2022-2023學(xué)年福建省廈門市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省廈門市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)極限的定義求解即可.【詳解】；故選：C.2．已知從甲地到乙地有乘飛機(jī)或者坐輪渡兩種交通方式，從乙地到丙地有乘大巴車、高鐵或者乘飛機(jī)三種交通方式，則從甲地經(jīng)乙地到丙地不同的交通方式的種數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法原理求解即可.【詳解】解：由題意可知，從甲地經(jīng)乙地到丙地所有可能的交通方式的種數(shù)為種.故選：C3．在二項式的展開式中，含的項為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于3，求得的值，即可求得含的項．【詳解】解：二項式的展開式的通項公式為，令，故開式中含項為，故選：A4．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求導(dǎo)數(shù)值.【詳解】，故，故選：A.5．函數(shù)的極值點(diǎn)為，則的值為A． B．1 C． D．【答案】C【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)為，可得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以；又的極值點(diǎn)為，所以，即.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，已知極值點(diǎn)求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題型.6．某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的三所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派1名教師，則不同的分配方法有（）A．80種 B．90種 C．120種 D．150種【答案】D【分析】對5個人先進(jìn)行兩種情況的分組，再進(jìn)行全排列，即可得答案.【詳解】先對5個人先進(jìn)行兩種情況的分組，一是分為1，1，3，有種，二是分為1，2，2，共有種，再分配，可得不同的分配方法有種.故選：D.7．函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)有兩個零點(diǎn)排除選項A，C；再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值情況即可判斷作答．【詳解】由得，或，選項A，C不滿足，即可排除A，C由求導(dǎo)得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取極大值，在處取極小值，D不滿足，B滿足．故選：B8．已知函數(shù)，若，成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式變形為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間，討論、，綜合運(yùn)用參變分離法、構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立，求參數(shù)范圍．【詳解】因?yàn)?，得，整理得：，設(shè)，則，在上，遞增，當(dāng)時，，而原不等式等價于，若時，，則，即在上恒成立，由且，則，即遞增，故，則，所以；當(dāng)時，在時，，滿足題設(shè)，綜上，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并討論參數(shù)a研究不等式恒成立問題.二、多選題9．甲、某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長為2個單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i（，2，…，6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲n次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處，則（

）A．若時，則共有3種不同走法 B．若時，則共有5種不同走法C．若時，則共有25種不同走法 D．若時，則共有27種不同走法【答案】BD【分析】當(dāng)時，骰子的點(diǎn)數(shù)之和是，列舉出點(diǎn)數(shù)中兩個數(shù)字能夠使得和為的情況，即可判斷A、B，若時，三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是，，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為，的情況，再按照分類分步計數(shù)原理計算可得.【詳解】解：由題意知正方形（邊長為2個單位）的周長是．當(dāng)時，骰子的點(diǎn)數(shù)之和是，列舉出在點(diǎn)數(shù)中兩個數(shù)字能夠使得和為的有，，共種組合，拋擲骰子是有序的，所以共種結(jié)果，故A錯誤，B正確；若時，三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是，，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為，的有，，，，，，共有種組合，前種組合，，每種情況可以排列出種結(jié)果，共有種結(jié)果，其中，，，，各有種結(jié)果，共有種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有種結(jié)果．故選：BD．10．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，在有最小值1B．當(dāng)時，圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C．當(dāng)時，對任意恒成立D．至少有一個零點(diǎn)的充要條件是【答案】AC【分析】利用基本不等式判斷選項；利用函數(shù)的對稱性即可判斷選項；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷選項；舉例說明即可判斷選項.【詳解】對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時去等號，所以函數(shù)在有最小值1，故選項正確；對于，當(dāng)時，則，因?yàn)椋源藭r函數(shù)圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故選項錯誤；對于，當(dāng)時，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則當(dāng)時，對任意恒成立，故選項正確；對于，因?yàn)闀r，函數(shù)，，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，所以選項錯誤，故選：.11．展開式中，下列說法正確的有(

