2020年高考數(shù)學(xué)人教B版典例透析能力提升必修2課件：1221-平行直線、直線與平面平行-Word版含解析

1.2.2空間中的平行關(guān)系第一課時(shí)

平行直線、直線與平面平行1.通過直觀感知、操作確認(rèn),歸納出空間中線線平行、線面平行的相關(guān)公理、定理及性質(zhì).2.理解空間平行線的傳遞性,會證明空間等角定理.3.掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,并能利用以上定理解決空間中的相關(guān)平行性問題.12341.平行直線(1)平行公理:過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行.(2)基本性質(zhì)4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.上述基本性質(zhì)通常又叫空間平行線的傳遞性.(3)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等.1234【做一做1】

若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA與O1A1的方向相同,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB與O1B1不平行D.OB與O1B1不一定平行答案：D12342.空間四邊形

1234【做一做2】

在空間中,下列說法正確的個(gè)數(shù)為(

)①有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形;②四邊相等的四邊形是菱形;③平行于同一直線的兩直線平行;④有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.A.1 B.2 C.3 D.4解析：有兩組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形,可能是空間四邊形,故①不正確,同理,②也可能是空間四邊形,只有③④正確.答案：B12343.直線與平面的位置關(guān)系一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有以下三種:1234名師點(diǎn)撥

1.若直線與平面內(nèi)的無數(shù)多條直線平行,也不能認(rèn)為直線與平面一定平行,如:直線在平面內(nèi),與之平行的直線也有無數(shù)條.2.直線與平面不相交和直線與平面沒有公共點(diǎn)是不一樣的,前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)兩種情況,而后者僅指直線與平面平行.1234【做一做3-1】

如果兩直線a∥b,且a∥平面α,那么b與α的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.b∥αC.b?α

D.b∥α或b?α解析：b?α能滿足a∥b,且a∥平面α;b∥α也能滿足a∥b,且a∥平面α.答案：D【做一做3-2】

過平面外一點(diǎn)可以作

條直線與已知平面平行.

答案：無數(shù)12344.直線與平面平行的判定和性質(zhì)定理(1)判定定理:如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行.(2)性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行.1234【做一做4-1】

已知△ABC,△DBC分別在平面α,β內(nèi),E∈AB,且不與A,B重合,F∈AC,且不與A,C重合,M∈DB,N∈DC,且EF∥MN,則EF與BC的位置關(guān)系是

(

)A.平行 B.相交或平行C.平行或異面 D.平行或異面或相交解析：如圖所示,因?yàn)镋F∥MN,所以EF∥平面BCD.又因?yàn)镋F?平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC,所以EF∥BC.答案：A1234【做一做4-2】

P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),Q是PA的中點(diǎn),則直線PC和平面BDQ的位置關(guān)系為

.

解析：連接AC,交BD于點(diǎn)O,可證得PC∥OQ.又因?yàn)镻C?平面BDQ,OQ?平面BDQ,所以PC∥平面BDQ.答案：PC∥平面BDQ121.一條直線與一個(gè)平面平行,探討這條直線與這個(gè)平面中直線的關(guān)系剖析：一條直線與一個(gè)平面平行,它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行,這無數(shù)條直線是一組平行線.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)锳1C1∥AC,12所以A1C1∥平面ABCD.在平面ABCD內(nèi)所有與AC平行的直線,由基本性質(zhì)4知都應(yīng)與A1C1平行,這樣的直線顯然有無數(shù)多條,但直線A1C1并不是和這個(gè)面內(nèi)的所有直線都平行,在平面ABCD中,所有與AC相交的直線與A1C1的位置關(guān)系都是異面.由此說明:直線與平面平行可得直線與平面無公共點(diǎn),則直線與平面內(nèi)的任意直線都無公共點(diǎn),則直線與平面內(nèi)的直線有且僅有兩種位置關(guān)系:平行和異面.122.教材中的“思考與討論”空間中,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,并且對應(yīng)邊的方向都相反,那么這兩個(gè)角的大小關(guān)系如何?如果一組對應(yīng)邊方向相同,另一組對應(yīng)邊方向相反,這兩個(gè)角的大小關(guān)系又如何?敘述你得到的結(jié)論,并說明理由.剖析：由已知可得如下結(jié)論:結(jié)論1:空間中,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,并且對應(yīng)邊的方向都相反,那么這兩個(gè)角相等.結(jié)論2:空間中,如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,并且一組對應(yīng)邊方向相同,另一組對應(yīng)邊方向相反,那么這兩個(gè)角互補(bǔ).12證明:對于結(jié)論1:如圖①,延長CA到點(diǎn)C2,延長BA到點(diǎn)B2.因?yàn)锽A∥B1A1,所以B1A1∥AB2,同理A1C1∥AC2.易知∠BAC=∠C2AB2,且AB與AB2,AC與AC2方向相反,可知AB2與A1B1,AC2與A1C1方向相同,由等角定理可知,∠B2AC2=∠B1A1C1.從而有∠BAC=∠B1A1C1.所以結(jié)論1是成立的.12對于結(jié)論2,如圖②,AC與A1C1平行且方向相同,AB與A1B1平行且方向相反,延長BA到B2,就有AB2∥A1B1,且AB2與A1B1方向相同.由等角定理可知∠B2AC=∠B1A1C1,由于∠B2AC+∠BAC=180°,所以∠BAC與∠B1A1C1互補(bǔ).題型一題型二題型三題型四題型五基本性質(zhì)4的應(yīng)用

