離散型隨機(jī)變量的方差與期望值

離散型隨機(jī)變量的方差與期望值第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日隨機(jī)變量的概率分布及其分布函數(shù)—完整地描述了隨機(jī)變量的取值規(guī)律。

而在一些實(shí)際問題中，只需知道描述隨機(jī)變量的某種特征的量—隨機(jī)變量的數(shù)字特征。在這些數(shù)字特征中，最重要的是期望值和方差。第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日離散型隨機(jī)變量的期望值

(expectedvalue)離散型隨機(jī)變量X的期望值定義為，在離散型隨機(jī)變量X的一切可能值的完備組中，各可能值xi與其對(duì)應(yīng)概率pi的乘積之和稱該隨機(jī)變量X的期望值（expectedvalue），記做E(X)或μ若X取值：x1,x2，…，xn，其對(duì)應(yīng)的概率為：p1，p2

，…

，pn，則期望值為：

E（X）=

x1p1+x2p2

+。。。+xnpn第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日若X取無窮個(gè)數(shù)值：x1,x2，…，xn...其對(duì)應(yīng)的概率為p1，p2

，…

，pn。。。

則期望值為：E（X）期望值E（X）也稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日

【例】投擲一顆骰子后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。寫出擲一枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的概率分布

概率分布期望：μ=E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3.5X=xi123456P(X=xi)pi1/61/61/61/61/61/6第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日1.描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度

2.離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率pi乘積之和

3.記為或E(X)，計(jì)算公式為:

=E(X)=

x1p1+x2p2

+。。。+xnpn=

第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日由離散型隨機(jī)變量X的期望值定義可看到，它與加權(quán)平均數(shù)的寫法有點(diǎn)類似，其實(shí)它是加權(quán)平均數(shù)的一種推廣。一般實(shí)際數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)是具體數(shù)據(jù)的平均指標(biāo)，而這里所談的期望是隨機(jī)變量X的期望指標(biāo)。第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差—描述隨機(jī)變量X與其均值（數(shù)學(xué)期望）的離散程度的。隨機(jī)變量的方差定義為每一個(gè)隨機(jī)變量的取值與期望值的離差平方之期望值。設(shè)隨機(jī)變量為X，其方差常用x,D(X)或V(X)表示，本書采用D(X),則D（X）=E[X－E（X）]2

oh,dear！Comeon!

第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日由上式可知，方差實(shí)際上就是隨機(jī)變量X的函數(shù)[X－E（X）]2的數(shù)學(xué)期望。于是，若X是離散型隨機(jī)變量，則第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量方差的算術(shù)平方根就為標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)擲骰子的例子，隨機(jī)變量X的方差為：

=2.9167標(biāo)準(zhǔn)差=1.7078，說明每次擲得的點(diǎn)數(shù)與平均點(diǎn)數(shù)3.5平均相距1.7078點(diǎn)。

第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期日隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了:隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。第十一頁，共十二頁