)A．二項式系數(shù)和B．第2項是105C．第8項與第9項的二項式系數(shù)相等D．第9項的系數(shù)最小【答案】AC【分析】利用二項式定理展開式的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】A：展開式二項式系數(shù)之和，故A正確；B：二項式展開式的第二項為：，故B錯誤；C：第8項二項式系數(shù)為，第9項二項式系數(shù)為，，故C正確；D：二項展開式的通項為，當(dāng)r取奇數(shù)時，系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)r=7或8時，二項式系數(shù)最大，故當(dāng)r=7時，項的系數(shù)最小，此時為第8項，故D錯誤.故選：AC.12．（多選）若，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】對選項A，令，對選項B，令，對選項C，令，對選項D，令，然后利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后可得結(jié)論．【詳解】對于選項A，令，則，當(dāng)時，的正負(fù)不確定，則的單調(diào)性不確定，故與的大小不確定，故A錯誤；對于選項B，令，則，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴，即，即，故B正確；對于選項C，令，則，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，又∵，∴，即，故C錯誤；對于選項D，令，則，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，又∴，∴，即，即，故D正確．故選：BD．三、填空題13．已知函數(shù)，則________．【答案】0；【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，可得，解得.故答案為：014．如果，則________【答案】【分析】令，即可求解.【詳解】解：令，得，令，得，所以，故答案為：.15．用1，2，3，…，9這九個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有______個．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，四位數(shù)各位上的數(shù)字為2個偶數(shù)2個奇數(shù)或4個奇數(shù)討論求解即可.【詳解】根據(jù)題意，要使各位數(shù)字之和為偶數(shù)，則可能的情況為2個偶數(shù)2個奇數(shù)或4個奇數(shù)，當(dāng)組成的四位數(shù)的各位數(shù)字均為奇數(shù)時，有個，當(dāng)組成的四位數(shù)的各位數(shù)字中有為2個奇數(shù)，2個偶數(shù)時，有個，所以，滿足條件的四位奇數(shù)有個.故答案為：.16．已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集是___________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)也是增函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，，?dāng)時，由，當(dāng)時，由，故答案為：四、解答題17．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最值．【答案】(1)增區(qū)間為；減區(qū)間為(2)最大值為9，最小值為－【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）利用極值及端點(diǎn)函數(shù)值，比較大小可得答案.【詳解】（1），令，則或，列表如下：－31＋0－0＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增∴的增區(qū)間為；減區(qū)間為；（2）由上知在上的極小值為，又，所以在上的最大值為9，最小值為－．18．?dāng)?shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【詳解】解：（1）由題意，.由，①得，②①-②，得，所以又因?yàn)楫?dāng)時，上式也成立，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由題意，，所以，③，④③-④，得從而.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．19．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用空間向量求出空間直線的向量積，即可證明兩直線垂直.（2）利用空間向量求直線與平面所成空間角的正弦就是就出平面的法向量與直線的方向向量之間夾角的余弦即可.【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．因?yàn)?，，所以，即；?）設(shè)平面的法向量為因?yàn)?，由，得，令，則所以平面的一個法向量為，又所以故直線與平面所成角的正弦值為．20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案．【詳解】（1）當(dāng)時，，所以當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時函數(shù)有極小值，無極大值.（2）因?yàn)樵谏嫌薪?，所以在上有解，?dāng)時，不等式成立，此時，當(dāng)時在上有解，令，則由（1）知時，即，當(dāng)時；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍．21．橢圓的一個焦點(diǎn)，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，求得，即可求得橢圓的方程；（2）利用點(diǎn)差法即可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得直線方程.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，故可得，則，故橢圓方程為：.（2）顯然，直線的斜率存在，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得，故，故，由題可知，故可得，故直線的方程為，即.22．已知.(1)求時，在處的切線方程；(2)若存在兩個極值點(diǎn)，且，求