微積分入門輔導(dǎo)講義

中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代（公元前7世紀(jì)），我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書(shū)的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，即老莊哲學(xué)中所有的無(wú)限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限?。ㄗ钚o(wú)內(nèi)）、無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。這是樸素的、也是很典型的極限概念。而極限理論便是微分學(xué)的基礎(chǔ)。古希臘時(shí)期（公元前3世紀(jì)），阿基米德用內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)窮盡圓周長(zhǎng)，而求得圓周率愈來(lái)愈好的近似值，也用一連串的三角形來(lái)填充拋物線的圖形，以求得其面積。這是窮盡法的古典例子之一，可以說(shuō)是積分思想的起源。17世紀(jì)，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論,后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)來(lái)。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒(méi)有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識(shí)到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。外爾斯特拉斯最終完成了對(duì)實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)的理解，使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺(jué)理解和幾何直觀。人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著，人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化。微積分學(xué)（Calculus,拉丁語(yǔ)意為用來(lái)計(jì)數(shù)的小石頭）是研究極限、微分學(xué)、積分學(xué)和無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經(jīng)指無(wú)窮小的計(jì)算。更本質(zhì)的講，微積分學(xué)是一門研究變化的科學(xué)，正如幾何學(xué)是研究空間的科學(xué)一樣?？陀^世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。微積分學(xué)在科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，來(lái)解決那些僅依靠代數(shù)學(xué)不能有效解決的問(wèn)題。微積分學(xué)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)和解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)，并包括微分學(xué)、積分學(xué)兩大分支。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)基本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來(lái)討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué)，并被定義為研究函數(shù)的科學(xué)。在高二上學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們認(rèn)識(shí)了導(dǎo)數(shù)和定積分，并開(kāi)始了對(duì)其應(yīng)用的理解和練習(xí)。其實(shí)，早在高中物理開(kāi)始不久后的學(xué)習(xí)中，我們就接觸到了微積分的原型一一微元法。同當(dāng)年的科學(xué)家一樣，我們也因物理上的應(yīng)用需要，開(kāi)始了對(duì)微積分學(xué)的認(rèn)識(shí)之旅。借著這次研究性學(xué)習(xí)的契機(jī)，我們就了解一下微積分學(xué)的發(fā)展歷史，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究對(duì)社會(huì)發(fā)展的重要意義，本著“以史為鏡”的態(tài)度了解其中波折而有趣的發(fā)展歷程；并由此拓展自己的知識(shí)面，增添自己對(duì)微積分學(xué)習(xí)的興趣。作為理科生，探究過(guò)程中的我們也能結(jié)合所學(xué)歷史知識(shí)、辯證分析的方法，培養(yǎng)自身人文素養(yǎng)，增強(qiáng)自身的綜合素質(zhì)，為高中階段的歷史學(xué)習(xí)畫(huà)上圓滿的句號(hào)。我們也對(duì)微積分在生活中就一些簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用的一些研究來(lái)提高自己在以微積分的思想方法解決問(wèn)題的能力；了解在哪些情況，哪些領(lǐng)域會(huì)用到微積分；進(jìn)一步加深對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)。另一方面，在進(jìn)行小組討論、共同研究的時(shí)候，通過(guò)組員的積極參與和組員間的合作，我們可以通過(guò)共同探索增強(qiáng)自己的責(zé)任感，增進(jìn)相互之間的友誼，提高自身的實(shí)踐探究能力，學(xué)會(huì)將理論知識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力結(jié)合來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，以此提高自身的綜合素質(zhì)。微積分的主要內(nèi)容及其他研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。本來(lái)從廣義上說(shuō)，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來(lái)，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。