第十講空間群

第十講空間群第一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一非點(diǎn)式對(duì)稱操作?

螺旋軸：11種，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65?

滑移面：a、b、c；n；d點(diǎn)對(duì)稱操作：r’=Rr

r’=x’a+y’b+z’c

r=xa+yb+zc空間群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(賽茲算符)

對(duì)非點(diǎn)式操作t=，是單胞的分?jǐn)?shù)平移，而對(duì)于點(diǎn)式操作t=

=0第二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一對(duì)稱軸符號(hào)符號(hào)對(duì)稱軸圖示符號(hào)沿軸向的右手螺旋平移特征一次旋轉(zhuǎn)軸1一個(gè)反演軸二次旋轉(zhuǎn)軸二次螺旋軸三次旋轉(zhuǎn)軸三次螺旋軸三次反演軸2213313231無無無平行于紙面無平行于紙面無無c/2a/2或b/2c/32c/3符號(hào)對(duì)稱軸圖示符號(hào)沿軸向的右手螺旋平移特征四次旋轉(zhuǎn)軸4四次反演軸四次螺旋軸六次旋轉(zhuǎn)軸六次螺旋軸六次反演軸43661654無無6無c/4c/65c/641422c/43c/4626364無2c/63c/64c/6第三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一對(duì)稱面符號(hào)符號(hào)對(duì)稱面反映面(鏡面)軸滑移面ma,bcnd對(duì)角滑移面(網(wǎng))“金剛石”滑移面圖示符號(hào)滑移特征垂直于投影面平行于投影面沒有(如果平面在z=1/4的高度，就在符號(hào)邊標(biāo)注1/4)無沿[100]滑移a/2，或沿[010]滑移b/2，或沿<100>滑移沿z軸滑移c/2，或在菱形軸中沿[111]滑移(a+b+c)/2(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2,或(a+b+c)/2(四方和立方)(a±b)/4,(b±c)/4,(a±c)/4,或(a±b±c)/4(四方和立方)第四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一復(fù)習(xí)：點(diǎn)對(duì)稱操作、7種晶系、32種點(diǎn)群、14種布拉菲格子、點(diǎn)式空間群第五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一1(E)2(C2)3(C3)4(C4)6(C6)1(i)2(σ),m3(S65)4(S43)6(S35)(C41,C42,C43,C44

)(C61,C62,C63,C64

,C65,C66)(C31,C32,C33)n=1n(iCn),

Sn=σCn(σh,σv,σd)

S4(43),S42(42),S43(4),S44(E)點(diǎn)對(duì)稱操作!!!(C21,C22)S6,S62(C3),S63(i),S64(C32),S65,S66(E)35,34,33,32,31,36S3,S32(C32),S33(σh),S34(C3),S35,S36(E)65,64,63,62,6,66第六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一鏡面{m[001]}，反映恒等1x’y’z’xyz-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1=x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1參考軸：對(duì)稱算符r’=Rra,b,c

(無需正交)x’y’z’xyza11a21a31a11a21a31a11a21a31=r=xa+yb+zcr’=x’a+y’b+z’c(x,y,z)(x’,y’,z’)rr’abc=90o直角坐標(biāo)=120o六角坐標(biāo)附錄1第七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一對(duì)稱條件晶系特點(diǎn)四個(gè)三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個(gè)2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠

c,≠≠a≠b≠c,==90o≠

a≠b≠c,===90oa=b≠c,===90oa=b≠c,==90o,

=120oa=b=c,===90oa=b=

c,==菱形a=b≠c,==90o,

=120o全對(duì)稱點(diǎn)群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m第八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一1(L1)m(P)1(C)42m

(Li42L22P)2(L2)2/m(L2PC)222(3L2)mm2(L22P)mmm(3L23PC)4

(Li4)422(L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm

(L44P)4/m(L4PC)4(L4)62m

(Li63L23P)6

(Li6)622(L66L2)6/mmm

(L66L27PC)6mm

(L66P)6/m(L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3(3L24L33PC)432

(3L44L36L2)m3m

(3L44L36L29PC)3m(Li33L23P)3(L3)3m(L33P)32(L33L2)43m(3Li44L36P)3(Li3)32種點(diǎn)群及其點(diǎn)對(duì)稱操作第九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一4/mmm(L44L25PC)6/mmm

(L66L27PC)m3m

(3L44L36L29PC)4/mmm(L44L25PC)E,2C4,C2,

2C2’,2C2”,

σh,2σv,2σd,

i,2S46/mmm

(L66L27PC)E,2C6,2C3,C2,

3C2’,3C2”,

σh,3σv,3σd,i,2S3,

2S6m3m

(3L44L36L29PC)E,8C3,3C2,

6C4,

6C2,

3σh,6σd

i,8S6,6S4,附錄4第十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一點(diǎn)群各符號(hào)的順序晶系在國(guó)際符號(hào)中的位置123三斜單斜正交四方三方六方立方只用一個(gè)符號(hào)第一種定向：c是唯一軸；第二種定向：b是唯一軸2或2沿a2或2沿b2或2沿c4或4沿c2或2沿a和b2或2沿a±b3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b3或3沿<111>2或2沿<110>2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b4、4、2或2沿<100>第十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一

