2015年四川省高考數(shù)學(xué)試卷理科

/2015年XX省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科一、選擇題：本大題共10小題.每小題5分.共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一個(gè)是符合題目要求的。1．〔5分〔2015?XX設(shè)集合A={x|〔x+1〔x﹣2＜0}.集合B={x|1＜x＜3}.則A∪B=〔A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．〔5分〔2015?XX設(shè)i是虛數(shù)單位.則復(fù)數(shù)i3﹣=〔A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i3．〔5分〔2015?XX執(zhí)行如圖所示的程序框圖.輸出s的值為〔A．﹣ B． C．﹣ D．4．〔5分〔2015?XX下列函數(shù)中.最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是〔A．y=cos〔2x+ B．y=sin〔2x+C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．〔5分〔2015?XX過(guò)雙曲線x2﹣=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線.交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn).則|AB|=〔A． B．2 C．6 D．46．〔5分〔2015?XX用數(shù)字0.1.2.3.4.5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).其中比40000大的偶數(shù)共有〔A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè)7．〔5分〔2015?XX設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形.||=6.||=4.若點(diǎn)M、N滿足..則=〔A．20 B．15 C．9 D．68．〔5分〔2015?XX設(shè)a、b都是不等于1的正數(shù).則"3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的〔A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件9．〔5分〔2015?XX如果函數(shù)f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在區(qū)間[]上單調(diào)遞減.那么mn的最大值為〔A．16 B．18 C．25 D．10．〔5分〔2015?XX設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn).與圓〔x﹣52+y2=r2〔r＞0相切于點(diǎn)M.且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條.則r的取值范圍是〔A．〔1.3 B．〔1.4 C．〔2.3 D．〔2.4二、填空題：本大題共5小題.每小題5分.共25分。11．〔5分〔2015?XX在〔2x﹣15的展開(kāi)式中.含x2的項(xiàng)的系數(shù)是〔用數(shù)字填寫(xiě)答案．12．〔5分〔2015?XXsin15°+sin75°的值是．13．〔5分〔2015?XX某食品的保鮮時(shí)間y〔單位：小時(shí)與儲(chǔ)藏溫度x〔單位：℃滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b〔e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).k、b為常數(shù)．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí).在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí).則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是小時(shí)．14．〔5分〔2015?XX如圖.四邊形ABCD和ADPQ均為正方形.他們所在的平面互相垂直.動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上.E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ.則cosθ的最大值為．15．〔5分〔2015?XX已知函數(shù)f〔x=2x.g〔x=x2+ax〔其中a∈R．對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.設(shè)m=.n=．現(xiàn)有如下命題：①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.都有m＞0；②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.都有n＞0；③對(duì)于任意的a.存在不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.使得m=n；④對(duì)于任意的a.存在不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.使得m=﹣n．其中的真命題有〔寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)．三、解答題：本大題共6小題.共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．〔12分〔2015?XX設(shè)數(shù)列{an}〔n=1.2.3.…的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an﹣a1.