高中數(shù)學(xué)必修四導(dǎo)學(xué)案31兩角和與差的余弦公式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．經(jīng)受用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用.2．通過簡潔運用，初步理解公式的結(jié)構(gòu)及功能，為建立其它和〔差〕公式打好根底.【要點梳理】要點一：兩角差的余弦公式1．兩角差的余弦公式的推導(dǎo)：〔1〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，它們的終邊與單位圓的交點分別為，那么由向量數(shù)量積的概念，有，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有所以=〔*〕〔2〕由以上的推導(dǎo)過程可知，是任意角，那么也應(yīng)為任意角，但由兩個向量數(shù)量積的意義，〔*〕中的。為此，我們爭論如下：由于是任意角，由誘導(dǎo)公式，總可以找到一個角，使。①假設(shè)，那么。②假設(shè)，那么，且由以上的爭論可知，對于任意的，都有：=2．公式的記憶右端為的同名三角函數(shù)積，連接符號與左邊角的連接符號相反。要點詮釋：(1)公式中的都是任意角。(2)差角的余弦公式不能按安排律綻開，即。(3)要正確地識記公式結(jié)構(gòu)，公式右端的兩局部為同名三角函數(shù)積，左端為兩角差的余弦。要點二：兩角差余弦公式的逆向應(yīng)用和活用1．逆用：=要點詮釋：公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在許多時候，逆用更能簡捷地處理問題.如：由能快速地想到。2．角變換后使用:。3．移項運用:,4．特別化使用:5．以代，即【合作探究】探究一：利用差角的余弦公式進行證明例1．求證：〔1〕〔2〕【思路點撥】〔1〕用代，利用兩角差的余弦公式綻開?！?〕利用及兩角和的余弦公式可證得?！咀C明】〔1〕==〔2〕====【變式1】證明：=====探究二：利用兩角差的余弦公式化簡三角函數(shù)式例2．化簡：【解析】原式。【總結(jié)升華】化簡三角函數(shù)式是為了更清晰地顯示式中所含量之間的關(guān)系，以便于應(yīng)用公式。對于三角函數(shù)式的化簡，要求：〔1〕能求出值的應(yīng)求出值；〔2〕使三角函數(shù)的種類最少；〔3〕使項數(shù)盡量少；〔4〕盡量使分母中不含有三角函數(shù)；〔5〕盡量使被開方數(shù)不含有三角函數(shù)。對于此題我們看到，化簡前與化簡后相比，化簡后明顯簡潔得多，而且關(guān)系也清晰得多?！咀兪?】化簡：。【解析】原式=====探究三：利用差角的余弦公式求值例3．求值：〔1〕〔2〕〔3〕cos(－35°)·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；【思路點撥】〔1〕利用求解〔2〕利用兩角差的余弦公式〔3〕把－35°和25°+看作一個整體，利用兩角差的余弦公式?！窘馕觥俊?〕==〔2〕原式〔3〕原式?！究偨Y(jié)升華】兩角差的余弦公式中，，可以是單個角，也可以是兩個角的和或差，在運用公式時常將兩角的和或差視為一個整體，如〔3〕中的〔〕可視為一個整體。分析題目特點，構(gòu)造兩角的差，然后應(yīng)用兩角差的余弦公式，是常見題型。例4．【思路點撥】假設(shè)綻開，又由，從而可得出關(guān)于的方程求解.經(jīng)觀看：，故又可直接由代入求解.【解析】由由故【總結(jié)升華】認(rèn)真分析角與角之間的關(guān)系是利用兩角差的余弦公式求值的關(guān)系，解這類題時要“一看角、二看名、三看結(jié)構(gòu)〞?！菊n外提高】1．=〔C〕．2．，那么=〔B〕3．假設(shè)，，那么的值為〔B〕A．B．C．D．14．平面對量a＝(cosα，s