131函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件

§3.1函數(shù)的單調(diào)性yx0復(fù)習(xí)引入：?jiǎn)栴}1：怎樣利用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)討論其在定義域的單調(diào)性1．一般地，對(duì)于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).即x1-x2與f(x1)-f(x2)同號(hào),即

.(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)此時(shí)x1-x2與f(x1)-f(x2)異號(hào),即(2)作差f(x1)－f(x2)，并變形.2．由定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：(1)設(shè)x1、x2是給定區(qū)間的任意兩個(gè)值，且x1<x2.(3)判斷差的符號(hào)(與０比較)，從而得函數(shù)的單調(diào)性.例1：討論函數(shù)y=x2－4x＋3的單調(diào)性.解：取x1<x2∈R，

f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）

=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）

=(x1－x2)(x1+x2－4）則當(dāng)x1<x2<2時(shí)，x1+x2－4<0，f(x1)>f(x2)，那么y=f(x)單調(diào)遞減。當(dāng)2<x1<x2時(shí)，x1+x2－4>0，f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)單調(diào)遞增。綜上y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）

y=f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，2）。函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：2yx0單增區(qū)間：（２，+∞）.單減區(qū)間：(－∞，２).0yx12-1-2單增區(qū)間：(-∞，-1)和（1，+∞）.單減區(qū)間：(-1，0）和（0，1）.例2：討論函數(shù)的單調(diào)性。

那么如何求出下列函數(shù)的單調(diào)性呢?發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：用單調(diào)性定義討論函數(shù)單調(diào)性雖然可行，但十分麻煩，尤其是在不知道函數(shù)圖象時(shí).例如y=x3+2x2-x.是否有更為簡(jiǎn)捷的方法呢？下面我們通過(guò)函數(shù)的y=x2－4x＋3圖象來(lái)考察單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系：這表明：導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)2yx0.......再觀察函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象：總結(jié):該函數(shù)在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導(dǎo)數(shù)為負(fù),在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導(dǎo)數(shù)為正.而當(dāng)x=2時(shí)其切線斜率為0,即導(dǎo)數(shù)為0.函數(shù)在該點(diǎn)單調(diào)性發(fā)生改變.結(jié)論:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則函數(shù)在該區(qū)間如果f′(x)>0,注意:如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為常數(shù)函數(shù).如果f′(x)<0,則f(x)為增函數(shù);則f(x)為減函數(shù).例2.確定函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)？在哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)？2xyo解:(1)求函數(shù)的定義域

函數(shù)f(x)的定義域是(－∞,＋∞)（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（3）令以及求自變量x的取值范圍，也即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令2x－4>0,解得x>2∴x∈(2,＋∞)時(shí)，是增函數(shù)令2x－4<0,解得x<2∴x∈(-∞,2)時(shí)，是減函數(shù)例4

求函數(shù)f(x)=sinx,x∈[0,2π]的單調(diào)區(qū)間.例5

判定函數(shù)y=ex-x+1的單調(diào)區(qū)間.解:f’(x)=ex-1

當(dāng)ex-1>0時(shí),解得x>0.則函數(shù)的單增區(qū)間為(0,+∞).

當(dāng)ex-1<0時(shí),解得x<0.即函數(shù)的單減區(qū)間為(-∞,0).總結(jié)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性1.確定函數(shù)f(x)的定義域.2.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.解不等式f′(x)>0,得函數(shù)單增區(qū)間;

解不等式f′(x)<0,得函數(shù)單減區(qū)間.知識(shí)應(yīng)用1．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)．函數(shù)y=x－3在[－3，5]上為______函數(shù)(填“增”或“減”)。基礎(chǔ)訓(xùn)練：增(2)．函數(shù)y=x2－3x

在[2,+∞)上為______函數(shù)，在(-∞,1]上為___函數(shù)，在[1,2]上為函數(shù)(填“增”或“減”或“既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)”)。增減既不是增函數(shù)又不是減函數(shù)變1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。理解訓(xùn)練：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例1變2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。鞏固訓(xùn)練：變3：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：試畫出函數(shù)圖象的大致形狀。ABxyo23例22．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)信息確定函數(shù)大致圖象設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示,則的圖象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考嘗試-11-22-1-212xyＣＡＢＣＤ-２-１-１２-２２１２１-１-１高考嘗試B1、函數(shù)f(x)=x3-3x+1的減區(qū)間為()(-1,1)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)課堂練習(xí)A3、當(dāng)x∈(-2,1)時(shí)，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()單調(diào)遞增函數(shù)（B）單調(diào)遞減函數(shù)(C)部份單調(diào)增，部分單調(diào)減(D)單調(diào)性不能確定2、函數(shù)y=a(x3-x)的減區(qū)間為a的取值范圍為()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>1(D)0<a<1AB思考題A求參數(shù)的取值范圍解:由題意

f/(x)=3ax2-2x+1>0

在(-￥,+￥)恒成立

當(dāng)a=0時(shí),-2x+1>0Tx<12不是恒成立(舍去)

當(dāng)a10時(shí),\必須有

a>0

=(-2)2-4×(3a)￡0\

a>0a313

Ta313

\a313例2：解：由已知得因?yàn)楹瘮?shù)在（0，1]上單調(diào)遞增在某個(gè)區(qū)間上，，f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0也能使f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，所以對(duì)于取到等號(hào)的問(wèn)題需要驗(yàn)證解法一：(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因?yàn)閒(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因?yàn)?<x＋1<5，所以當(dāng)a≥5時(shí)，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因?yàn)閒(x)在(6，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，

所以a≤x＋1，因?yàn)閤＋1>7，所以a≤7時(shí)，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由題意知5≤a≤7.解法二：(數(shù)形結(jié)合)如圖所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)內(nèi)f′(x)≤0，(6，＋∞)內(nèi)f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根為1，則另一根在[4,6]上．[點(diǎn)評(píng)]本題是含參數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想．[解析]

解法三：(區(qū)間法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.當(dāng)a－1≤1，即a≤2時(shí)，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意．當(dāng)a－1>1，即a>2時(shí)，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，a－1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.例4：方程根的問(wèn)題求證：方程只有一個(gè)根。證明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函數(shù).∵f(0)=e0－1－0=0.∴當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x2.當(dāng)x＞0時(shí)，證明不等式：1+2x＜e2x.分析：令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能夠證明f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，那么f(x)＞0，則不等式就可以證明.點(diǎn)評(píng)：所以以后要證明不等式時(shí)，可以利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，把特殊點(diǎn)找出來(lái)使函數(shù)的值為0.已知：x＞0，求證：x＞sinx.[解析]

設(shè)f(x)＝x－sinx

(x＞0)f′(x)＝1－cosx≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立∴函數(shù)f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)又f(0)＝0∴f(x)＞0對(duì)x∈(0，＋∞