且a1.a2+1.a3成等差數(shù)列．〔Ⅰ求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值．17．〔12分〔2015?XX某市A、B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽.A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生.B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng).從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人.女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．〔Ⅰ求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；〔Ⅱ某場(chǎng)比賽前.從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽.設(shè)X表示參賽的男生人數(shù).求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．〔12分〔2015?XX一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．在正方體中.設(shè)BC的中點(diǎn)為M、GH的中點(diǎn)為N．〔Ⅰ請(qǐng)將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處〔不需說(shuō)明理由；〔Ⅱ證明：直線MN∥平面BDH；〔Ⅲ求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．19．〔12分〔2015?XX如圖.A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角．〔Ⅰ證明：tan；〔Ⅱ若A+C=180°.AB=6.BC=3.CD=4.AD=5.求tan+tan+tan+tan的值．20．〔13分〔2015?XX如圖.橢圓E：的離心率是.過(guò)點(diǎn)P〔0.1的動(dòng)直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線l平行于x軸時(shí).直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2．〔Ⅰ求橢圓E的方程；〔Ⅱ在平面直角坐標(biāo)系xOy中.是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q.使得恒成立？若存在.求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由．21．〔14分〔2015?XX已知函數(shù)f〔x=﹣2〔x+alnx+x2﹣2ax﹣2a2+a.其中a＞0．〔Ⅰ設(shè)g〔x是f〔x的導(dǎo)函數(shù).討論g〔x的單調(diào)性；〔Ⅱ證明：存在a∈〔0.1.使得f〔x≥0在區(qū)間〔1.+∞內(nèi)恒成立.且f〔x=0在區(qū)間〔1.+∞內(nèi)有唯一解．2015年XX省高考數(shù)學(xué)試卷〔理科參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題.每小題5分.共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一個(gè)是符合題目要求的。1．〔5分〔2015?XX設(shè)集合A={x|〔x+1〔x﹣2＜0}.集合B={x|1＜x＜3}.則A∪B=〔A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}[分析]求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}.根據(jù)集合的并集可求解答案．[解答]解：∵集合A={x|〔x+1〔x﹣2＜0}.集合B={x|1＜x＜3}.∴集合A={x|﹣1＜x＜2}.∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}.故選：A[點(diǎn)評(píng)]本題考查了二次不等式的求解.集合的運(yùn)算.屬于容易題．2．〔5分〔2015?XX設(shè)i是虛數(shù)單位.則復(fù)數(shù)i3﹣=〔A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i[分析]通分得出.利用i的性質(zhì)運(yùn)算即可．[解答]解：∵i是虛數(shù)單位.則復(fù)數(shù)i3﹣.∴===i.故選；C[點(diǎn)評(píng)]本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算.掌握好運(yùn)算法則即可.屬于計(jì)算題．3．〔5分〔2015?XX執(zhí)行如圖所示的程序框圖.輸出s的值為〔A．﹣ B． C．﹣D．[分析]模擬執(zhí)行程序框圖.依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的k的值.當(dāng)k=5時(shí)滿足條件k＞4.計(jì)算并輸出S的值為．[解答]解：模擬執(zhí)行程序框圖.可得k=1k=2不滿足條件k＞4.k=3不滿足條件k＞4.k=4不滿足條件k＞4.k=5滿足條件k＞4.S=sin=.輸出S的值為．故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖.屬于基礎(chǔ)題．4．〔5分〔2015?XX下列函數(shù)中.最小正周期為π且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是〔A．y=cos〔2x+ B．y=sin〔2x+C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx[分析]求出函數(shù)的周期.