2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行判斷.【詳解】因為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）所以其虛部為6.故選：B.2．已知向量，，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】求出，求模即可.【詳解】∵，，∴，∴.故選：C.3．已知空間三條直線，若l與m異面,且l與n異面,則（

）A．m與n異面 B．m與n相交C．m與n平行 D．m與n異面、相交、平行均有可能【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，則可能平行（圖1），也可能相交（圖2），也m與n可能異面（如圖3），故選D．【點睛】本題考查空間直線的位置關(guān)系，著重考查學(xué)生的理解與轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．4．已知邊長為2的正三角形采用斜二測畫法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用斜二測畫法規(guī)則可得結(jié)果.【詳解】如圖，是邊長為2的正的直觀圖，則，，則高，故的面積.故選：C.5．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合正弦定理整理計算．【詳解】∵，，則根據(jù)正弦定理，則故選：A．6．如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為，則點到平面的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用等體積法，由求解即可.【詳解】由直三棱柱的體積為6，可得，設(shè)到平面的距離為，由，，，解得，即到平面的距離為.故選：B.7．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列選項中正確的是（

）A．對應(yīng)的點位于第二象限 B．為實數(shù)C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的模長等于【答案】D【分析】根據(jù)歐拉公式結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的特征、純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模長公式、以及共軛復(fù)數(shù)的概念逐項分析即可得出結(jié)論.【詳解】對于A：，對應(yīng)的點位于第一象限，故A不正確；對于B：，為純虛數(shù)，故B不正確；對于C：，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯誤.對于D：，故D正確.故選：D.8．如圖，在△ABC中，點P在邊BC上，且，過點P的直線l與射線AB，AC分別交于不同的兩點M，N，若，，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合向量的運(yùn)算可得，然后由三點共線得，可得答案.【詳解】由題意知：，又，，即，由三點共線，可得，即.故選：B.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)則（

）A．是純虛數(shù) B．對應(yīng)的點位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及幾何有意義判斷A、B選項是否正確，利用利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計算及，并計算出模長，判斷C、D是否正確.【詳解】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷A正確；對于B選項，對應(yīng)的點位于第四象限，故B錯；對于C選項，，則，故C錯；對于D選項，，則，故D正確.故選：AD【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的計算，較簡單.10．在中，已知，，，則角的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正弦定理求出，根據(jù)可得或.【詳解】由正弦定理得，得，因為，且，所以或.故選：AC.11．如圖，已知正方體的棱長為，則下列選項中正確的有（

）A．異面直線與的夾角的正弦為B．二面角的平面角的正切值為C．正方體的外接球體積為D．三棱錐與三棱錐體積相等【答案】ACD【分析】由知就是異面直線所成的角，求解即可判斷A；連接交于點O，由題意得BD⊥平面，為二面角的平面角，求解可B；正方體外接球的半徑，求出外接球體積可判斷C；由，及三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，可判斷D.【詳解】對于A，∵，中，就是異面直線所成的角，，則，A正確；對于B，連接交于點O，連接，∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面∵平面，∴BD⊥，∴為二面角的平面角，在中，，B不正確；對于C，∵正方體外接球的半徑，∴正方體的外接球體積為，C正確；對于D，∵，三棱錐的高與三棱錐的高相等，底面積，故三棱錐與三棱錐體積相等，D正確.故選：ACD.12．在給出的下列命題中，正確的是（

