集合與函數(shù)的概念章末總結(jié)

1/142一、集合的概念與表示，集合間的關(guān)系與運(yùn)421．理解用描述法表示的集合中元素的屬性是解決集合問題的重要基本功．(2)集合A是直線y＝x上的點的集合，集合B是拋物線y＝x2的圖象上點的集合，∴A∩B是方程組〈|(y＝x的解為坐|y＝x2Venn關(guān)系與運(yùn)算能起到事半功倍的效果．44∴結(jié)合數(shù)軸可知－∴結(jié)合數(shù)軸可知－≤－1，∴p≥4.4UUU()U在A圈外，B圈內(nèi)，又(?A)∩(?B)＝{a，e}，∴a，e填在A、B兩圈外，只剩下一元素c不能填在上述三個位置，故UU3．含字母的集合的相等、包含、運(yùn)算關(guān)系問題常常要進(jìn)行分類討論．討論時要特別注意集合元素的互異性．bb|a2＝1|a＋b＝1|b＝0，|b＝0，4．空集是任何集合的子集，解題時要特別注意．4414.14.1/1[例7](1)如果全集U＝{x|x2－5x－6<0，x∈N}，A＝{2,3}，B＝{1,3,5}，則?(A∪B)＝________，A∩?B＝＋UUA．1B．－1[解析](1)∵U＝{x|(x－b)(x＋1)<0，x∈N}＝{x|－1<x<6，x∈N}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,2,3,5}，＋＋UU二、函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、最值及應(yīng)用1．解決函數(shù)問題必須首先弄清函數(shù)的定義域為[0，＋∞)．2．求復(fù)合函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是深刻理解“函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量x的允許取值范圍”．221故所求定義域為[2，1]．3．熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和y＝Vx等的圖象特征．熟練判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，了解常見對稱特征和平移．a(chǎn)圖形即可．三、注重數(shù)學(xué)思想與方法的提煉與掌握，養(yǎng)成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法分析解決數(shù)學(xué)問題的思維習(xí)慣．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想(2)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象，如下圖所示f(x)在區(qū)間[－3，－1]，[0,1]上為減函數(shù)，在[－1，0)，[1,3]上為增函數(shù)．|f(x)>0|f(x)<0yaxyxa數(shù)a的取值范圍是()|a>1|a<－12．函數(shù)與方程的思想函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化，注意運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決問題掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布b討論一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)(※)的根的分布情況可以用(1)判別式(Δ＝b2－4ac)與韋達(dá)定理(x1＋x2＝－a，cx1·x2＝a)或(2)構(gòu)造函數(shù)(f(x)＝ax2＋bx＋c)結(jié)合圖象和求根公式兩種思路來討論．①方程(※)有兩不等實根?Δ>0，方程(※)有兩相等實根?Δ＝0，方程(※)無實根?Δ<0，方程(※)有實數(shù)解②方程(※)有零根?c＝0.|x1x>12|x1x>12Δ≥0..Δ≥0|x1x2<0|－2a>0.1212⑥方程(※)的兩根都在區(qū)間A＝[m，n]內(nèi)(A是其它區(qū)間時類似討論)?|f(m)≥0f(n)≥01212|f(n)<0，..4b4b.一元二次方程根的分布比較復(fù)雜，以上僅列出了一些常見情形，只要抓住根的判別式、韋達(dá)定理、根的表達(dá)式和相應(yīng)的圖象，進(jìn)行綜合考察，總能順利解決．A．奇函數(shù)而不是偶函數(shù)B．偶函數(shù)而不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)xA．k>0B．k<－4CkD．k<－4或k>032323232323323∴23．分類討論的思想在求解數(shù)學(xué)問題中，遇到下列情形常常要進(jìn)行分類討論．概念是分類定義的；②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；限制條件引起的分類．⑤由實際問題的實際意義引起的分類．⑥數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的不同取值會導(dǎo)致不同的結(jié)果．⑦較復(fù)雜的或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決的．⑧由圖形的不確定性引起分類|ly＝－y2|ly＝y(tǒng)2，|ly＝1|ly＝－1，A＝B,0∈B，即是解題的突破口．4．轉(zhuǎn)化與化歸的思想在處理問題時，把待解決或難解決的問題，采用某種手段通過某種轉(zhuǎn)化過程，將問題進(jìn)行變換和轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或容易解決的熟知問題，進(jìn)而實現(xiàn)解決問題的目的，就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．這種思想方法一般總是將復(fù)問題轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，從而找到解決問題的突破口，轉(zhuǎn)化在高中數(shù)學(xué)中具有神奇的威力，要在今后的學(xué)習(xí)中不斷體A．a(chǎn)≤2B．a(chǎn)≥－2CaD．a(chǎn)≤－2或a≥2()bfagagbfbfagagb23211f3211fafbgbgaA．①④C①③B．②③D．②④[解析]本題中的函數(shù)比較抽象，直接根據(jù)已知條件來選正確結(jié)論有困難，不妨將滿足條件的函數(shù)具體化．fC32k32539329514，316，2D14，316，23232216，295∴k∈[－]．∴選95∴k∈[－]．∴選D.222②若本題中，將“……有實根”改為“……有兩個不等實根”，就不能利用上述轉(zhuǎn)化方法．因為即使k在y＝x2－x232的值域內(nèi)，也不能保證方程有兩不等實根，此時，一般應(yīng)通過畫出函數(shù)y＝x2－x(－1≤x≤1)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法32[分析]解決這類問題應(yīng)去掉抽象函數(shù)符號，利用等價轉(zhuǎn)化思想，化為普通函數(shù)．12212111[點評]1.賦值法是討論抽象函數(shù)問題中的常用方法，利用單調(diào)性化去函數(shù)符號“f”是解決函數(shù)不等式的主要方法．5．換元法117171171772∴函數(shù)的值域是(－∞，]．2tt的值域即得原函數(shù)的值域，用換元法解題，換元后一定要先確定新元的取值范圍．單調(diào)性來解．7．待定系數(shù)法8．關(guān)于對稱與平移[解析]由f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)與x軸的n個交點的橫坐標(biāo)，即f(x)＝0的n個根x，x，x…x中，若有一根123n12n在x軸右側(cè)，則必有關(guān)