函數(shù)的奇偶性.判斷求解即可．[解答]解：y=cos〔2x+=﹣sin2x.是奇函數(shù).函數(shù)的周期為：π.滿足題意.所以A正確y=sin〔2x+=cos2x.函數(shù)是偶函數(shù).周期為：π.不滿足題意.所以B不正確；y=sin2x+cos2x=sin〔2x+.函數(shù)是非奇非偶函數(shù).周期為π.所以C不正確；y=sinx+cosx=sin〔x+.函數(shù)是非奇非偶函數(shù).周期為2π.所以D不正確；故選：A．[點(diǎn)評(píng)]本題考查兩角和與差的三角函數(shù).函數(shù)的奇偶性以及紅絲帶周期的求法.考查計(jì)算能力．5．〔5分〔2015?XX過(guò)雙曲線x2﹣=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線.交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn).則|AB|=〔A． B．2 C．6 D．4[分析]求出雙曲線的漸近線方程.求出AB的方程.得到AB坐標(biāo).即可求解|AB|．[解答]解：雙曲線x2﹣=1的右焦點(diǎn)〔2.0.漸近線方程為y=.過(guò)雙曲線x2﹣=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線.x=2.可得yA=2.yB=﹣2.∴|AB|=4．故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.考查基本知識(shí)的應(yīng)用．6．〔5分〔2015?XX用數(shù)字0.1.2.3.4.5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).其中比40000大的偶數(shù)共有〔A．144個(gè) B．120個(gè) C．96個(gè) D．72個(gè)[分析]根據(jù)題意.符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個(gè).末位數(shù)字為0、2、4中其中1個(gè)；進(jìn)而對(duì)首位數(shù)字分2種情況討論.①首位數(shù)字為5時(shí).②首位數(shù)字為4時(shí).每種情況下分析首位、末位數(shù)字的情況.再安排剩余的三個(gè)位置.由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目.進(jìn)而由分類(lèi)加法原理.計(jì)算可得答案．[解答]解：根據(jù)題意.符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4、5其中1個(gè).末位數(shù)字為0、2、4中其中1個(gè)；分兩種情況討論：①首位數(shù)字為5時(shí).末位數(shù)字有3種情況.在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè).放在剩余的3個(gè)位置上.有A43=24種情況.此時(shí)有3×24=72個(gè).②首位數(shù)字為4時(shí).末位數(shù)字有2種情況.在剩余的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè).放在剩余的3個(gè)位置上.有A43=24種情況.此時(shí)有2×24=48個(gè).共有72+48=120個(gè)．故選：B[點(diǎn)評(píng)]本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)題意.分析出滿足題意的五位數(shù)的首位、末位數(shù)字的特征.進(jìn)而可得其可選的情況．7．〔5分〔2015?XX設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形.||=6.||=4.若點(diǎn)M、N滿足..則=〔A．20 B．15 C．9 D．6[分析]根據(jù)圖形得出=+=.==.=?〔=2﹣.結(jié)合向量結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可．[解答]解：∵四邊形ABCD為平行四邊形.點(diǎn)M、N滿足..∴根據(jù)圖形可得：=+=.==.∴=.∵=?〔=2﹣.2=22.=22.||=6.||=4.∴=22=12﹣3=9故選：C[點(diǎn)評(píng)]本題考查了平面向量的運(yùn)算.數(shù)量積的運(yùn)用.考查了數(shù)形結(jié)合的思想.關(guān)鍵是向量的分解.表示．8．〔5分〔2015?XX設(shè)a、b都是不等于1的正數(shù).則"3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的〔A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件[分析]求解3a＞3b＞3.得出a＞b＞1.loga3＜logb3.或根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.再利用充分必要條件的定義判斷即可．[解答]解：a、b都是不等于1的正數(shù).∵3a＞3b＞3.∴a＞b＞1.∵loga3＜logb3.∴.即＜0.或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1.0＜a＜1根據(jù)充分必要條件定義得出："3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的充分條不必要件.故選：B．[點(diǎn)評(píng)]本題綜合考查了指數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.充分必要條件的定義.屬于綜合題目.關(guān)鍵是分類(lèi)討論．9．