統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)知識

統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)知識第一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

一、隨機(jī)變量

一維隨機(jī)變量：試驗(yàn)結(jié)果為一個變量。多維隨機(jī)變量：試驗(yàn)結(jié)果為一組變量。

離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量【例】對100頭病畜用某種藥物進(jìn)行治療，其可能結(jié)果是“0頭治愈”、“1頭治愈”、“2頭治愈”、“…”、“100頭治愈”。若用x表示治愈頭數(shù)，則x的取值為0、1、2、…、100。

第二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

【例】孵化一枚種蛋可能結(jié)果只有兩種，即“孵出小雞”與“未孵出小雞”。若用變量x表示試驗(yàn)的兩種結(jié)果，則可令x=0表示“未孵出小雞”，x=1表示“孵出小雞”?！纠繙y定某品種豬初生重，表示測定結(jié)果的變量x所取的值為一個特定范圍(a,b)，如0.5-1.5kg，x值可以是這個范圍內(nèi)的任何實(shí)數(shù)。第三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一二、概率分布1.概念：描述隨機(jī)變量取值的概率的函數(shù)。主要有三種函數(shù)：（1）概率函數(shù)：描述離散型隨機(jī)變量各可能取值的概率的函數(shù)。（2）概率密度函數(shù)：描述連續(xù)型隨機(jī)變量取值的概率密度的函數(shù)。（3）分布函數(shù)：描述隨機(jī)變量取值小于、等于某值的概率的函數(shù)。記作F()=P(X≤)第四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一2.分布函數(shù)性質(zhì)：

（1）F()是x的非減函數(shù)（2）F(-∞)=0；F(+∞)=1（3）F()函數(shù)至多有可列個間斷點(diǎn)，而在其間斷點(diǎn)上也是右連續(xù)。

3.大數(shù)定律：是概率論中用來闡述大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定律的總稱。第五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

主要內(nèi)容：樣本容量越大，樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)與總體參數(shù)之差越小。

（1)貝努里大數(shù)定律設(shè)m是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而p是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對于任意小的正數(shù)ε，有如下關(guān)系：<ε｝=1{limP第六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

（2)辛欽大數(shù)定律

設(shè)x1,x2,x3,…,xn是來自同一總體的變量，對于任意小的正數(shù)ε，有如下關(guān)系：<ε｝=1{limP第七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一第四節(jié)離散分布一、離散型隨機(jī)變量概率函數(shù)p（)=P(X=)

例：投擲一枚骰子所得的點(diǎn)數(shù)為一隨機(jī)變量，求該隨機(jī)變量的概率函數(shù)。概率函數(shù)的性質(zhì)：

a)非負(fù)性：Ｐ（X＝xi）=Pi≥0；

b)歸一性：第八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

二、概率分布函數(shù)三、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差

1．加權(quán)平均數(shù)：例：某種玉米的株高數(shù)據(jù)，求平均株高。株高1.751.761.771.781.791.801.811.821.83百分比2%1%6%3%1%4%2%3%1%株高1.841.851.861.871.881.891.901.911.92百分比15%8%7%11%5%5%10%10%6%=1.75×0.02+1.76×0.01+…+1.92×0.06=1.86F()=P(X≤)第九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一2.數(shù)學(xué)期望：

一個隨機(jī)變量的所有可能值以其相應(yīng)的概率函數(shù)為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)。表示集中程度的參數(shù)。設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是i(i=1，2，…)，其概率函數(shù)為：p（i）=P（X=i）第十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一E（X）=x1p（xi）+x2p（x2）+x3p（x3）+…+xnp（xn）=

3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：（1）E［g（）］=

（2）E［g（）+h（）］=E［g（）］+E［h（）］推廣：E（X+Y）=E（X）+E（Y）（3）E（k）==k第十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一E（kX）=kE（x）（4）E（X-u）=E（X）-u=0（5）E（Xk）=kp（i）

隨機(jī)變量X的矩，k稱為矩的階。這一類型的矩又稱為k階原點(diǎn)矩。任意點(diǎn)的矩：E[（X-a）k]=表明：隨機(jī)變量X關(guān)于點(diǎn)a的k階矩。當(dāng)a=μ=E（X）時，X關(guān)于μ的k階矩稱為中心矩。二階中心矩:

==VarX第十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一標(biāo)準(zhǔn)偏差：方差的平方根。бx==

反映了一個隨機(jī)變量取值的變化程度，反映了概率分布的散布或偏離。四、常見的離散分布1.伯努里（Bernoulli）分布一個只取兩個值的隨機(jī)變量叫伯努里隨機(jī)變量，其概率分布稱為伯努里分布。第十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一μ=E（X）=p

