勾股定理證明（共6篇）

勾股定理證明（共6篇）篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數(shù)學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩?！币虼耍垂啥ɡ碓谥袊址Q“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。以下即為一種證明方法：

如圖，這個直角梯形是由2個直角邊分別為、斜邊為的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的?！摺鰽BE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄

第2篇：勾股定理證明

勾股定理的歷史及證明

勾股定理是“人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方?！边@個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。著名的希臘數(shù)學家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明。（下圖為歐幾里得和他的證明圖）

中國古代對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數(shù)學著作——《周髀算經》，記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：

周公問：“我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數(shù)據(jù)呢？”

商高回答說：“數(shù)的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形?矩'得到的一條直角邊?勾'等于3，另一條直角邊?股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5.這個原理是大禹在治水的時候就出來的呵。”

如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當?shù)摹Ｔ谏院笠稽c的《九章算術》一書中（約在公元50至100年間），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦”。中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明（右圖）。中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。【證法】（辛卜松證明）

D

D

圖一圖二

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成圖一所示的幾個部分，則正方形ABCD

2??a?b?a2?b2?2ab；的面積為

把正方形ABCD劃分成圖二所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為

=2ab?c2.∴a2?b2?2ab?2ab?c2，∴a2?b2?c2.?a?b?2?4?1ab?c22

第3篇：勾股定理證明勾股定理證明

中國最早的一部數(shù)學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學知識的對話：

周公問：“我聽說您對數(shù)學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數(shù)據(jù)呢?”

商高回答說：“數(shù)的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5.這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵?！?/p>

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，中國古代的人民早在幾千年以前就已經發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理這一重要懂得數(shù)學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊，則可得：勾2+股2=弦

2亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實，中國古代得到人民對這一數(shù)學定理的發(fā)現(xiàn)和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例(32+42=52)。所以現(xiàn)在數(shù)學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當?shù)?。在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達。書中的《勾股章》說;“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：

弦=(勾2+股2)(1/2)

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

中國古代的數(shù)學家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2;中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為(b-a)2.于是便可得如下的式子：

4×(ab/2)+(b-a)2=c2

化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)

一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且代有發(fā)展。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。事實上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學發(fā)展的一個極其重要的條件。正如當代中國數(shù)學家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數(shù)學中，數(shù)量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)?！?。第4篇：證明勾股定理

勾股定理的應用

一、引言

七年級上冊的數(shù)學有講到如何精確地畫出根號2.老師說，要畫一個2×2的，邊長都為1的方格。然后在里面再做出一個菱形（表示方格面積的一半）。這個菱形的邊長就是根號2.當時有人就埋怨方法的麻煩了，老師就回答用勾股定理會簡便許多。還有印度數(shù)學家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”用勾股定理就可以很簡便的解出。就勾股定理，我查閱了一些資料，弄清楚了它的意義以及它的2種證明方法。二、提出問題

1、什么是勾股定理？2、怎么證明勾股定理？問題求解（1）中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。勾股定理用文字表述：在任何一個的直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方（也可以理解成兩個長邊的平方相減與最短邊的平方相等）。勾股定理示意圖用數(shù)學式表達：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

（2）針對它的證明方法，我查閱了一些相關的資料，通過我自己的整理和理解，得出了2種證明方法。方法一：（課本的證明）

做8個全部相同的直角三角形，設它們的直角邊長分別為a和b，斜邊長為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們拼成兩個大正方形，如下圖所示：

由上圖可知，兩個大正方形的邊長都是a加b，所以面積是相等的。用方程表

1示它們的面積關系，得：（a+b）2=c2+4×ab

2（a+b）(a+b)=c2+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c2+2ab

a2+ab+ab+b2=c2+2ab

a2+b2+2ab=c2+2ab

a2+b2=c2

方法二：（利用相似三角形性質證明）

在直角三角形ABC中，設直角邊AC和BC的長度分別為a和b，斜邊AB的長度為c。過點C做AB的垂線CD，垂足是D。如圖所示：

在直角三角形ABC與直角三角形ACD中，因為角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它們互為相似的直角三角形。因為它們互為相似的直角三角形，所以它們在各個線