〔5分〔2015?XX如果函數(shù)f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在區(qū)間[]上單調(diào)遞減.那么mn的最大值為〔A．16 B．18 C．25 D．[分析]函數(shù)f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在區(qū)間[]上單調(diào)遞減.則f′〔x≤0.故〔m﹣2x+n﹣8≤0在[.2]上恒成立．而〔m﹣2x+n﹣8是一次函數(shù).在[.2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個(gè)端點(diǎn)處f′〔≤0.f′〔2≤0即可．結(jié)合基本不等式求出mn的最大值．[解答]解：∵函數(shù)f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在區(qū)間[]上單調(diào)遞減.∴f′〔x≤0.故〔m﹣2x+n﹣8≤0在[.2]上恒成立．而〔m﹣2x+n﹣8是一次函數(shù).在[.2]上的圖象是一條線段．故只須在兩個(gè)端點(diǎn)處f′〔≤0.f′〔2≤0即可．即由〔2得m≤〔12﹣n.∴mn≤n〔12﹣n≤=18.當(dāng)且僅當(dāng)m=3.n=6時(shí)取得最大值.經(jīng)檢驗(yàn)m=3.n=6滿足〔1和〔2．故選：B．解法二：∵函數(shù)f〔x=〔m﹣2x2+〔n﹣8x+1〔m≥0.n≥0在區(qū)間[]上單調(diào)遞減.∴①m=2.n＜8對(duì)稱軸x=﹣.②即③即設(shè)或或設(shè)y=.y′=.當(dāng)切點(diǎn)為〔x0.y0.k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x.∴y0=﹣2x0+12.y0==2x0.可得x0=3.y0=6.∵x=3＞2∴k的最大值為3×6=18②﹣=﹣．.k=.y0==.2y0+x0﹣18=0.解得：x0=9.y0=∵x0＜2∴不符合題意．③m=2.n=8.k=mn=16綜合得出：m=3.n=6時(shí)k最大值k=mn=18.故選；B[點(diǎn)評(píng)]本題綜合考查了函數(shù)方程的運(yùn)用.線性規(guī)劃問(wèn)題.結(jié)合導(dǎo)數(shù)的概念.運(yùn)用幾何圖形判斷.難度較大.屬于難題．10．〔5分〔2015?XX設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn).與圓〔x﹣52+y2=r2〔r＞0相切于點(diǎn)M.且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條.則r的取值范圍是〔A．〔1.3 B．〔1.4 C．〔2.3 D．〔2.4[分析]先確定M的軌跡是直線x=3.代入拋物線方程可得y=±2.所以交點(diǎn)與圓心〔5.0的距離為4.即可得出結(jié)論．[解答]解：設(shè)A〔x1.y1.B〔x2.y2.M〔x0.y0.斜率存在時(shí).設(shè)斜率為k.則y12=4x1.y22=4x2.則.相減.得〔y1+y2〔y1﹣y2=4〔x1﹣x2.當(dāng)l的斜率存在時(shí).利用點(diǎn)差法可得ky0=2.因?yàn)橹本€與圓相切.所以=﹣.所以x0=3.即M的軌跡是直線x=3．將x=3代入y2=4x.得y2=12.∴.∵M(jìn)在圓上.∴.∴r2=.∵直線l恰有4條.∴y0≠0.∴4＜r2＜16.故2＜r＜4時(shí).直線l有2條；斜率不存在時(shí).直線l有2條；所以直線l恰有4條.2＜r＜4.故選：D．[點(diǎn)評(píng)]本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系.考查點(diǎn)差法.考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.屬于中檔題．二、填空題：本大題共5小題.每小題5分.共25分。11．〔5分〔2015?XX在〔2x﹣15的展開(kāi)式中.含x2的項(xiàng)的系數(shù)是﹣40〔用數(shù)字填寫(xiě)答案．[分析]根據(jù)所給的二項(xiàng)式.利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出第r+1項(xiàng).整理成最簡(jiǎn)形式.令x的指數(shù)為2求得r.再代入系數(shù)求出結(jié)果．[解答]解：根據(jù)所給的二項(xiàng)式寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng).Tr+1=；要求x2的項(xiàng)的系數(shù).∴5﹣r=2.∴r=3.∴x2的項(xiàng)的系數(shù)是22〔﹣13C53=﹣40．故答案為：﹣40．[點(diǎn)評(píng)]本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.本題解題的關(guān)鍵是正確寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng).在這種題目中通項(xiàng)是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具．12．〔5分〔2015?XXsin15°+sin75°的值是．[分析]利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．[解答]解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=〔sin15°cos45°+cos15°sin45°=sin60°=．故答案為：．[點(diǎn)評(píng)]本題考查兩角和的正弦函數(shù).三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值.考查計(jì)算能力．13．