σ2=E（x2）-μ2=p-p2=p（1-p）=pq2.二項(xiàng)分布：（1）二項(xiàng)分布定義：設(shè)隨機(jī)變量x所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,…n，且k=0,1,2…n,其中p＞0，q＞0，p+q=1，則稱隨機(jī)變x服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布

(binomialdistribution)，記為

x-B(n,p)。

第十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（2）性質(zhì)：

（1）P(X=k)=Pn(k)

（k=0，1，2...n）

（2）二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即第十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一(3)二項(xiàng)分布由n和p兩個參數(shù)決定：①當(dāng)p值較小且n不大時，分布是偏倚的。但隨著n的增大，分布逐漸趨于對稱。②當(dāng)p值趨于0.5時，分布趨于對稱。③對于固定的n及p，當(dāng)k增加時，Pn(k)先隨之增加并達(dá)到其極大值，以后又下降。此外，在n較大，np、nq較接近時，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)n→∞時，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。第十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一二項(xiàng)分布圖當(dāng)n=20時，不同p值的曲線。第十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（4）二項(xiàng)分布概率計(jì)算及應(yīng)用條件【例】純種白豬與純種黑豬雜交，根據(jù)孟德爾理論，子二代中白豬與黑豬的比率為3：1。求窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率。解：n=10，p=3/4=0.75，q=1/4=0.25。設(shè)10頭仔豬中白色的為x頭第十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例】設(shè)在家畜中感染某種疾病的概率為20％，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗A注射了15頭家畜后無一感染，用疫苗B注射15頭家畜后有1頭感染。設(shè)各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應(yīng)該如何評價這兩種疫苗?假設(shè)疫苗A完全無效，那么注射后的家畜感染的概率仍為20％，則15頭家畜中染病頭數(shù)x=0的概率：第十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

如果疫苗B完全無效，則15頭家畜中最多有1頭感染的概率為

可知，注射A疫苗無效的概率為0.0352，比B疫苗無效的概率0.1671小得多。因此，可以認(rèn)為A疫苗是有效的，但不能認(rèn)為B疫苗也是有效的。第二十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例】仔豬黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為20％，求5頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應(yīng)的概率。設(shè)5頭病豬中死亡頭數(shù)為x，則x服從二項(xiàng)分布B(5，0.2)，其所有可能取值為0，1，…，5，按計(jì)算概率，用分布列表示如下：

0123450.32770.40960.20480.05120.00640.0003第二十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件有三：1.各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果。2.已知發(fā)生某一結(jié)果的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1－p=q，要求p是從大量觀察中獲得的穩(wěn)定數(shù)值。3.n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨(dú)立。第二十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（5）二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差μ=npσ=【例】求仔豬黃痢病平均死亡豬數(shù)及死亡數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。以p=0.2，n=5代入公式得：平均死亡豬數(shù)μ=5×0.20=1.0(頭)

標(biāo)準(zhǔn)差(頭)第二十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率k／n表示時

σp也稱為總體百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，當(dāng)p未知時，常以樣本百分?jǐn)?shù)來估計(jì)。此時上式改寫為：

Sp稱為樣本百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。

第二十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一3.波松分布

波松分布是一種描述和分析發(fā)生在單位空間或時間里的稀有事件的概率分布。樣本含量n必須很大。二項(xiàng)分布的一種特殊類型。

第二十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（1）波松分布的概率函數(shù)若隨機(jī)變量X(X=k)只取零和正整數(shù)值0，1，2，…，且其概率分布為k=0，1，……n，其中λ＞0,表示單位區(qū)間上發(fā)生變換的次數(shù)；t表示t個小區(qū)間;e是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的波松分布(Poisson，

distribution)記為X-P(λ)。第二十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

變成n個二點(diǎn)分布:

p()︽Cnx（）x

（1-）n-x

=F（k）=P（X≤k）=第二十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（2）波松分布重要的特征：①平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)λ，即

μ=σ2=λt=np

②λ是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。第二十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一③λ值愈小分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對稱。④當(dāng)λ=20時分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)λ=50時，認(rèn)為波松分布呈正態(tài)分布。在實(shí)際工作中，當(dāng)λ≥20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。⑤對于小概率事件，可用波松分布描述其概率分布。⑥二項(xiàng)分布當(dāng)p<0.1和np<5時，可用波松分布來近似。第二十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例】調(diào)查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數(shù)，共記錄200窩，畸形仔豬數(shù)的分布情況如下表所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從波松分布。第三十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計(jì)分布樣本平均數(shù)和方差S2計(jì)算結(jié)果如下：

=Σfk/n=(120×0+62×1+15×2+2×3+1×4)/200=0.51第三十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