微積分是與科學(xué)應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的。最初，牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程對(duì)第谷浩瀚的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析運(yùn)算，得到了萬(wàn)有引力定律，并進(jìn)一步導(dǎo)出了開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)成了推動(dòng)近代數(shù)學(xué)發(fā)展強(qiáng)大的引擎，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。微積分主要有三大類分支：極限、微分學(xué)、積分學(xué)。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運(yùn)算。牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理以后才引起了其他學(xué)者對(duì)于微積分學(xué)的狂熱的研究。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使我們?cè)谖⒎趾头e分之間互相轉(zhuǎn)換。這個(gè)基本理論也提供了一個(gè)用代數(shù)計(jì)算許多積分問(wèn)題的方法，該方法并不真正進(jìn)行極限運(yùn)算而是通過(guò)發(fā)現(xiàn)不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問(wèn)題，解決未知數(shù)的積分。微分問(wèn)題在科學(xué)領(lǐng)域無(wú)處不在。微積分的基本概念還包括函數(shù)、無(wú)窮序列、無(wú)窮級(jí)數(shù)和連續(xù)等，運(yùn)算方法主要有符號(hào)運(yùn)算技巧，該技巧與初等代數(shù)和數(shù)學(xué)歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、復(fù)分析、時(shí)域微分和微分拓?fù)涞阮I(lǐng)域。微積分的現(xiàn)代版本是實(shí)分析。極限微積分中最重要的概念是“極限”微商（即導(dǎo)數(shù)）是一種極限。定積分也是一種極限。從牛頓實(shí)際使用它到制定出周密的定義，數(shù)學(xué)家們奮斗了200多年。現(xiàn)在使用的定義是維斯特拉斯于19世紀(jì)中葉給出的。數(shù)列極限就是當(dāng)一個(gè)有順序的數(shù)列往前延伸時(shí)，如果存在一個(gè)有限數(shù)（非無(wú)限大的數(shù)），使這個(gè)數(shù)列可以無(wú)限地接近這個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是這個(gè)數(shù)列的極限。數(shù)列極限的表示方法是：limx=LnnTs

XnXn其中L就是極限的值。例如當(dāng)越大（越往前延伸），這個(gè)值越趨近于0。12n時(shí)，它的極限為L(zhǎng)=0。就是說(shuō)n導(dǎo)數(shù)我們知道在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，平均速度等于通過(guò)的距離除以所花費(fèi)的時(shí)間，同樣在一小段間隔的時(shí)間內(nèi)，除上其走過(guò)的一小段距離，等于這一小段時(shí)間內(nèi)的速度，但當(dāng)這一小段間隔的時(shí)間趨于零時(shí)，這時(shí)的速度為瞬時(shí)速度，無(wú)法按照通常的除法計(jì)算，這時(shí)的速度為時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。得用求導(dǎo)的方法計(jì)算。也就是說(shuō)，一個(gè)函數(shù)的自變量趨近某一極限時(shí)，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù)。在速度問(wèn)題上，距離是時(shí)間的因變量，隨時(shí)間變化而變化，當(dāng)時(shí)間趨于某一極限時(shí)，距離增量除以時(shí)間增量的極限即為距離對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。微分學(xué)微分學(xué)主要研究的是在函數(shù)自變量變化時(shí)如何確定函數(shù)值的瞬時(shí)變化率（或微分）。換言之，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法就叫微分學(xué)。微分學(xué)的另一個(gè)計(jì)算方法是牛頓法，該算法又叫應(yīng)用幾何法，主要通過(guò)函數(shù)曲線的切線來(lái)尋找點(diǎn)斜率。費(fèi)馬常被稱作“微分學(xué)的鼻祖”。積分學(xué)積分學(xué)是微分學(xué)的逆運(yùn)算，即從導(dǎo)數(shù)推算出原函數(shù)。又分為定積分與不定積分。一個(gè)一元函數(shù)的定積分可以定義為無(wú)窮多小矩形的面積和，約等于函數(shù)曲線下包含的實(shí)際面積。根據(jù)以上認(rèn)識(shí)，我們可以用積分來(lái)計(jì)算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。而不定積分，用途較少，主要用于微分方程的解。微積分的符號(hào)微分學(xué)中的符號(hào)“dx”“dy”等，系由萊布尼茨首先使用。其中的d源自拉丁語(yǔ)中“差”（Differentia）的第一個(gè)字母。積分符號(hào)“/”亦由萊布尼茨所創(chuàng)，它是拉丁語(yǔ)“總和”（Summa）的第一個(gè)字母s的伸長(zhǎng)（和工有相同的意義）。微積分學(xué)的應(yīng)用微積分學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域。它與大部分科學(xué)分支，特別是物理學(xué)，關(guān)系密切，而經(jīng)濟(jì)學(xué)亦經(jīng)常會(huì)用到微積分學(xué)。幾乎所有現(xiàn)代技術(shù)，如建筑、航空等都以微積分學(xué)作為基本數(shù)學(xué)工具。微積分學(xué)課程在高校理、工科教學(xué)中，微積分是“高等數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容之一。