〔5分〔2015?XX某食品的保鮮時(shí)間y〔單位：小時(shí)與儲(chǔ)藏溫度x〔單位：℃滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b〔e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).k、b為常數(shù)．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí).在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí).則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是24小時(shí)．[分析]由題意可得.x=0時(shí).y=192；x=22時(shí).y=48．代入函數(shù)y=ekx+b.解方程.可得k.b.再由x=33.代入即可得到結(jié)論．[解答]解：由題意可得.x=0時(shí).y=192；x=22時(shí).y=48．代入函數(shù)y=ekx+b.可得eb=192.e22k+b=48.即有e11k=.eb=192.則當(dāng)x=33時(shí).y=e33k+b=×192=24．故答案為：24．[點(diǎn)評(píng)]本題考查函數(shù)的解析式的求法和運(yùn)用.考查運(yùn)算能力.屬于中檔題．14．〔5分〔2015?XX如圖.四邊形ABCD和ADPQ均為正方形.他們所在的平面互相垂直.動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上.E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ.則cosθ的最大值為．[分析]首先以AB.AD.AQ三直線為x.y.z軸.建立空間直角坐標(biāo)系.并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2.M〔0.y.2.從而可求出向量的坐標(biāo).由cosθ=得到.對(duì)函數(shù)求導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷該函數(shù)為減函數(shù).從而求出cosθ的最大值．[解答]解：根據(jù)已知條件.AB.AD.AQ三直線兩兩垂直.分別以這三直線為x.y.z軸.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2.則：A〔0.0.0.E〔1.0.0.F〔2.1.0；M在線段PQ上.設(shè)M〔0.y.2.0≤y≤2；∴；∴cosθ==；設(shè)f〔y=.；函數(shù)g〔y=﹣2y﹣5是一次函數(shù).且為減函數(shù).g〔0=﹣5＜0；∴g〔y＜0在[0.2]恒成立.∴f′〔y＜0；∴f〔y在[0.2]上單調(diào)遞減；∴y=0時(shí).f〔y取到最大值．故答案為：．[點(diǎn)評(píng)]考查建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量解決異面直線所成角的問(wèn)題.異面直線所成角的概念及其范圍.向量夾角的概念及其范圍.以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式.函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．15．〔5分〔2015?XX已知函數(shù)f〔x=2x.g〔x=x2+ax〔其中a∈R．對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.設(shè)m=.n=．現(xiàn)有如下命題：①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.都有m＞0；②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.都有n＞0；③對(duì)于任意的a.存在不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.使得m=n；④對(duì)于任意的a.存在不相等的實(shí)數(shù)x1、x2.使得m=﹣n．其中的真命題有①④〔寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)．[分析]運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.即可判斷①；由二次函數(shù)的單調(diào)性.即可判斷②；通過(guò)函數(shù)h〔x=x2+ax﹣2x.求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.即可判斷③；通過(guò)函數(shù)h〔x=x2+ax+2x.求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.即可判斷④．[解答]解：對(duì)于①.由于2＞1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f〔x在R上遞增.即有m＞0.則①正確；對(duì)于②.由二次函數(shù)的單調(diào)性可得g〔x在〔﹣∞.﹣遞減.在〔﹣.+∞遞增.則n＞0不恒成立.則②錯(cuò)誤；對(duì)于③.由m=n.可得f〔x1﹣f〔x2=g〔x1﹣g〔x2.即為g〔x1﹣f〔x1=g〔x2﹣f〔x2.考查函數(shù)h〔x=x2+ax﹣2x.h′〔x=2x+a﹣2xln2.當(dāng)a→﹣∞.h′〔x小于0.h〔x單調(diào)遞減.則③錯(cuò)誤；對(duì)于④.由m=﹣n.可得f〔x1﹣f〔x2=﹣[g〔x1﹣g〔x2].考查函數(shù)h〔x=x2+ax+2x.h′〔x=2x+a+2xln2.對(duì)于任意的a.h′〔x不恒大于0或小于0.則④正確．故答案為：①④．[點(diǎn)評(píng)]本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用.注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性.