離散數(shù)學(xué)群與子群

離散數(shù)學(xué)群與子群第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日獨(dú)異點(diǎn)是含有幺元的半群。前面曾提到，對(duì)于含有幺元的運(yùn)算可考慮元素的逆元，并不是每個(gè)元素均有逆元的，這一點(diǎn)引出了一個(gè)特殊的獨(dú)異點(diǎn)—群。群論的研究起源于19世紀(jì)，它是由于方程論的需要，首先作為置換群的理論發(fā)展起來的。隨后，發(fā)現(xiàn)在大多數(shù)問題中，重要的不是構(gòu)成群的置換本身，而應(yīng)該是集合在代數(shù)運(yùn)算下的性質(zhì)，因而提出了群的概念。群是近世代數(shù)中發(fā)展最早、內(nèi)容最廣泛、應(yīng)用最充分的一部分，是建立其它代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。下面我們重點(diǎn)討論群的概念及其性質(zhì)。第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日一、群的概念群與子群是一種特殊的獨(dú)異點(diǎn)，也是一種特殊的半群。

定義5-4.1

設(shè)<G,>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中G是非空集合，是G上一個(gè)二元運(yùn)算，如果 ⑴運(yùn)算是封閉的。 ⑵運(yùn)算是可結(jié)合的。 ⑶存在么元e。 ⑷對(duì)于每一元素x∈G，存在著它的逆元x-1。則稱<G,>是一個(gè)群（group）。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日例如：1.〈Q，+〉，〈Z，+〉，〈R，+〉為群，逆元-x2.〈R-{0}，*〉，〈P（S），〉都為群。3.〈N，+〉并不是群。4.〈Zn,+n〉為群,元素逆元：

x=0,x–1=0；

x0,x–1=n-xP191例題1；設(shè)R={0°，60°，120°，180°，240°，300°}表示在平面上幾何圖形繞形心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度的六種可能情況，設(shè)★是R上的二元運(yùn)算，對(duì)于R中任意兩個(gè)元素a和b,a★b表示平面圖形連續(xù)旋轉(zhuǎn)a和b得到的總旋轉(zhuǎn)角度。并規(guī)定旋轉(zhuǎn)360°等于原來的狀態(tài)，就看作沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)。驗(yàn)證<R,★>是一個(gè)群。第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日解：由題意，R上的二元運(yùn)算★的運(yùn)算表如上所示，由表知，運(yùn)算★在R上是封閉的。對(duì)于任意a,b,cR，(a★b)★c表示將圖形依次旋轉(zhuǎn)a,b和c，而a★(b★c)表示將圖形依次旋轉(zhuǎn)b,c和a，而總的旋轉(zhuǎn)角度都是a+b+c(mod360),因此(a★b)★c=a★(b★c)，即★運(yùn)算滿足結(jié)合性。0o是幺元。60o，120o，180o逆元分別是300o，240o，180o因此<R,★>是個(gè)群第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日例：G={a,b,c,e}，*如上表所示，是不是一個(gè)群？易見1）*運(yùn)算對(duì)G是封閉的，e為幺元。2)可以驗(yàn)證，*運(yùn)算可結(jié)合的。（在a,b,c三個(gè)元素中，任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)元素，）3）G中任何元素的逆元就是它自己；

。故〈G，*〉為一個(gè)群。此外，運(yùn)算是可交換的，一般稱這個(gè)群為克萊因(Klein)四元群,簡稱四元群。第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日思考練習(xí)已知：在整數(shù)集I上的二元運(yùn)算定義為：a,b∈I，ab=a+b-2

證明：<I,>為群。么元為：2逆元：x-1＝4-x第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日二、有限群和無限群

定義5-4.2

設(shè)<G,>是一群。如果G是有限集，那么稱<G,>為有限群,G中元素的個(gè)數(shù)通常稱為該有限群的階數(shù),記為|G|；如果G是無限集，則稱<G,>為無限群。例題1中所述的<R,★>就是一個(gè)有限群，且|R|=6。代數(shù)系統(tǒng)<I,+>是一個(gè)無限群，這里I是所有整數(shù)的集合，+是普通加法運(yùn)算。<I,+>，<Q,+>，<R,+>是無限群。<Nk,＋k>是有限群，是k階群。克萊因Klein四元群是4階有限群。只含單位元的群稱為平凡群。<{0},+>是平凡群。是1階群。第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日代數(shù)系統(tǒng)小結(jié)：至此，我們可以概括地說：廣群僅僅是一個(gè)具有封閉二元運(yùn)算的非空集合；半群是一個(gè)具有結(jié)合運(yùn)算的廣群；獨(dú)異點(diǎn)是具有幺元的半群；群是每個(gè)元素都有逆元的獨(dú)異點(diǎn)。

<G,>封閉性廣群結(jié)合性半群含幺元獨(dú)異點(diǎn)存在逆元群廣群半群獨(dú)異點(diǎn)群第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日群的基本性質(zhì)由于群的運(yùn)算可結(jié)合，故對(duì)任何一個(gè)元a，其逆元都是唯一的，記a-1。