其教學(xué)法由學(xué)科創(chuàng)立一開(kāi)始就受到人們重視。微積分的基本介紹微積分學(xué)基本定理指出，求不定積分與求導(dǎo)函數(shù)互為逆運(yùn)算，把上下限代入不定積分即得到積分值，而微分則是導(dǎo)數(shù)值與自變量增量的乘積，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來(lái)討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，“無(wú)限細(xì)分”就是微分，“無(wú)限求和”就是積分。十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過(guò)準(zhǔn)備的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，但是理論基礎(chǔ)是不牢固的。因?yàn)椤盁o(wú)限”的概念是無(wú)法用已經(jīng)擁有的代數(shù)公式進(jìn)行演算，所以，直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。學(xué)習(xí)微積分學(xué)，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性：因?yàn)?，代?shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無(wú)法處理“無(wú)限”的概念。所以，必須要利用代數(shù)處理代表無(wú)限的量，這時(shí)就精心構(gòu)造了“極限”的概念。在“極限”的定義中，我們可以知道，這個(gè)概念繞過(guò)了用一個(gè)數(shù)除以0的麻煩，相反引入了一個(gè)過(guò)程任意小量。就是說(shuō)，除的數(shù)不是零，所以有意義，同時(shí)，這個(gè)小量可以取任意小，只要滿足在德?tīng)査^(qū)間，都小于該任意小量，我們就說(shuō)他的極限為該數(shù)一一你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但是，他的實(shí)用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能性。這個(gè)概念是成功的。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展?？陀^世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。DifferentialandIntegralCalculus數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支。內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。函數(shù)是微積分研究的基本對(duì)象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過(guò)程特定形式的極限。17世紀(jì)后半葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家I?牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家GW.萊布尼茲，總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作，建立了微積分，但他們的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此尚缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。19世紀(jì)A.L.柯西和K.魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上；加之19世紀(jì)后半葉實(shí)數(shù)理論的建立，又使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善。極限的思想方法可追溯到古代，3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率n的近似值3.141024,并指出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”劉徽對(duì)面積的深刻認(rèn)識(shí)和他的割圓術(shù)方法，正是極限思想的具體體現(xiàn)。數(shù)列極限是函數(shù)極限的基礎(chǔ)，一個(gè)數(shù)列a如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，a與某一實(shí)數(shù)無(wú)限接n n近，就稱之為收斂數(shù)列，a為數(shù)列的極限，記作例如，數(shù)列的極限為0。微分學(xué)的基本概念是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是從速度問(wèn)題和切線問(wèn)題抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念。牛頓從蘋(píng)果下落時(shí)越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)這一事實(shí)。導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具無(wú)論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用中，都起著基礎(chǔ)而重要的作用。例如在求極大、極小值問(wèn)題中的應(yīng)用。積分學(xué)的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計(jì)算，以及在理論和實(shí)際中的應(yīng)用。不定積分概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來(lái)的。如果對(duì)每一xei，有f(x)=F'(x),則稱F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，f(x)的全體原函數(shù)叫做不定積分，記為，因此，如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)。定積分概念的產(chǎn)生來(lái)源于計(jì)算平面上曲邊形的面積和物理學(xué)中諸如求變力所作的功等物理量的問(wèn)題。解決這些問(wèn)題的基本思想是用有限代替無(wú)限；基本方法是在對(duì)定義域［a,b］進(jìn)行劃分后，構(gòu)造一個(gè)特殊形式的和式，它的極限就是所要求的量。