=0.51，S2=0.52,這兩個數(shù)是相當(dāng)接近的，因此可以認(rèn)為畸形仔豬數(shù)服從波松分布。第三十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一波松分布若用m表示λ時的曲線第三十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（3）波松分布的概率計(jì)算大多λ未知，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為λ的估計(jì)值。第三十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例】中已判斷畸形仔豬數(shù)服從波松分布，并已算出樣本平均數(shù)=0.51。將0.51代替公式中的λ得：

(k=0,1,2,…)

因?yàn)閑0.51=1.6653，所以畸形仔豬數(shù)各項(xiàng)的概率為：

P(x=0)=(0.510／0!)/1.6653=0.6005P(x=1)=(0.511／1!)/1.6653=0.3063P(x=2)=(0.512／2!)/1.6653=0.0781

第三十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一P(x=3)=(0.513／3!)/1.6653=0.0133P(x=4)=(0.514／4!)/1.6653=0.0017

把上面各項(xiàng)概率乘以總觀察窩數(shù)(n=200)即得各項(xiàng)按波松分布的理論窩數(shù)。波松分布與相應(yīng)的頻率分布列于下表中。第三十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一畸形仔豬數(shù)的波松分布比較后發(fā)現(xiàn)畸形仔豬的頻率分布與λ=0.51的波松分布是吻合得很好的。說明了畸形仔豬數(shù)是服從波松分布的。第三十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例】為監(jiān)測飲用水的污染情況，現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù)，共得400個記錄如下：試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從波松分布。若服從，按波松分布計(jì)算：細(xì)菌數(shù)/ml(水)的概率及理論次數(shù),并將頻率分布與波松分布直觀比較。第三十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)=0.500，方差S2=0.496。兩者很接近，故可認(rèn)為細(xì)菌數(shù)/ml(水)服從波松分布。以=0.500代替公式中的λ，得

(k=0,1,2…)

計(jì)算結(jié)果如下表。第三十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一細(xì)菌數(shù)的波松分布可見細(xì)菌數(shù)的頻率分布與λ=0.5的波松分布是相當(dāng)吻合的，進(jìn)一步說明用波松分布描述單位容積(或面積)中細(xì)菌數(shù)的分布是適宜的。注意：波松分布的應(yīng)用條件與二項(xiàng)分布相似。第四十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一4.超幾何分布

一個由N個元素組成的集合,其中M個具有性質(zhì)E,N-M個沒有性質(zhì)E。若從N個元素中隨機(jī)抽取n個，具有性質(zhì)E的是k個，k為超幾何隨機(jī)變量，它的概率分布稱超幾何分布。

n個伯努里分布

P（k）=P（X=k）=CMkCN-Mn-k/CNnμ=n.M/Nσ2=[n.M/N.（1-M/N）]第四十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一例：一碗中盛有15顆珠子，其中10顆紅的，5顆白的。從碗中隨機(jī)取出4顆，并設(shè)k=抽得的紅珠子的個數(shù)。求k的數(shù)學(xué)期望與方差。（k=0，1，2，3，4）第四十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

性質(zhì)：

當(dāng)N→∞時，可用二項(xiàng)分布近似代替。也可被波松分布代替。第四十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一第五節(jié)連續(xù)分布

一、連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)

1

概率密度函數(shù)：

如隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（）在（-∞，+∞）處處連續(xù)并且除有限個或可數(shù)個點(diǎn)之外存在著連續(xù)的導(dǎo)數(shù)

=f()，則稱f()為概率密度函數(shù)。第四十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)：1)f()≥0；p（1＜X＜2）=F（2）-F（1）3)4)p（＜X＜+△）≈f（）△連續(xù)分布律用概率密度表示，離散型分布律用概率函數(shù)P(X=)表示分布函數(shù)F（）則表示任何型隨機(jī)變量概率分布律的共同形式。

f（）d稱為概率單元。第四十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一二、數(shù)學(xué)期望與方差E（x）=E［g（x）］=E（k）=kE（kx）=kE（x）E（xk）=第四十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一σ2=E［（x-u）2］==-u2例：設(shè)X是一個連續(xù)隨機(jī)變量，它的密度函數(shù)是

f（x）=0（x﹤0或x﹥1）

2x（0≤x﹤1）求數(shù)學(xué)期望和方差。第四十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一三、重要的連續(xù)分布1.均勻分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)在一個區(qū)間上等于一個常數(shù)，而在區(qū)間外等于零。

U（a，b）：E（x）=

=σ2=E（x2）-u2=第四十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（1）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)若分布函數(shù)為

其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)布分

(normaldistribution)，記為x-N(μ,σ2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為

2.正態(tài)分布第四十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一分布密度曲線99.73%68.26%95.45%第五十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一(2)正態(tài)分布的特征

1.正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x=μ2.f(x)在x=μ處達(dá)到極大，極大值

