空域濾波原理及

空域濾波原理及1第一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日

陣列天線的波束形成可以采用模擬方式，也可以采用數(shù)字方式，采用數(shù)字方式在基帶實現(xiàn)濾波的技術(shù)稱為數(shù)字波束形成(DBF)，是空域濾波的主要形式，在通信中也稱之為智能天線?！?.1波束形成的基本概念波束形成：用一定形狀的波束來通過有用信號或需要方向的信號，并抑制不需要方向的干擾。波束形成的分類數(shù)據(jù)獨立波束形成最佳波束形成自適應(yīng)波束形成2第二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日§3.1波束形成的基本概念1.陣列信號的表示

空間平面波是四維函數(shù)，

簡化：窄帶條件：同時刻采集信號，所有陣元上信號的復(fù)包絡(luò)相同，只需考慮相位的變化，而它只依賴于陣列的幾何結(jié)構(gòu)。對于等距線陣，則更簡單，只依賴于與x軸的夾角。如圖3.13第三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日12N圖3.1如前所述的窄帶信號的空域表示：若以陣元1為參考點，則各陣元接收信號可寫成：4第四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日寫成矢量的形式：

稱為方向矢量或?qū)蚴噶浚⊿teeringVector）。在窄帶條件下，只依賴于陣列的幾何結(jié)構(gòu)（已知）和波的傳播方向（未知）。

5第五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日波束形成（Beamforing）

我們記：，稱為方向圖。當(dāng)對某個方向的信號同相相加時得的模值最大?；舅枷耄和ㄟ^將各陣元輸出進行加權(quán)求和，在一時間內(nèi)將天線陣列波束“導(dǎo)向”到一個方向上，對期望信號得到最大輸出功率的導(dǎo)向位置給出了波達方向估計。即輸出可以表示為：目的是：增強特定方向信號的功率。

6第六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日

陣列的方向圖陣列輸出的絕對值與來波方向之間的關(guān)系稱為天線的方向圖。方向圖一般有兩類：靜態(tài)方向圖：陣列輸出的直接相加（不考慮信號及來波方向），其陣列的最大值出現(xiàn)在陣列法線方向（即）帶指向的方向圖：信號的指向是通過控制加權(quán)相位來實現(xiàn)，即常說的相控陣列7第七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日

對于

實際上是空域采樣信號，波束形成實現(xiàn)了對方向角的選擇，即實現(xiàn)空域濾波。這一點可以對比時域濾波，實現(xiàn)頻率選擇。等距線陣情況：若要波束形成指向，則可取，波束形成：

8第八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日則：上式表示的波束圖有以下特點：波束成形狀，其最大值為N。波束主瓣半功率點寬度為：

。根據(jù)

Fourier理論，主瓣寬度正比于天線孔徑的倒數(shù)。

最大副瓣為第一副瓣，且為-13.4dB。這種副瓣電平對于很多應(yīng)用來說都太大了，為了降低副瓣，必須采用幅度加權(quán)（又稱為加窗）。9第九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日天線方向圖，來波方向指向10第十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日N=8N=32

可見隨著陣元數(shù)的增加，波束寬度變窄，分辨力提高，這是因為：11第十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日波束寬度在DOA估計中，線陣的測向范圍為

即對于均勻線陣，波束寬度為：

其中D為天線的有效孔徑，可見波束寬度與天線孔徑成反比。分辨力目標的分辨力是指在多目標環(huán)境下雷達能否將兩個或兩個以上鄰近目標區(qū)分開來的能力。波束寬度越窄，陣列的指向性越好，說明陣列的分辨力隨陣元數(shù)增加而變好，故與天線孔徑成反比。12第十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日13第十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日可見當(dāng)陣元間距時，會出現(xiàn)柵瓣，導(dǎo)致空間模糊。14第十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日類似于時域濾波，天線方向圖是最優(yōu)權(quán)的傅立葉變換按定義的方向圖權(quán)向量作FFT的結(jié)果15第十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日均勻圓陣（UCA）以均勻圓陣的中心為參考第m個陣元與x軸的夾角記為：則M元均勻圓陣的導(dǎo)向矢量：其中為圓陣的半徑16第十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日波束指向：17第十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日§3.2自適應(yīng)波束形成技術(shù)§3.2.1普通波束形成的優(yōu)缺點