以及導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共6小題.共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．〔12分〔2015?XX設(shè)數(shù)列{an}〔n=1.2.3.…的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an﹣a1.且a1.a2+1.a3成等差數(shù)列．〔Ⅰ求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值．[分析]〔Ⅰ由已知數(shù)列遞推式得到an=2an﹣1〔n≥2.再由已知a1.a2+1.a3成等差數(shù)列求出數(shù)列首項(xiàng).可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2.公比為2的等比數(shù)列.則其通項(xiàng)公式可求；〔Ⅱ由〔Ⅰ求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得Tn.結(jié)合求解指數(shù)不等式得n的最小值．[解答]解：〔Ⅰ由已知Sn=2an﹣a1.有an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1〔n≥2.即an=2an﹣1〔n≥2.從而a2=2a1.a3=2a2=4a1.又∵a1.a2+1.a3成等差數(shù)列.∴a1+4a1=2〔2a1+1.解得：a1=2．∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2.公比為2的等比數(shù)列．故；〔Ⅱ由〔Ⅰ得：.∴．由.得.即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210.∴n≥10．于是.使|Tn﹣1|成立的n的最小值為10．[點(diǎn)評(píng)]本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.是中檔題．17．〔12分〔2015?XX某市A、B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽.A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生.B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng).從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人.女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)．〔Ⅰ求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；〔Ⅱ某場(chǎng)比賽前.從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽.設(shè)X表示參賽的男生人數(shù).求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[分析]〔Ⅰ求出A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的對(duì)立事件的概率.然后求解概率即可；〔Ⅱ求出X表示參賽的男生人數(shù)的可能值.求出概率.得到X的分布列.然后求解數(shù)學(xué)期望．[解答]解：〔Ⅰ由題意.參加集訓(xùn)的男、女學(xué)生共有6人.參賽學(xué)生全從B中抽出〔等價(jià)于A中沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為：=.因此A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為：1﹣=；〔Ⅱ某場(chǎng)比賽前.從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽.X表示參賽的男生人數(shù).則X的可能取值為：1.2.3.P〔X=1==.P〔X=2==.P〔X=3==．X的分布列：X123P和數(shù)學(xué)期望EX=1×=2．[點(diǎn)評(píng)]本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列.期望的求法.考查古典概型概率的求法.考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．18．〔12分〔2015?XX一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示．在正方體中.設(shè)BC的中點(diǎn)為M、GH的中點(diǎn)為N．〔Ⅰ請(qǐng)將字母F、G、H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處〔不需說(shuō)明理由；〔Ⅱ證明：直線MN∥平面BDH；〔Ⅲ求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．[分析]〔Ⅰ根據(jù)展開(kāi)圖和直觀圖之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可；〔Ⅱ利用線面平行的判定定理即可證明直線MN∥平面BDH；〔Ⅲ法一：利用定義法求出二面角的平面角進(jìn)行求解．法二：建立坐標(biāo)系.利用向量法進(jìn)行求解即可．[解答]解：〔ⅠF、G、H的位置如圖；證明：〔Ⅱ連接BD.設(shè)O是BD的中點(diǎn).∵BC的中點(diǎn)為M、GH的中點(diǎn)為N.∴OM∥CD.OM=CD.HN∥CD.HN=CD.∴OM∥HN.OM=HN.即四邊形MNHO是平行四邊形.∴MN∥OH.∵M(jìn)N?平面BDH；OH?面BDH.∴直線MN∥平面BDH；〔Ⅲ方法一：連接AC.過(guò)M作MH⊥AC于P.則正方體ABCD﹣EFGH中.AC∥EG.∴MP⊥EG.過(guò)P作PK⊥EG于K.連接KM.