第三課時圓周角定理及其推論的應用

第三課時圓周角定理及其推論的應用第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一圓周角第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一學習目標理解并掌握圓周角的定義.掌握圓周角的性質(zhì)及定理.第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一定義：頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.●OBACBAC究竟什么樣的角是圓周角呢？

一、認識圓周角

第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一要點：1.頂點在圓上

2.兩邊與圓相交辨一辨：指出下圖中的圓周角

（1）（2）（3）（4）（5）（6）ABAB第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一如圖，線段AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上任意一點（除點A、B）那么∠ACB就是直徑AB所對的圓周角.想想看,∠ACB會是怎么樣的角？為什么呢？

1、直徑所對的圓周角21二、探索與圓周角有關(guān)的性質(zhì).1.gsp第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一直徑所對的圓周角等于90°（直角）

.反過來也是成立的，即:90°的圓周角所對的弦是直徑..性質(zhì)1：第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一練習

如圖，AB為⊙O的直徑，∠A=80°，求∠ABC的度數(shù).ABO第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一在圓O中任意畫出一個圓周角∠ACB(弧AB為劣弧)再畫出弧AB所對的圓心角，即∠AOB.

用你所學過的知識比較一下∠ACB與∠AOB,你會發(fā)現(xiàn)什么？2、探索：同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系.二、探索與圓周角有關(guān)的性質(zhì).gsp第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一

圓心在角

的一邊上

圓心在角

的內(nèi)部

圓心在角

的外部

圓周角與圓心的位置關(guān)系有以下三種情況：

COABDDOCABOCAB第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一同弧(或等弧)

所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

同弧或等弧所對的圓周角都相等.性質(zhì)2：

在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等

第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一當球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC別形成三個張角∠ABC,∠ADC,∠AEC.這三個角的大小有什么關(guān)系?.●OBACBACBACBACBACBACDEDBACE在同圓內(nèi),同弧或等弧所對的圓周角相等.第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一圓周角定理的內(nèi)容:1、半圓或直徑所對的圓周角是直角；2、90°的圓周角所對的弦是直徑；3、一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；4、同弧或等弧所對的圓周角相等；5、在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；（等弧---等角，直徑

直角三角形）.gsp內(nèi)容小結(jié)：第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一練習一：2.如圖,圓心角∠AOB=100°，則∠ACB=

.OABCBAO.70°x1.求圓中角X的度數(shù).AO.x120°3.如圖,在直徑為AB的半圓中,點O為圓心,點C、D為半圓上的兩點，∠COD=500，則∠CAD=______.第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一··APBCO證明：∵∠ABC=∠APC=60°∠BAC=∠CPB=60°.(同弧所對的圓周角相等）∴△ABC等邊三角形.4.如圖P是△ABC的外接圓上的一點,∠APC=∠CPB=600,判斷△ABC形狀.第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一5.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的圓交BC于D,交AC于E.求證：⌒⌒

BD=DEABCDEO第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一證明：連結(jié)AD.∵AB是圓的直徑，點D在圓上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分頂角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴⌒⌒BD=DE（同圓或等圓中，相等的圓周角所對弧相等）.ABCDE5.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交BC于D,交AC于E.求證：⌒⌒

BD=DE第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一圓周角定理的作用：（1）直徑直角（垂直關(guān)系）；（2）圓周角--圓心角；（3）同弧等圓周角，等弧等圓周角.第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一與圓周角有關(guān)的輔助線：過圓上某點作直徑，連結(jié)過直徑端點的弦：構(gòu)造直角三角形；構(gòu)造同弧所對的圓周角(等角).gsp第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一練習二1.如圖,在⊙O中,∠BOC=50°,∠A=.2．如圖,在⊙O中,AB＝AC,∠ABC＝70°.∠BOC=

.3.在⊙O中,弦BC=2,∠A=30°,則⊙O的半徑為

.4.在⊙O中,弦BC=2,∠A=45°,則⊙O的半徑為

..●OBAC︵︵第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一.如圖,在⊙O中,∠BAD=70°,求∠C的大小.●O●OCABDBACD5.圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一6.如圖:四邊形ABCD內(nèi)接于⊙Ｏ,求∠BOD.ABDCO圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.并且一個外角等于它的內(nèi)對角.第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一畫圖分析幾個相關(guān)的結(jié)論：1.圓的內(nèi)接平行四邊形是