優(yōu)點：是一個匹配濾波器，在主瓣方向信號相干積累，實現(xiàn)簡單，在白噪聲背景下它是最優(yōu)的，在色噪聲背景下，維納濾波是最優(yōu)的。缺點：波束寬度限制了方向角的分辨。存在旁瓣，強干擾信號可以從旁瓣進入。加窗處理可以降低旁瓣，但同時也會展寬主瓣。

總之，普通波束形成依賴于陣列幾何結(jié)構(gòu)和波達方向角，而與信號環(huán)境無關(guān)，且固定不變，抑制干擾能力差。18第十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日§3.2.2自適應(yīng)波束形成

自適應(yīng)波束形成是將維納濾波理論應(yīng)用于空域濾波中，它的權(quán)矢量依賴于信號環(huán)境。一般框架：波束形成：對于平穩(wěn)隨機信號，輸出信號功率為：定義：陣列信號相關(guān)矩陣，它包含了陣列信號所有的統(tǒng)計知識（二階）。19第十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日§3.2.3最優(yōu)波束形成

最優(yōu)波束形成的一般形式：

最優(yōu)濾波的準則：1.SNR（信噪比）最大準則2.均方誤差最小準則(MSE)3.線性約束最小方差準則(LCMV)4.最大似然準則在相同條件下是等價的20第二十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日1.SNR（信噪比）最大準則

如果信號分量與噪聲分量統(tǒng)計無關(guān)，且各自相關(guān)矩陣已知：其中為信號功率，為噪聲功率。

若陣列信號為：則

輸出功率：

21第二十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日則SNR（信噪比）最大準則即

22第二十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)瑞利熵，可看出即是求的最大特征值問題。

SNR最大準則的求解方法：

利用瑞利熵：

23第二十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日是矩陣對的最大廣義特征值對應(yīng)即（廣義特征值分解）的特征矢量。24第二十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日可見：

是的最大特征值對應(yīng)的特征向量。幾個特例：單點源信號：則有：在高斯白噪聲條件下，既是高斯白噪聲，又是單點源信號，則：25第二十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日利用要估計單元周圍的單元來估計噪聲協(xié)方差矩陣，即用參考單元估計。如何應(yīng)用SNR準則設(shè)計最優(yōu)波束形成器，關(guān)鍵在于能否分別計算信號功率和噪聲功率。eg:

在僅含噪聲（干擾）數(shù)據(jù)時，可以估計出從而得到當(dāng)既有信號又有噪聲時，智能天線------擴頻信號26第二十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日最大SNR準則，來波方向，干擾方向27第二十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日均方誤差最小準則(MSE)

應(yīng)用條件：需要一個期望輸出（參考）信號。

令則目標為：

其中是相關(guān)矢量，是相關(guān)矩陣。28第二十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日此求解可利用實函數(shù)對復(fù)變量求導(dǎo)法則，得

由公式可看出：應(yīng)用此方法僅需陣列信號與期望輸出信號的互相關(guān)矢量，因此尋找參考信號或與參考信號的互相關(guān)矢量是應(yīng)用該準則的前提。MSE準則的應(yīng)用：

1)自適應(yīng)均衡（通訊）

2)

多通道均衡（雷達）

3)自適應(yīng)天線旁瓣相消（SLC）29第二十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日加在輔助天線的權(quán)矢量獲得好的干擾抑制性能的條件：主天線與輔助天線對干擾信號接收輸出信號相關(guān)性較好。實例：天線旁瓣相消技術(shù)(ASC),

如圖3.3輔助天線（增益小，選取與主天線旁瓣電平相當(dāng)，無方向性，因此幾乎僅為干擾信號）-主天線圖3.330第三十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日干擾方向，來波方向31第三十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日3.線性約束最小方差(LCMV)準則

陣列輸出：

,方差為：（輸出功率）導(dǎo)向矢量約束為目標信號方向矢量。求解過程分析：信號：則目的是尋找最優(yōu)的權(quán)。

32第三十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日我們可以固定，即信號分量就固定了，然后最小化方差，相當(dāng)于使的方差最小，所以可得最優(yōu)準則為：（1可變?yōu)槿我夥橇愠?shù)）解得：如果固定，則。的取值不影響SNR和方向圖。33第三十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日注意：本準則要求波束形成的指向已知，而不要求參考信號和信號與干擾的相關(guān)矩陣。推廣到約束多個方向：一般的線性約束最小方差法為：解之：