從旋轉(zhuǎn)點(diǎn)群推導(dǎo)32種點(diǎn)群

點(diǎn)群的熊夫利斯符號(hào)11種純旋轉(zhuǎn)群：123462223242262223432C1C2C3C4C6D2D3D4D6TO循環(huán)點(diǎn)群二面體點(diǎn)群立方點(diǎn)群11種中心對(duì)稱點(diǎn)群：m3m3mS2C2h

S6C4hC6hD2h

D3dD4hD6hThOh12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmm10種新子群：m3m3m12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmmC1h

S4C3hC2vC3vC4v

D2dC6vD3hTdmmm2463m4mm42m43m6mm6m2第十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一四方晶系4/mmm

(L44L25PC)xyE;2C4;C2;2C2’;2C2”;

i;2S4;h;2v;2d完全的國(guó)際符號(hào)：4/m2/m2/m去對(duì)稱心4mm

(L44P)42m

(Li42L22P)第十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一

推導(dǎo)32種點(diǎn)群的熊夫利斯方案熊夫利斯符號(hào)五種循環(huán)群Cn(5

種)Cnh=Cn×{E,σh}(5

種)Cnv=Cn×{E,σv}(4

種,C1v=C1h)非真旋轉(zhuǎn)Sn(3

種，n=2,4,6)Dn=Cn×{E,C2[100]

}(4

種)Dnh=Cnh×{E,d}(4

種)Dnd=S2n×{E,C2[100]

}(n=2,3共2種)立方點(diǎn)群(無主軸）5

種:T,Th,Td,O,Oh第十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一1(C1)m(C1h)1(Ci)42m

(D2d)2(C2)2/m(C2h)222(D2)mm2(C2v)mmm(D2h)4

(S4)422(D4)4/mmm(D4h)4mm

(C4v)4/m(C4h)4(C4)62

(D3h)6

(C3h)622(D6)6/mmm

(D6h)6mm

(C6v)6/m(C6h)6(C6)23(T)m3(Th)432

(O)m3m

(Oh)3m(D3d)3(C3)3m(C3v)32(D3)43m(Td)3(S6)32種點(diǎn)群符號(hào)第十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一六方晶系42m

(Li42L22P)62m

(Li63L23P)6m2

(Li63P3L2)4m2

(Li42L22P)30o45o第十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一三方晶系3(L3)3m(L33P)32(L33L2)3(L3C)3m(L33L23PC)3m131m3213123m131m第十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一第八講

14種布拉菲格子旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性晶系、參考軸初基P單胞(6)有心化新的點(diǎn)陣(有心8種)滿足點(diǎn)陣條件+晶系不變P點(diǎn)陣中高對(duì)稱位置加心(體心I,全面心F,單面心A,B或C雙面心)14種布拉菲點(diǎn)陣旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性六方格子特殊心菱形(三方)單胞第十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一立方P立方I,bcc立方F,fcc四方I四方P四方晶系立方晶系四方C=P≠A≠B四方F=I單面心破壞4個(gè)3次對(duì)稱性！非點(diǎn)陣非點(diǎn)陣第十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一基元Basis點(diǎn)陣，Latticeab1234初基晶胞，primitiveunitcell晶胞，latticeunitcellOblique,a≠b

≠

90o第二十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一何種格子、何種基元？晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣(布拉菲格子)+基元(點(diǎn)群)第二十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一點(diǎn)對(duì)稱條件晶系點(diǎn)群四個(gè)三次軸三斜單斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)兩個(gè)2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)布拉菲點(diǎn)陣PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m

(D2d)4

(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm

(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62

(D3h)6

(C3h),23(T),m3(Th),432

(O),m3m

(Oh)43m(Td),第二十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一晶系點(diǎn)群布拉菲點(diǎn)陣73種點(diǎn)式空間群三斜單斜正交四方三方六方立方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,第二十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一空間群：結(jié)晶學(xué)空間群就是能使三維周期物體(無限大晶體)自身重復(fù)的所有幾何對(duì)稱操作的集合，它構(gòu)成數(shù)學(xué)意義上的群。

晶體的宏觀外形可視作一個(gè)連續(xù)整體的有限圖形，而晶體微觀結(jié)構(gòu)是不連續(xù)排列的原子在三維空間的無限展開。晶體宏觀對(duì)稱性是晶體結(jié)構(gòu)(原子排列對(duì)稱性)即微觀對(duì)稱的反映。點(diǎn)群中對(duì)稱要素必須交于一點(diǎn)，只有方向的概念。微觀對(duì)稱性中對(duì)稱要素?zé)o須交于一點(diǎn)，要引入平移和位置的概念。第九講

空間群(I)：點(diǎn)式空間群第二十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一非點(diǎn)式對(duì)稱操作?