；2.圓內(nèi)兩條平行弦所夾的弧

；3.圓的內(nèi)接梯形是

；第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)圓的兩條平行弦所夾的弧相等.第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一ABDGFCEO7、如圖:AB是⊙Ｏ的直徑,弦CD⊥AB于點E,G是AC上任意一點,延長AG,與DC的延長線相交于點F,連接AD,GD,CG,找出圖中所有和∠ADC相等的角,并說明理由.⌒第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一幾個與圓周角相關(guān)的結(jié)論：1.圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形；2.圓的內(nèi)接梯形是等腰梯形；3.圓內(nèi)兩條平行弦所夾的弧相等；4.圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.并且一個外角等于它的內(nèi)對角.第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一

關(guān)于圓周角定理的訓練（1）第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一1.OA是圓O的半徑，以O(shè)A為直徑的圓C與圓O的弦AB交于點D，判斷AD與BD的關(guān)系,說明理由.第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一2.已知：在⊙O中，AB=CD，求證：∠ABD=∠CDB.OEDBCA第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一3.AB、AC是⊙O的兩條弦，延長CA到D，使AD=AB.若∠ADB=40°，求∠BOC.BDACO第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一4．AB是⊙Ｏ的直徑，BD是⊙Ｏ的弦，延長BD到點C，使CD=BD，連接AC．判斷AB與AC的關(guān)系,說明理由.ＡＢＣＤO第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一5.點A、B、C在半徑為2cm的圓上，若BC=2cm，求∠BAC的度數(shù).（畫圖分析后進行計算）第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一與圓周角有關(guān)的輔助線：過圓上某點作直徑，連結(jié)過直徑端點的弦：

構(gòu)造直角三角形；構(gòu)造同弧所對的圓周角(等角).gsp第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一

關(guān)于圓周角定理的訓練（2）作業(yè)本第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一1、已知：點A、B、C三點在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是圓O的直徑．（1）求證：AB·AC=AE·AD；（2）若F為BC的中點，求證：AF平分∠DAE.⌒第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一2、在圓的內(nèi)接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC于D，且AD=3，設(shè)⊙O的半徑為y，AB的長為x.（1）用含x的代數(shù)式表示y；（2）當AB長為多少時，⊙O的面積最大？并求出最大面積.第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一3、已知：點A、B、C在⊙O上，AB=AC，點D是BC邊上一點，點E是直線AD和圓的交點.（1）探索：AB、AD、AE之間的關(guān)系.（2）當D為BC延長線上一點時，上述結(jié)論還成立嗎？如果成立，請畫圖給予證明；若不成立，說明理由.第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一4、已知BC為半圓O的直徑，點F為半圓上異于B、C的一點，點A是BF的中點，AD⊥BC于點D，BF交AD于點E.求證：（1）AE=BE；（2）BE·BF=BD·BC.︵第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一5.如圖：已知BC為⊙Ｏ的直徑，AD⊥BC，垂足為D，BF交AD于E，且AE=BE．（１）求證：AB=AF（２）若sin∠FBC＝

ＯＡＢＣＤＥＦ︵︵第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一與圓周角有關(guān)的輔助線：過圓上某點作直徑，連結(jié)過直徑端點的弦：

構(gòu)造直角三角形；構(gòu)造同弧所對的圓周角(等角).gsp第四十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一備用第四十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一駛向勝利的彼岸圓周角和圓心角的關(guān)系1.首先考慮一種特殊情況：當圓心(O)在圓周角(∠ABC)的一邊(BC)上時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系.議一議∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.第四十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一駛向勝利的彼岸圓周角和圓心角的關(guān)系如果圓心不在圓周角的一邊上,結(jié)果會怎樣?2.當圓心(O)在圓周角(∠ABC)的內(nèi)部時,圓周角∠ABC與圓心角∠AOC的大小關(guān)系會怎樣?議一議老師提示:能否轉(zhuǎn)化為1的情況?過點B作直徑BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,第四十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星