【例1】

如圖,已知E,F分別是空間四邊形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn),G,H分別是邊CD與AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn),求證:四邊形EFGH是梯形.分析：要證明四邊形EFGH是梯形,需證明一組對邊平行且不相等即可.通過本題條件可知,利用平面的基本性質(zhì)4即可解決.題型一題型二題型三題型四題型五反思

證明空間兩直線平行,可尋找第三條直線,使之與這兩條直線分別平行,利用基本性質(zhì)4可證.除此之外,我們還要熟悉各種幾何圖形的定義和特征.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】

如圖,已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).(1)求證:四邊形EFGH是平行四邊形;(2)若四邊形EFGH是矩形,求證:AC⊥BD.題型一題型二題型三題型四題型五證明(1)如題圖,在△ABD中,∵EH是△ABD的中位線,∴EH∥BD,EH=BD.又FG是△CBD的中位線,∴FG∥BD,FG=BD.∴FG∥EH.∴E,F,G,H四點(diǎn)共面.又FG=EH,∴四邊形EFGH是平行四邊形.(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.∵四邊形EFGH是矩形,∴EH⊥GH.∴AC⊥BD.題型一題型二題型三題型四題型五等角定理的應(yīng)用

【例2】

已知E,E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中點(diǎn).求證:∠BEC=∠B1E1C1.分析：欲證明兩個(gè)角相等,可運(yùn)用等角定理來解決.題型一題型二題型三題型四題型五證明如圖,連接EE1.所以四邊形BB1E1E是平行四邊形.所以EB∥E1B1.同理,EC∥E1C1.又因?yàn)椤螧EC與∠B1E1C1的兩邊的方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1.題型一題型二題型三題型四題型五反思

空間兩角的兩邊分別平行,若兩邊的方向都相同(或相反),則兩角相等;若一邊方向相同,另一邊方向相反,則兩角互補(bǔ).題型一題型二題型三題型四題型五所以EF∥BC.同理EG∥BD,GF∥DC.又∠GEF與∠DBC的兩組對邊方向分別相同,∴∠GEF=∠DBC.同理∠EGF=∠BDC.故△EFG∽△BCD.題型一題型二題型三題型四題型五線面平行的判定定理的應(yīng)用

【例3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AD1與BD的中點(diǎn).求證:MN∥平面CC1D1D.分析：證明MN∥平面CC1D1D的關(guān)鍵是在平面CC1D1D中找到一條直線與MN平行,一方面可以通過三角形的中位線,另一方面也可通過平行四邊形的對邊平行等性質(zhì)進(jìn)行證明.題型一題型二題型三題型四題型五證明(方法一)連接AC,CD1(如圖),因?yàn)镹是BD的中點(diǎn),所以N也是AC的中點(diǎn).又因?yàn)镸是AD1的中點(diǎn),所以MN是△ACD1的中位線.因此MN∥CD1,因?yàn)镸N?平面CC1D1D,CD1?平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.題型一題型二題型三題型四題型五(方法二)取D1D的中點(diǎn)E,DC的中點(diǎn)F,連接ME,NF,EF(如圖).因?yàn)镸,E分別是AD1,DD1的中點(diǎn),所以ME是△D1AD的中位線,故四邊形MNFE是平行四邊形.因此MN∥EF,又MN?平面CC1D1D,EF?平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.題型一題型二題型三題型四題型五反思