具體地說(shuō)，設(shè)f(x)為定義在［a,b］上的函數(shù)，任意分劃區(qū)間［a，b］:a=x0Vx1V?Vxn=b，記，丨丨△丨丨=，任取xi xi,如果有一實(shí)數(shù)I,有下式成立：，則稱I為f(x)在［a,b］上的定積分，記為I=f(x)dx。當(dāng)f(x)±0時(shí)，定積分的幾何意義是表示由x=a,x=b,y=0和y=f(x)所圍曲邊形的面積。定積分除了可求平面圖形的面積外，在物理方面的應(yīng)用主要有解微分方程的初值問(wèn)題和“微元求和”。聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的基本公式是：若f(x)在［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)(x)是他)的原函數(shù)，則f(x)dx=F(b)—F(a)。通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式。因此，計(jì)算定積分實(shí)際上就是求原函數(shù)，也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數(shù)，計(jì)算不定積分的問(wèn)題也不能完全得到解決，所以要考慮定積分的近似計(jì)算，常用的方法有梯形法和拋物線法。微積分學(xué)的建立從微積分成為一門學(xué)科來(lái)說(shuō)，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說(shuō)，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書(shū)的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題。第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問(wèn)題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹(shù)的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題（微分學(xué)的中心問(wèn)題），一個(gè)是求積問(wèn)題（積分學(xué)的中心問(wèn)題）。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。牛頓在1671年寫(xiě)了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書(shū)直到1736年才出版，它在這本書(shū)里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程（積分法）。德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》就是這樣一篇說(shuō)理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過(guò)去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。不幸的是，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余，在提出誰(shuí)是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見(jiàn)，過(guò)于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開(kāi)發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見(jiàn)，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問(wèn)題上，其說(shuō)不一，十分含糊。牛頓的無(wú)窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說(shuō)。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)來(lái)。任何新興的、具有無(wú)量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星:瑞士的雅科布?貝努利和他的兄弟約翰?貝努利、歐拉、法國(guó)的拉格朗日、柯西……歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好，都是一種常量數(shù)學(xué)，微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問(wèn)題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)。微積分歷史積分的起源很早，古希臘時(shí)期就有求特殊圖形面積的研究；用的是窮盡的方法。阿基米德(Archimedes)用內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)來(lái)窮盡圓周長(zhǎng)，而求得圓周率愈來(lái)愈好的近似值，也用一連串的三角形來(lái)填充拋物線的圖形，以求得其面積；這些都是窮盡法的古典例子。文藝復(fù)興之后，基于實(shí)際的需要及理論的探討，積分技巧有了進(jìn)一步的發(fā)展。譬如為了航海的方便，杰拉杜斯?麥卡托(GerardusMercator)發(fā)明了所謂的麥?zhǔn)贤队胺?，使得地圖上的直線就是航海時(shí)保持定向的斜駛線。17世紀(jì)的前半，是微積分學(xué)的醞釀時(shí)期。確實(shí)劃分微積分學(xué)這門學(xué)科是在17世紀(jì)由戈特弗里德?威廉?萊布尼茨和艾薩克?牛頓幾乎同時(shí)創(chuàng)立的，對(duì)此學(xué)界曾有極大的爭(zhēng)論，兩人曾為爭(zhēng)奪微積分的發(fā)明權(quán)訴諸皇家學(xué)會(huì)仲裁。在他們創(chuàng)立微積分以前，人們把微分和積分視為獨(dú)立的學(xué)科。而微積分之名與其符號(hào)之使用則是萊布尼茨所創(chuàng)。雖說(shuō)微積分是萊布尼茨和牛頓發(fā)明的，但是指的是他們兩人使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關(guān)系，使計(jì)算系統(tǒng)化，并且把微積分大規(guī)模使用到幾何與物理上。在他們之前，微積分是萌芽時(shí)期，觀念在摸索中，計(jì)算是個(gè)別的，應(yīng)用也是個(gè)別的。