3.f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞；

第五十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一4.曲線在x=μ±σ處各有一個拐點(diǎn)，即曲線在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)區(qū)間上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的；5.正態(tài)分布有平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ兩個參數(shù)。μ是位置參數(shù)，σ是變異度參數(shù)。第五十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一6.分布密度曲線與橫軸所夾面積為1，即：

第五十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一μ是位置參數(shù)，當(dāng)σ恒定時，μ愈大，則曲線沿x軸愈向右移動；反之，μ愈小，曲線沿x軸愈向左移動。

σ是變異度參數(shù)，當(dāng)μ恒定時，σ愈大，表示x的取值愈分散，曲線愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲線愈“瘦”。第五十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一μ=0,σ2=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。記作u-N(0，1)。（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)：分布函數(shù)：第五十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)化變換：

z=(x-μ)／σ（4）正態(tài)分布的概率計(jì)算１.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算＝Φ(u2)－Φ(u1)第五十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5

P(u≥u1)=Φ(-u1)

P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)

P(｜u｜＜u1）＝＝1-2Φ(-u1)

P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)第五十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例】已知u-N(0，1)，試求：

(1)P(u＜-1.64)＝?(2)P(u≥2.58)=?(3)P(｜u｜≥2.56)=?(4)P(0.34≤u＜1.53)=?第五十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

利用公式，查附表得：(1)P(u＜-1.64)=0.05050(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940(3)P(｜u｜≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468(4)P(0.34≤u＜1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389第五十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記：

P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545

P（-3≤u＜3）=0.9973

P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.99第六十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個常用概率99.73%68.26%95.45%第六十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一２．一般正態(tài)分布的概率計(jì)算

若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則x的取值落在任意區(qū)間[x1,x2）的概率，記作P(x1≤X＜x2)，變換u=(x-μ)／σ第六十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例】設(shè)X服從μ=30.26，σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≤x＜32.98)。令

則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故

=P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.656410.526.30-=Xu第六十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個概率是經(jīng)常用到的。

P(μ-σ≤X＜μ+σ)=0.6826

P(μ-2σ≤X＜μ+2σ)=0.9545

P(μ-3σ≤X＜μ+3σ)=0.9973

P(μ-1.96σ≤X＜μ+1.96σ)=0.95

P(μ-2.58σ≤X＜μ+2.58σ)=0.99第六十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一第六節(jié)中心極限定理定理：設(shè)X1、X2、…、Xn為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量系列，令則設(shè)其分布函數(shù)為第六十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一3個重要的概率分布的關(guān)系：（1）二項(xiàng)分布，在n→∞，p→0，且np=λ(較小常數(shù))，二項(xiàng)分布趨于波松分布，λ用二項(xiàng)分布的np代之；（2）在n→∞，p→0.5時，二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布，正態(tài)分布中的μ、σ2用二項(xiàng)分布的np、npq代之。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)p＜0.1且n很大時，二項(xiàng)分布可由波松分布近似。第六十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一（3）當(dāng)p＞0.1且n很大時，二項(xiàng)分布可由正態(tài)分布近似。（4）波松分布，當(dāng)λ→∞時，波松分布以正態(tài)分布為極限。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)λ≥20(也有人認(rèn)為λ≥6)時，用波松分布中的λ代替正態(tài)分布中的μ及σ2，即可由后者對前者進(jìn)行近似計(jì)算。第六十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一

單側(cè)概率與雙側(cè)概率生物統(tǒng)計(jì)中，把隨機(jī)變量x落在區(qū)間(μ-kσ,μ+kσ)之外的概率稱為雙側(cè)(兩尾)概率，記作α。對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于μ－kσ或大于μ+kσ的概率，稱為單側(cè)概率，記作α／2。第六十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一如，x落在(μ-1.96σ,μ+1.96σ)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即

P(x＜μ-1.96σ)=P(x＞μ+1.96σ)=0.025x落在(μ-2.58σ,μ+2.58σ)之外的雙側(cè)概率為0.01，而單側(cè)概率

P(x＜μ-2.58σ)=P(x＞μ+2.58σ)=0.005

第六十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一雙側(cè)概率或單側(cè)概率第七十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一例如，已知u-N(0,1)試求：

(1)P(u＜-uα)+P(u≥uα)=0.10的uα(2)P(-uα≤u＜uα)=0.86的uα因?yàn)楦奖碇械摩林凳牵旱谄呤豁?，共八十頁，編輯?023年，星期一（1)P(u≥uα)=0.10／2=0.05

由附表查得：u0.05=1.645(2)P(-uα≤u＜uα)=0.86，

α=1-P(-uα≤u＜uα)=1-0.86=0.14

由附表查得：u0.07=1.476第七十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期一【例