螺旋軸：11種，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65?

滑移面：a、b、c；n；d點(diǎn)對(duì)稱操作：r’=Rr

r’=x’a+y’b+z’c

r=xa+yb+zc空間群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(賽茲算符)

對(duì)非點(diǎn)式操作t=，是單胞的分?jǐn)?shù)平移，而對(duì)于點(diǎn)式操作t=

=0第二十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一點(diǎn)式空間群：由全部作用于同一個(gè)公共點(diǎn)上的對(duì)稱操作完全確定，或者說僅由點(diǎn)對(duì)稱操作和平移對(duì)稱操作組合而產(chǎn)生。?

螺旋軸或滑移面不是其基本操作。?

點(diǎn)式空間群在單胞中一定至少有一個(gè)位置具有與空間群點(diǎn)群相同的位置對(duì)稱性空間群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(賽茲算符)對(duì)非點(diǎn)式操作t=，是單胞的分?jǐn)?shù)平移對(duì)于點(diǎn)式操作t=

=0{R|t}、{1|tn}、{R|0}、{R|}

第二十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一++++P1abc{1|tn}第二十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一++++P1,_,_,_,_+_,第二十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一++++++++P2abc第二十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一P2/m+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-反映面，鏡面第三十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一Pm+,-+,-+,-+,-第三十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4單斜B滑移面第三十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一+__+P222abc+__++__++__+紙面內(nèi)二次軸第三十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一+__+C222abc+__++__++__++__+螺旋軸,21第三十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一++,,++++,,++++,,++++,,++Pmm2反映面第三十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一Pmmm+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-第三十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一abcP4++++++++++++++++第三十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一abcP4++_,_,++_,_,++_,_,++_,_,第三十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一abcP42m++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__滑移面,n第三十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一abcP4m2++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__xy第四十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一abcP422++__+_+_++__+_+_++__+_+_++__+_+_螺旋軸,21第四十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一abcP4mm+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++,第四十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一P3++++++++++++第四十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一P6+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-第四十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一第十講

空間群(II)：非點(diǎn)式操作第四十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一360o/n(n=1,2,3,4,6)1(E,L1)2(C2,L2)3(C3,L3)4(C4,L4)6(C6,L6)1(i,C)2(σ,P),m3(S65,Li3)4(S43,Li4)6(S35,Li6)++,+_,旋轉(zhuǎn)軸，n

旋轉(zhuǎn)反演軸，n

點(diǎn)對(duì)稱操作第四十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一2(C2,L2)+++_二次螺旋軸21++_++1/2++_a/2或b/2221二次旋轉(zhuǎn)軸二次螺旋軸221平行于紙面無平行于紙面c/2a/2或b/2螺旋操作：螺旋操作是一種對(duì)稱操作，它是由真旋轉(zhuǎn)與平行于旋轉(zhuǎn)軸的非初基平移結(jié)合而成的。{RI}r=Rr+第四十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一三次螺旋軸3132三次旋轉(zhuǎn)軸三次螺旋軸三次反演軸331323無無c/32c/33(C3,L3)+++3+1/3+2/3+3132++2/3+1/3+第四十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一四次螺旋軸4142434(C4,L4)++++4+1/4+3/4+1/2+41+1/2+1/2++42+3/4+1/4+1/2+43四次旋轉(zhuǎn)軸4四次反演軸四次螺旋軸434無無c/441422c/43c/4第四十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一六次螺旋軸6(C6,L6)++++++61656263646+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/3+2/3++1/3+2/3++1/2++1/2++1/2++5/6+2/3+1/2+1/3+1/6++2/3+1/3++2/3+1/3+六次旋轉(zhuǎn)軸六次螺旋軸六次反演軸661656無c/65c/6626364無2c/63c/64c/6第五十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一四次螺旋軸414243(41)1(41)2(41)3(41)n(41)2(42)1第五十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一滑移面：滑移面是由非真旋轉(zhuǎn)2(m)與非初基平移結(jié)合而成的新對(duì)稱操作，同樣可由賽茲算符{RI}r=Rr+描述。晶體中有三種不同的滑移面：軸滑移、對(duì)角線滑移、金剛石滑移。軸向滑移：平移矢量平行于反映面(方向?)，大小是單胞軸長(zhǎng)的一半。有a滑移、b滑移、c滑移。ab++，b/2b/2+ab++，a/2a/2+ab+_，b/2b/2+a/2a/2n滑移a滑移b滑移滑移面的方向由空間群符號(hào)確定！第五十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期一對(duì)稱軸符號(hào)符號(hào)對(duì)稱軸圖示符號(hào)沿軸向的右手螺旋平移特征一次旋轉(zhuǎn)軸1一個(gè)反演軸二次旋轉(zhuǎn)軸二次螺旋軸三次旋轉(zhuǎn)軸三次螺旋軸三次反演軸2