段上的三角形邊長的比值都是相同的。即ADAC=ACAB

對角相乘得AC2=AD·AB，同理可證，右邊的直角三角形BCD與直角三角形ABC也是互為相似的直角三角形的。從而有了BCAB=BDBC

對角相乘得BC2=BD·AB，因為（AC2=AD·AB）=（BC2=BD·AB）

所以AC2+BC2=AD·AB+BD·AB

AC2+BC2=(AD+BD)·AB

AC2+BC2=AB·AB

AC2+BC2=AB2即a2+b2=c2.四、總結與感想隨著數(shù)學水平的提高，很多數(shù)學的定理和公式都被人們一一推敲了出來，勾股定理就是其中的一個重大的發(fā)現(xiàn)。勾股定理是人們認識宇宙中形規(guī)律的自然起點，無論在東方還是西方文明起源過程中，都有著很多動人的故事。勾股定理在幾何學中的實際應用非常廣泛，比如用它就可以很方便地把引言中的問題解決掉。答案是3.75尺。從勾股定理出發(fā)開平方、開立方、求圓周率等，運用勾股定理數(shù)學家還發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，就如引言中的畫根號2一樣。我想說的是，雖然勾股定理看似簡單，只是一句話，但是它的意義以及作用是無窮大的。認識和掌握勾股定理對初一的無理數(shù)有著一定的幫助。我作為一個初一的學生，能力畢竟有限，只能把勾股定理推敲到這里。以后我一定會再接再厲，玩轉勾股定理！2013.11

第5篇：勾股定理證明教案

勾股定理的證明

目標:讓學生了解勾股定理的來源，掌握直角三角形的邊、角之間分別存在著的關系，學會勾股定理的證明，熟練地運用勾股定理解決實際問題，同時鍛煉學生的邏輯思維能力和發(fā)散思維方式。教學重點:勾股定理的推理過程

教學方式:教師講課，發(fā)現(xiàn)探究法，課堂討論，練習法。課時：1課時教學過程：

1.引入

師：勾股定理是數(shù)學中一個偉大的發(fā)現(xiàn)，它由希臘的著名數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．在公元前1000多年，商高也發(fā)現(xiàn)了這一定理，因此勾股定理在中國又稱“商高定理”?？磥碇袊吮韧鈬诉€發(fā)現(xiàn)得早一點，那么，勾股定理到底是什么呢？想必大家都知道勾三股四玄五，那么是不是只有3.4.5才可以組成直角三角形呢？現(xiàn)在請同學們拿出直尺和筆在草稿紙上任意畫一個直角三角形，然后測量其三條邊a,b,ccab大家就算一下，當然肯定有些同學的三角形畫的不標準或者是測量有誤差使得它們不相等了。大家的結果是什么呢？同學發(fā)言。2.師：大家可以多畫幾個直角三角形測量計算，看是否都成立。那么這個規(guī)律是不是適合所有的直角三角形呢？當然這需要嚴格的數(shù)學證明。請看下面

做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c，再做三個邊長分別為a,b,c的正方形，把它們拼成像上圖一樣的兩個正方形，從圖上可以看出，這連個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等，因此有：即

這是中國漢代的數(shù)學家趙爽提出的證明方法，因此這個圖又稱“趙爽玄圖”那么除了這個方法是不是還有其他的方法可以證明這個定理呢？大家請看下面圖形：

正方形A、B、C的面積有什么關系？我們請同學來回答

同學發(fā)言。3.做一做：

（1）

求下列直角三角形中未知邊的長。（2）在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高_______。（3）

4.小結：勾股定理：

要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：

a.已知直角三角形的兩邊求第三邊。b.已知直角三角形的一邊和另外兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊c.利用勾股定理可以