∴EG⊥平面PKM則KM⊥EG.則∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角.設(shè)AD=2.則CM=1.PK=2.在Rt△CMP中.PM=CMsin45°=.在Rt△PKM中.KM==.∴cos∠PKM=.即二面角A﹣EG﹣M的余弦值為．方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn).分別為DA.DC.DH方向?yàn)閤.y.z軸建立空間坐標(biāo)系如圖：設(shè)AD=2.則M〔1.2.0.G〔0.2.2.E〔2.0.2.O〔1.1.0.則=〔2.﹣2.0..設(shè)平面EGM的法向量為=〔x.y.z.則.即.令x=2.得=〔2.2.1.在正方體中.DO⊥平面AEGC.則==〔1.1.0是平面AEG的一個(gè)法向量.則cos＜＞====．二面角A﹣EG﹣M的余弦值為．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖.空間線面平行的判定和性質(zhì).空間面面夾角的計(jì)算.考查空間想象能力.推理能力.運(yùn)算求解能力．19．〔12分〔2015?XX如圖.A、B、C、D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角．〔Ⅰ證明：tan；〔Ⅱ若A+C=180°.AB=6.BC=3.CD=4.AD=5.求tan+tan+tan+tan的值．[分析]〔Ⅰ直接利用切化弦以及二倍角公式化簡(jiǎn)證明即可．〔Ⅱ通過(guò)A+C=180°.得C=180°﹣A.D=180°﹣B.利用〔Ⅰ化簡(jiǎn)tan+tan+tan+tan=.連結(jié)BD.在△ABD中.利用余弦定理求出sinA.連結(jié)AC.求出sinB.然后求解即可．[解答]證明：〔Ⅰtan===．等式成立．〔Ⅱ由A+C=180°.得C=180°﹣A.D=180°﹣B.由〔Ⅰ可知：tan+tan+tan+tan==.連結(jié)BD.在△ABD中.有BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA.AB=6.BC=3.CD=4.AD=5.在△BCD中.有BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC.所以AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC.則：cosA===．于是sinA==.連結(jié)AC.同理可得：cosB===.于是sinB==．所以tan+tan+tan+tan===．[點(diǎn)評(píng)]本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理．簡(jiǎn)單的三角恒等變換.考查函數(shù)與方程的思想.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．20．〔13分〔2015?XX如圖.橢圓E：的離心率是.過(guò)點(diǎn)P〔0.1的動(dòng)直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線l平行于x軸時(shí).直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2．〔Ⅰ求橢圓E的方程；〔Ⅱ在平面直角坐標(biāo)系xOy中.是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q.使得恒成立？若存在.求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由．[分析]〔Ⅰ通過(guò)直線l平行于x軸時(shí)被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2及離心率是.計(jì)算即得結(jié)論；〔Ⅱ通過(guò)直線l與x軸平行、垂直時(shí).可得若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件.則Q點(diǎn)坐標(biāo)只能是〔0.2．然后分直線l的斜率不存在、存在兩種情況.利用韋達(dá)定理及直線斜率計(jì)算方法.證明對(duì)任意直線l.均有即可．[解答]解：〔Ⅰ∵直線l平行于x軸時(shí).直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2.∴點(diǎn)〔.1在橢圓E上.又∵離心率是.∴.解得a=2.b=.∴橢圓E的方程為：+=1；〔Ⅱ結(jié)論：存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q〔0.2.使得恒成立．理由如下：當(dāng)直線l與x軸平行時(shí).設(shè)直線l與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).如果存在定點(diǎn)Q滿足條件.則有==1.即|QC|=|QD|．∴Q點(diǎn)在直線y軸上.可設(shè)Q〔0.y0．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí).設(shè)直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn).則M、N的坐標(biāo)分別為〔0.、〔0.﹣.又∵=.∴=.解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件.則Q點(diǎn)坐標(biāo)只能是〔0.2．下面證明：對(duì)任意直線l.均有．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí).由上可知.結(jié)論成立．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí).可設(shè)直線l的方程為y=kx+1.A、B的坐標(biāo)分別為A〔x1.y1、B〔x2.y2.聯(lián)立.消