自學(xué)考試復(fù)習(xí)：線性代數(shù)練習(xí)一

PAGEPAGE1自學(xué)考試復(fù)習(xí)：線性代數(shù)練習(xí)一1.計(jì)算矩陣相乘已知矩陣A=（123，456，789），B=（987，654，321），求A*B。解：根據(jù)矩陣乘法的定義，AB的第i行第j列的元素為A的第i行和B的第j列之積之和，也就是說(shuō)：AB(i,j)=A(i,1)*B(1,j)+A(i,2)*B(2,j)+…+A(i,n)*B(n,j)又因?yàn)锳B是3x3矩陣，所以i和j都從1到3，于是我們可以依次計(jì)算出AB的每個(gè)元素。AB(1,1)=1*9+2*6+3*3=30AB(1,2)=1*8+2*5+3*2=23AB(1,3)=1*7+2*4+3*1=16AB(2,1)=4*9+5*6+6*3=84AB(2,2)=4*8+5*5+6*2=62AB(2,3)=4*7+5*4+6*1=40AB(3,1)=7*9+8*6+9*3=138AB(3,2)=7*8+8*5+9*2=107AB(3,3)=7*7+8*4+9*1=76所以，A*B=（302316，846240，13810776）。2.求矩陣的轉(zhuǎn)置已知矩陣A=（123，456，789），求AT。解：矩陣的轉(zhuǎn)置是將其行和列互換得到的新矩陣。對(duì)于一個(gè)3x3矩陣，其轉(zhuǎn)置矩陣也是3x3的。所以，A的轉(zhuǎn)置矩陣AT為：AT=（147，258，369）。3.計(jì)算矩陣的行列式已知矩陣A=（123，456，789），求det(A)。解：矩陣的行列式（determinant）是一個(gè)標(biāo)量，表示一個(gè)矩陣的某些線性性質(zhì)，如可逆性等。對(duì)于一個(gè)3x3矩陣，其行列式的計(jì)算公式為：det(A)=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a31*a22*a13-a32*a23*a11-a33*a21*a12其中，j表示矩陣A第i行第j列的元素。帶入矩陣A的元素，得到：det(A)=1*5*9+2*6*7+3*4*8-3*5*7-2*4*9-1*6*8=45+84+96-105-72-48=0所以，矩陣A的行列式為0，說(shuō)明矩陣A不可逆。4.計(jì)算矩陣的逆已知矩陣A=（123，456，789），求A的逆矩陣A-1（如果存在）。解：如果矩陣的行列式為0，則該矩陣不可逆，不存在逆矩陣。由上題可知，矩陣A的行列式為0，因此不存在逆矩陣。5.計(jì)算矩陣的秩已知矩陣A=（123，456，789），求A的秩。解：一個(gè)矩陣的秩是指它的行向量或列向量組的最大線性無(wú)關(guān)組數(shù)。可以通過(guò)高斯消元法將矩陣變?yōu)殡A梯形矩陣，階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩。將矩陣A進(jìn)行高斯消元變換，得