特例：當(dāng)，即約束單個方向，則34第三十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日

可增加穩(wěn)健性。注：針對白噪聲，為單位陣，

，此時自適應(yīng)濾波是無能力的。

實際應(yīng)用：當(dāng)已知目標在方向，但也可能在附近，這時可令，結(jié)果可把主瓣展寬。35第三十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日在實際中，陣列天線不可避免地存在各種誤差。文獻Erroranalysisoftheoptimalantennaarrayprocessors.IEEETrans.onAES,1986,22(3):395-409對各種誤差（如陣元響應(yīng)誤差、通道頻率響應(yīng)誤差、陣元位置擾動誤差、互耦等）的影響進行了分析綜述，基本結(jié)論是：對于只利用干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求逆的方法，幅相誤差對自適應(yīng)波束形成的影響不大；但是對于利用信號加干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求逆的自適應(yīng)方法，當(dāng)信噪比較大時，雖然干擾零點位置變化不大，但是在信號方向上也可能形成零陷，導(dǎo)致信噪比嚴重下降。36第三十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日Capon法波束形成，來波方向,干擾方向為37第三十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日來波方向為，干擾方向為不同方法估計協(xié)方差矩陣的Capon法波束形成38第三十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日多點約束的波束形成，來波方向為，和39第三十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日§3.2.4三個最優(yōu)準則的比較

準則解的表達式所需已知條件SNR已知MSE已知期望信號LCMV已知期望信號方向40第四十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日對比LCMV:陣列信號假定已知且信號與噪聲不相關(guān)。SNR：

41第四十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日

中含有期望信號分量，而中不含期望信號分量，僅為噪聲分量。注意：由矩陣求逆引理：

所以：42第四十二頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日上式表明：在精確的方向矢量約束條件和相關(guān)矩陣精確已知條件下，SNR準則與LCMV準則等效。上述條件若不滿足，應(yīng)該用來計算。直接用求逆計算最優(yōu)權(quán)會導(dǎo)致信號相消。在最優(yōu)波束形成方法中，降低旁瓣電平的方法是加窗處理。

為加窗矩陣。

43第四十三頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日MSE：若已知與不相關(guān)，則由此看出，上述三個準則在一定條件下是等價的。

44第四十四頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日小結(jié)：

自適應(yīng)波束形成原理如圖3.4

12N圖3.445第四十五頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日實現(xiàn)框圖為圖3.5

圖3.5需已知二階統(tǒng)計量自適應(yīng)波束形成的特點：矩陣求逆運算量大，有待于尋找快速算法。已知46第四十六頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日§3.3自適應(yīng)算法

分塊算法（批處理方式）SMI

連續(xù)算法（每次快拍單獨計算）LMS

自適應(yīng)算法§3.3.1LMS算法

最小均方(LMS)算法差分最陡下降(DSD)算法加速梯度(AG)算法基于梯度的算法47第四十七頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日LMS算法

MSE準則：波束形成：期望輸出：誤差：圖3.648第四十八頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日EVD:LMS思想(widrow提出)：用瞬態(tài)值代替穩(wěn)態(tài)值.

迭代算法：LMS算法的優(yōu)點：實現(xiàn)簡單收斂性本質(zhì)上依賴于的特征值的分散程度，當(dāng)特征值很接近時，可找到一個使算法快收斂。嚴重缺陷：收斂性太慢。49第四十九頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日序號加速收斂性問題：

對角加載技術(shù)：

的特征值一般具有以下結(jié)構(gòu)：(如圖3.7)

圖3.750第五十頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日上式中的第二項為個大特征值對應(yīng)的特征矢量的線性組合。

是要求自由度，當(dāng)越大，自適應(yīng)能力越差。51第五十一頁，共五十八頁，編輯于2023年，星期日對角加載：

易知的離散程度大于的離散程度，所以對角加載以后，LMS算法收斂速度加快。實際實現(xiàn)時是在數(shù)據(jù)域加入功率一定的白噪聲。注意此過程是在計算權(quán)時進行，而在波束形成時則不需要。52第五十