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第二章習(xí)題答案2-2真空中有一長度為l的細直線,均勻帶電,電荷線密度為。試計算P點的電場強度:(1)P點位于細直線的中垂線上,距離細直線中點l遠處;(2)P點位于細直線的延長線上,距離細直線中點l遠處。解:(1)可以看出,線電荷的場以直線的幾何軸線為對稱軸,產(chǎn)生的場為軸對稱場,因此采用圓柱坐標系,令z軸與線電荷重合,線電荷外一點的電場與方位角無關(guān),這樣處取的元電荷,它產(chǎn)生的電場與點電荷產(chǎn)生的場相同,為:zylzyl/2圖2-2長直線電荷周圍的電場l/2P其兩個分量:(1)(2)又所以:(3)式(3)分別代入式(1)(2)得:;(4)又(5)式(5)代入式(4)得:由于對稱性,在z方向分量互相抵消,故有(2)建立如圖所示的坐標系在x處取元電荷則它在P點產(chǎn)生的電場強度為oxoxydxPxR其在x方向的分量為:又2-4真空中的兩電荷的量值以及它們的位置是已知的,如題圖2-4所示,試寫出電位和電場的表達式。解:為子午面場,對稱軸為極軸,因此選球坐標系,由點電荷產(chǎn)生的電位公式得:題圖2-4題圖2-4又,,(r>a)或 2-9用雙層電介質(zhì)制成的同軸電纜如題圖2-9所示,介電常數(shù),內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度上所帶電荷分別為和(1)求兩種電介質(zhì)中以及和處的電場強度與電通密度;(2)求兩種電介質(zhì)中的電極化強度;(3)問何處有極化電荷,并求其密度。解:(1)由高斯定理可得:圖2-9圖2-9電場強度,故(2)由,得兩種電介質(zhì)中的電極化強度為(3)內(nèi)、外導(dǎo)體圓柱表面上和兩種電介質(zhì)交界面上有極化電荷,它們分別是:在處:在處:在處::ABCdddQ題ABCdddQ題圖2-10板間三區(qū)域內(nèi)的電場強度;兩介質(zhì)交界面上的極化電荷面密度;A、C板各自的自由電荷面密度。解(1)在A、C板間的三介質(zhì)區(qū)域內(nèi),分別為均勻電場,在Q為正電荷時各電場方向如圖所示,從而有從而解得(2)在兩介質(zhì)分界面上(3)在A、C板上的電荷面密度分別為2-12如題圖2-12所示球形電容器中,對半地填充有介電常數(shù)分別為和兩種均勻介質(zhì),兩介質(zhì)交界面是以球心為中心的圓環(huán)面。在內(nèi)、外導(dǎo)體間施加電壓U時,試求:(1)電容器中的電位函數(shù)和電場強度;(2)內(nèi)導(dǎo)體兩部分表面上的自由電荷密度。解:(1)題圖2-12方法一:設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為,外導(dǎo)體帶電荷,選球坐標,應(yīng)用高斯定律題圖2-12由媒質(zhì)分界面條件可知,在兩種介質(zhì)中,所以(1)令外導(dǎo)體為參考導(dǎo)體,則電位函數(shù)為(2)將上式帶入(1)(2)得,方法二:用靜電場的邊值問題求解,在均勻介質(zhì)1和介質(zhì)2中,電位分別滿足拉普拉斯方程,并且邊界面條件相同,所以可判斷兩個區(qū)域的電位函數(shù)相同,有取球坐標系有在兩種介質(zhì)中,都與、無關(guān),所以上式的通解為有邊界條件解得:==所以,(2)兩種介質(zhì)中的電位移矢量分別為,根據(jù)分界面條件對于本題,設(shè)媒質(zhì)2為介質(zhì),媒質(zhì)1為導(dǎo)體,因此有,則內(nèi)導(dǎo)體兩部分表面上的自由電荷密度為,2-16在半徑分別為a和b(b>a)的同軸長圓柱形導(dǎo)體之間,充滿密度為的空間電荷,且內(nèi)、外筒形導(dǎo)體之間的電壓為U,如題圖2-16所示。試用邊值問題的方法求電荷區(qū)內(nèi)的電位函數(shù)。題圖2-16-解:圓柱形導(dǎo)體之間的電位滿足泊松方程,題圖2-16-在圓柱形坐標中電位僅是的函數(shù),因此泊松方程有如下形式:上式的通解為由給定的邊界條件確定積分常數(shù):,所以:2-18兩平行導(dǎo)體平板,相距為d,板的尺寸遠大于d,一板的電位為零,另一板電位為,兩板間充滿電荷,電荷體密度與距離成正比,即。試求兩板間的電位分布(注:x=0處板的電位為零)。解:兩平行導(dǎo)體平板間的電位滿足泊松方程,忽略邊緣效應(yīng),在直角坐標系對應(yīng)的邊值問題為xoUxoU題圖2-18d其通解由給定的邊界條件確定積分常數(shù):,所以:上式第一項為電源對電位函數(shù)的貢獻,第二項為電荷的貢獻。2-19在無限大接地導(dǎo)體平面兩側(cè)各有一點電荷和,與導(dǎo)體平面的距離為d,求空間電位的分布。解:因為是無限大接地導(dǎo)體,所以,當單獨作用時,接地導(dǎo)體對相當于屏蔽作用,當單獨作用時,接地導(dǎo)體對相當于屏蔽作用,所以:單獨作用時產(chǎn)生的電位在所在側(cè),設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離,由鏡像法得:單獨作用時產(chǎn)生的電位在所在側(cè),設(shè)和分別為和的鏡像到p的距離,由鏡像法得:2-27若將某對稱的三芯電纜中三個導(dǎo)體相連,測得導(dǎo)體與鉛皮間的電容為0.051,若將電纜中的兩導(dǎo)體與鉛皮相連,它們與另一導(dǎo)體間的電容為0.037,求:(1)電纜的各部分電容;(2)每一相的工作電容;(3)若在導(dǎo)體1、2之間加直流電壓100V,求導(dǎo)體每單位長度的電荷量。解:三芯電纜的結(jié)構(gòu)及各部分電容如圖(a)所示對應(yīng)于兩次測量的等值電容電路分別如圖(b)和圖(c)所示:由圖(b)得:,由圖(c)得:圖(a)圖(b)圖(c) 圖(d)圖(e)工作電容是指在一定的工作狀態(tài)下的等值電
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