題1小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)十位的5錯(cuò)看成2，另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的4錯(cuò)看成1，結(jié)果計(jì)算的和為241。正確的和是多少？241+33=2742021/5/932例題2小馬虎在做一道減法時(shí)，把減數(shù)十位上的2看作了5，結(jié)果得到的差是342，正確的差是多少？把減數(shù)十位上的2看成了5說明多減了30，也就是差少了30.所以正確結(jié)果是342+30=372

2021/5/933例題3小馬虎在計(jì)算一道題目時(shí)，把某數(shù)乘3加20，誤看成某數(shù)除以3減20，得數(shù)是72。某數(shù)是多少？正確的得數(shù)是多少？2021/5/934例題4小馬虎在做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把乘數(shù)的個(gè)位上的5看作2，乘得的結(jié)果是550，實(shí)際應(yīng)為625。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？252021/5/935例題5小林在計(jì)算有余數(shù)除法時(shí)，把被除數(shù)137當(dāng)作173，結(jié)果商比正確結(jié)果大了4，但余數(shù)恰好相同。正確的除法算式應(yīng)是什么？137÷9=15······22021/5/936錯(cuò)中求解（二）例1：小玲在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)65寫成56，結(jié)果得到的商是13，還余52。正確的商是多少？56×13+52=780780÷65=122021/5/937例2：小芳在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)32錯(cuò)寫成320，結(jié)果得到商是48。正確