(a-1=a-1*e=a-1*(a*(a-1)’)=(a-1*a)*(a-1)’=(a-1)’)定理5-4.1

群中不可能有零元。證明：當(dāng)群的階為1時(shí)，它的唯一元素是視作幺元。設(shè)|G|>1且群<G,>有零元。那么群中任何元素x

G，都有

x

＝

x

＝

≠e，所以，零元就不存在逆元，這與<G,>是群相矛盾。群中無零元！因?yàn)榱阍獰o逆元。第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日定理5-4.2設(shè)<G，>是一個(gè)群，對(duì)于a,bG，必存在唯一x

G

，使得ax

＝b。證明：⑴先證解的存在性

設(shè)a的逆元是a-1，令

x

＝a-1

b

（構(gòu)造一個(gè)解）

ax

＝a(a-1

b

)

＝(a

a-1

)

b

＝e

b

＝

b⑵再證解的唯一性若另有一解x

1滿足ax

1

＝b

，則

a-1

(ax

1)＝a-1

b

x

1＝a-1

b群方程存在唯一解第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日定理5-4.3設(shè)<G，>是一個(gè)群，對(duì)于任意a,b,cG，如果a

b=a

c

或者b

a=c

a，則必有b=c(消去律)。證明：設(shè)a

b＝a

c,且a的逆元a-1，則有

a-1(a

b

)＝a-1(a

c

)(a-1a)

b

＝(a-1a)

ce

b

＝

e

c

b

＝c

當(dāng)b

a=c

a時(shí)，可同樣證得b=c

。第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日三、置換為進(jìn)一步討論群性質(zhì)，引入置換的概念。定義5-4.3

設(shè)S為一個(gè)非空集合，從集合S到S的一個(gè)雙射稱為S的一個(gè)置換。例：集合S={a,b,c,d}置換為ab,bd,ca,dc

這是一個(gè)從S到S上的一對(duì)一映射，可表示為：

abcdbdac第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日定理5.4.4

群〈G，*〉的運(yùn)算表中任一行（列）的元素都是G中元素的一個(gè)置換。且不同行，不同列的置換都不同。證明首先，證明運(yùn)算表中的任一行或任一列所含G中的一個(gè)元素不可能多于一次。用反證法，如果對(duì)應(yīng)于元素a∈G的那一行中有兩個(gè)元素都是c,即有a*b1=a*b2=c且b1≠b2由可約性可得b1=b2,這與b1≠b2矛盾。其次，要證明G中的每一個(gè)元素都在運(yùn)算表的每一行和每一列中出現(xiàn)?？疾鞂?duì)應(yīng)于元素a∈G的那一行，設(shè)b是G中的任一元素，由于b=a*(a-1*b),所以b必定出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)于a的那一行中。再由運(yùn)算表中沒有兩行（或兩列）相同的事實(shí)，便可得出：<G,*>的運(yùn)算表中每一行都是G的元素的一個(gè)置換，且每一行都是不相同的。同樣的結(jié)論對(duì)于列也是成立的。第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日四、等冪元

定義5-4.4代數(shù)結(jié)構(gòu)<G，>中，如果存在a

G，有a

a=a

，則稱a為等冪元。定理5-4.5

在群<G，>中，除幺元e之外，不可能有任何別的等冪元。證明：因?yàn)閑

e=e

，所以e是等冪元?，F(xiàn)設(shè)a

G，a≠e

且a

a=a

則有

a=e

a=(a

-1a)a=a

-1(a

a)=a

-1a=e

與假設(shè)a≠e

且矛盾。第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日五、子群定義5-4.5設(shè)<G,*>是一個(gè)群，S是G的非空子集，如果<S,*>也構(gòu)成群，則稱<S,*>是<G,*>的一個(gè)子群。例：〈Z，+〉為群，取S={2zzZ},則〈Ｓ，＋〉為子群?！矗埃?，＋〉也為〈Z，+〉的子群.例：Klein四元群{e},{e,a},{e,b},{e,c},G都為子群。

定理5-4.6設(shè)<G,*>是一個(gè)群，<S,*>是<G,*>的一個(gè)子群，那么，<G,*>中的幺元e必定也是<S,*>中的幺元。證明:設(shè)<G,*>中的幺元為e1

對(duì)于任一x∈SG,必有

e1*x=x=e*x,

故e1=e。第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日五、子群定義5-4.6

設(shè)<G,*>是一個(gè)群，<S,*>是<G,*>的子群，如果S={e}，或者S=G，則稱<S,*>為<G,*>的平凡子群定理5-4.7〈G，*〉為一個(gè)群，B為G的非空子集且B為有限集，則只須*在B上封閉，〈B，*〉就是〈G，*〉的一個(gè)子群。證明:設(shè)b是B的任一個(gè)元素。若*在B上封閉，則元素b2=b*b,b3=b2*b,…都在B中。由于B是有限集，所以必存在正整數(shù)i和j,不妨假設(shè)i<j,使得bi=bj

即bi=bi*bj-i.這就說明bj-i是<G,*>中的幺元，且這個(gè)幺元也在子集B中。如果j-i>1,那么由bj-i=b*bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元，且bj-i-1∈B;如果j-i=1,那么由bi=bi*b可知b就是幺元，而幺元是以自身為逆元的。因此，<B,*>是<G,*>的一個(gè)子群。

第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日定理5-4.8

設(shè)<G,Δ>是群，S是G的非空子集，如果對(duì)于S中的任意元素a和b有aΔb-1∈S,則<S,Δ>是<G,Δ>的子群。