1.直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用步驟其中,在平面α內(nèi)的直線是關(guān)鍵,它要么是已經(jīng)存在,需要被發(fā)現(xiàn)或找到,要么是在圖形中還未出現(xiàn),需要作出.2.注意中點(diǎn)的應(yīng)用證明線面平行問題,條件常常與中點(diǎn)有關(guān),在題目中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí),常見的證線線平行的兩種途徑:(1)中位線→線線平行;(2)平行四邊形→線線平行.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BC,C1D1的中點(diǎn).求證:EF∥平面BB1D1D.分析：解答本題可先在平面BB1D1D內(nèi)尋求一條與EF平行的直線,再根據(jù)線面平行的判定定理證明.題型一題型二題型三題型四題型五證明分別過E,F作BD,B1D1的垂線,垂足為E1,F1,連接E1F1.所以四邊形EE1F1F為平行四邊形,所以EF∥E1F1.又EF?平面BB1D1D,E1F1?平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.題型一題型二題型三題型四題型五線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

【例4】

如圖,四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面,若截面為平行四邊形.(1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;(2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.分析：(1)利用線面平行的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行證明;(2)利用相似性質(zhì)來求邊長.題型一題型二題型三題型四題型五(1)證明因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形,所以EF∥HG.因?yàn)镠G?平面ABD,所以EF∥平面ABD.因?yàn)镋F?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,所以EF∥AB.又因?yàn)镋F?平面EFGH,AB?平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.同理,CD∥平面EFGH.(2)解設(shè)EF=x(0<x<4),又因?yàn)?<x<4,所以8<l<12,即四邊形EFGH周長的取值范圍為(8,12).題型一題型二題型三題型四題型五反思

判定與性質(zhì)定理常常交替使用:先通過線線平行推出線面平行,再通過線面平行推出線線平行,復(fù)雜的題目還可以繼續(xù)推下去,我們可稱為平行鏈,如下:題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】

如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過點(diǎn)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:AP∥GH.題型一題型二題型三題型四題型五證明連接AC交BD于點(diǎn)O,連接MO,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴O是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn),∴AP∥OM.又OM?平面BMD,AP?平面BMD,∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD=GH,AP?平面PAHG,∴AP∥GH.題型一題型二題型三題型四題型五易錯(cuò)辨析

易錯(cuò)點(diǎn):線面平行的判定與性質(zhì)定理應(yīng)用不當(dāng)致錯(cuò)【例5】

平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面,那么另一條直線也平行于這個(gè)平面.已知:直線a∥b,a∥平面α,a,b?α.求證:b∥α.錯(cuò)解:因?yàn)橹本€a∥b,所以a與b無公共點(diǎn).又因?yàn)閍∥平面α,所以a與平面α也無公共點(diǎn),又因?yàn)閎?α,所以b與α無公共點(diǎn),所以b∥α.題型一題型二題型三題型四題型五錯(cuò)因分析：b?α包含b∥α和b∩α=M兩種情況,上面證明誤認(rèn)為b?α即b∥α而致錯(cuò).正解:如圖,過a及平面α內(nèi)一點(diǎn)A作平面β,設(shè)β∩α=c.因?yàn)閍∥α,所以a∥c.因?yàn)閍∥b,所以b∥c.因?yàn)閎?α,c?α,所以b∥α.題型一題型二題型三題型四題型五反思

已知條件中有a∥α,為了利用直線和平面平行的性質(zhì)定理,因此過a作平面β與α相交,這里我們把平面β稱為輔助平面,它可以起到橋梁作用,作輔助平面是把空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化的一種手段.123451已知下列敘述:①如果一條直線和另一條直線平行,那么它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行;②若一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線與這個(gè)平面內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn),因此這條直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行;③若直線l與平面α不平行,則l與α內(nèi)任一直線都不平行;④與一平面內(nèi)無數(shù)條直線都平行的直線必與此平面平行.其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析：如果一條直線和另一條直線平行,那么它就在經(jīng)過這兩條直線的平面內(nèi),①錯(cuò)