）A．在中，若，則一定是等腰三角形B．在中，若為銳角三角形，則C．已知平面向量滿足則為等腰三角形D．已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形【答案】BCD【分析】由可得，所以或，即可判斷A；由結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性可判斷B；由條件得OA為BC的垂線，且OA在的角平分線上，得為等腰三角形，即可判斷C；由條件結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算得與的夾角為，同理與的夾角為，與的夾角為，是等邊三角形，即可判斷D.【詳解】對于A，若，則,展開整理得，又，所以或，則是等腰三角形或直角三角形，命題A錯誤；對于B，若為銳角三角形，則，所以，且，由于在上單調(diào)遞增，所以，即，命題B正確；對于C，由于，即，，得，即OA為BC的垂線，又由于，可得OA在的角平分線上，綜合得為等腰三角形，故C正確；對于D，平面向量、、滿足，且，∴，∴，即，∴，∵向量夾角的范圍是，∴與的夾角為，同理與的夾角為，與的夾角為，∴是等邊三角形，故D正確；故選：BCD.三、填空題13．已知向量，.若向量與垂直，則的值為________.【答案】/【分析】首先求出與的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可.【詳解】因為，所以，因為向量與垂直，則，解得.故答案為：14．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是中心角為且面積為的扇形面，則該圓錐的底面半徑為________.【答案】/0.5【分析】根據(jù)扇形的面積計算出扇形的半徑，即圓錐的母線長，由此可計算出扇形的弧長，即為圓錐的底面圓周長，進(jìn)而可計算出該圓錐的底面半徑.【詳解】設(shè)扇形的半徑，即圓錐的母線長為，圓錐的底面半徑為，由圓錐的側(cè)面展開圖是中心角為且面積為的扇形面，得，則，從而扇形的半徑為2，即圓錐的母線長為2.扇形的弧長，即圓錐的底面周長為，即，解得，所以該圓錐的底面半徑為.故答案為：.15．設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為5的球的球面上四點，，，則三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【分析】是外心，是球心，求出，當(dāng)是的延長線與球面交點時，三棱錐體積的最大，由此求得最大體積即可.【詳解】如圖，是外心，即所在截面圓圓心，設(shè)圓半徑為是球心，因為，，由余弦定理得，因為，則，所以，所以由正弦定理得，則，則，，平面，平面，則，所以，當(dāng)是的延長線與球面交點時，三棱錐體積的最大，此時棱錐的高為，，所以棱錐體積為.故答案為：.16．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點D為AC邊的中點，已知，則當(dāng)角C取到最大值時等于___________.【答案】/【分析】利用向量的數(shù)量積求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此時角C取到最大值，求解得出結(jié)果.【詳解】點D為AC邊的中點，，則，即，因為，所以，由知，角C為銳角，故，因為，所以由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時角C取到最大值，所以，故答案為：.四、解答題17．已知向量與的夾角為，且，是單位向量.(1)分別求和的值；(2)若與共線，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求解，根據(jù)求解；（2）由向量共線，結(jié)合平面向量基本定理列出方程組求解.【詳解】（1），.（2）若與共線，則存在，使得，即，又因為向量與不共線，所以，解得，所以.18．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，），(1)若復(fù)平面內(nèi)表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若，（說明：復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)），求實數(shù)m和a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，列出不等式組求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等，列出方程組求解.【詳解】（1）由題意知：，又表示的點在第一象限，所以，解得.（2）由題意知：，所以，解得.19．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】(1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.【詳解】（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【點睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.20．在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.(1)求的值；(2)若為邊所在線段上一點，且，，，求b的值；【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出，進(jìn)而得；（2）在中，由余弦定理得，進(jìn)而求得，在中，由正弦定理求得．【詳解】（1）由，可得，于是得，又，則，所以；（2）在中，，由余弦定理得，所以，則，在中，由正弦定理有，即，解得.21．如圖，在平面五邊形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝90°，，，，，，，垂足為H，將△ADE沿折起（如圖），使得平面ADE⊥平面ABCD．(1)求證：⊥平面ABCD；(2)求三棱錐的體積；(3)在線段BE上是否存在點M，使得//平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)證明即可；（2）利用等體積法，由求解即可；（3）過點H作平行線得出與平面CDE平行的平面，然后利用三角形一邊平行線的性質(zhì)求解.【詳解】（1）因為，平面平面ABCE，平面平面，平面ADE，所以⊥平面ABCD；（2）在直角三角形ADE中，∵，，∴，，∴，∠BCD＝90°，，的面積，所以三棱錐C－ADE的體積為；（3）方法一：過點H作HN∥DE交AE于點N，過點N作NM∥AB交EB于點M，連接．又因為AB∥DC，所以∥，又平面CDE，平面CDE，所以∥平面CDE，同理∥平面CDE，又因為，平面，平面，所以平面//平面CDE．因為平面，所以//平面CDE．在中，，，又，，，，又，所以在線段BE上是否存在點M，使得∥平面，且.方法二：過點H作//交于點G，過點G作//交EB于點M，連接．又因為∥，平面，平面，所以∥平面，同理∥平面．又因為，平面，平面，所以平面∥平面．因為平面，所以∥平面．在中，，，又，，，，，又，，所以在線段BE上是否存在點M，使得∥平面，且．22．如圖所示，中，，，點、是線段（含端點）上的動點，始終保持不變，設(shè).(1)當(dāng)時，求線段和的長以及的周長；(2)問為何值時，的面積最小？最小面積是多少？(3)求線段長的最小值.【答案】(1)，，(2)，(3)【分析】（1）在中，由正弦定理求