在牛頓、萊布尼茨以前，對(duì)微分、積分最有貢獻(xiàn)的大概要算皮埃爾?德?費(fèi)馬了，可惜他未能體會(huì)兩者之間的密切關(guān)系。而牛頓的老師伊薩克?巴羅(I.Barrow,1630?1677)雖然知道兩者之間有互逆的關(guān)系，但他不能體會(huì)此種關(guān)系的意義，其原因之一就是求導(dǎo)數(shù)還沒(méi)有一套有系統(tǒng)的計(jì)算方法。古希臘平面幾何的成功，予西方數(shù)學(xué)非常深遠(yuǎn)的影響，一般認(rèn)為，唯有幾何的論證方法才是嚴(yán)格的，才是真正的數(shù)學(xué)，代數(shù)也不過(guò)是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費(fèi)馬倡導(dǎo)以代數(shù)的方法研究幾何的問(wèn)題。這種態(tài)度才漸有轉(zhuǎn)變?？墒且环矫鎺缀嗡季S方式深植人心，而另一方面代數(shù)方法仍然未臻成熟，實(shí)數(shù)系統(tǒng)遲遲未能建立，所以許多數(shù)學(xué)家仍然固守幾何陣營(yíng)而不能有有效的計(jì)算方法，如巴婁就是。牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點(diǎn)，發(fā)展了有效的微分方法，可是他的方法遲遲未敢發(fā)展。雖然他用了微積分的技巧，由萬(wàn)有引力及運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)說(shuō)明了他的宇宙體系，但因害怕當(dāng)時(shí)人的批評(píng)，在他1687年的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，卻把微積分的痕跡抹去，而仍以古典的幾何論證方式論述。微積分實(shí)際被許多人不斷地完善，也離不開(kāi)巴羅、笛卡爾、費(fèi)馬、惠更斯和沃利斯的貢獻(xiàn)。牛頓、萊布尼茨雖然把微積分系統(tǒng)化，但它還是不嚴(yán)格的?？墒俏⒎e分被成功地用來(lái)解決許多問(wèn)題，卻使十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家偏向其應(yīng)用性，而少致力于其嚴(yán)格性。當(dāng)時(shí)，微積分學(xué)的發(fā)展幸而掌握在幾個(gè)非常優(yōu)越的數(shù)學(xué)家,如歐拉(L.Euler,1707?1783)、拉格朗日J(rèn).U.Lagrange,1736?1813)、拉普拉斯(P.S.deLaplace,1749?1827)、達(dá)朗貝爾(J.deR.d'Alembert,1717?1783)及白努利(D.Bernoulli,1700?1782)世家等人的手里。研究的問(wèn)題由自然現(xiàn)象而來(lái)，所以能以自然現(xiàn)象的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)合微積分的許多推論。使微積分學(xué)不因基礎(chǔ)不穩(wěn)而將之錯(cuò)誤。在這些眾數(shù)學(xué)家的手中，微積分學(xué)的范圍很快地超過(guò)現(xiàn)在大學(xué)初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學(xué)。發(fā)展現(xiàn)代微積分理論的一個(gè)動(dòng)力是為了解決“切線問(wèn)題”，另一個(gè)是“面積問(wèn)題”18世紀(jì)的分析學(xué)驅(qū)動(dòng)18世紀(jì)的微積分學(xué)不斷向前發(fā)展的動(dòng)力是物理學(xué)的需要，物理問(wèn)題的表達(dá)一般都是用微分方程的形式。18世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)。他們把微積分應(yīng)用于天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，并獲得了豐碩的成果。在數(shù)學(xué)本身又發(fā)展出了多元微分學(xué)、多重積分學(xué)、微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論、變分法，大大地?cái)U(kuò)展了數(shù)學(xué)研究的范圍。其中最著名的要數(shù)最速降線問(wèn)題：即最快下降的曲線的問(wèn)題。這個(gè)曾經(jīng)的難題用變分法的理論可以輕而易舉的解決。微積分發(fā)明優(yōu)先權(quán)大爭(zhēng)論歷史上，微積分是由兩位科學(xué)家，牛頓和萊布尼茨幾乎同時(shí)發(fā)現(xiàn)的。在創(chuàng)立微積分方面，萊布尼茨與牛頓功績(jī)相當(dāng)。這兩位數(shù)學(xué)家在微積分學(xué)領(lǐng)域中的卓越貢獻(xiàn)概括起來(lái)就是：他們總結(jié)出處理各種有關(guān)問(wèn)題的一般方法，認(rèn)識(shí)到求積問(wèn)題與切線問(wèn)題互逆的特征，并揭示出微分學(xué)與積分學(xué)之間的本質(zhì)聯(lián)系；他們都各自建立了微積分學(xué)基本定理，他們給出微積分的概念、法則、公式和符號(hào)理論為以后的微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)而重要的基礎(chǔ)。總之，他們創(chuàng)立了作為一門獨(dú)立學(xué)科的微積分學(xué)。微積分這種數(shù)學(xué)分析方法正式誕生以后，由于解決了許多以往靠初等數(shù)學(xué)無(wú)法作答的實(shí)際問(wèn)題，所以逐漸引起科學(xué)家和社會(huì)人士的重視。同時(shí)，也帶來(lái)了關(guān)于“誰(shuí)先建立微積分”問(wèn)題的爭(zhēng)論。從牛頓和萊布尼茨還在世時(shí)就開(kāi)始出現(xiàn)這種爭(zhēng)論，英國(guó)和歐洲大陸各國(guó)不少科學(xué)家都卷入這場(chǎng)曠日持久的、尖銳而復(fù)雜的論戰(zhàn)。這場(chǎng)論戰(zhàn)持續(xù)了100多年的時(shí)間。就創(chuàng)造與發(fā)表的年代比較，牛頓創(chuàng)造微積分基本定理比萊布尼茨更早。前者奠基于1665—1667年,后者則是1672—1676年，但萊布尼茨比牛頓更早發(fā)表微積分的成果。故發(fā)明微積分的榮譽(yù)應(yīng)屬于他們兩人。微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無(wú)限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無(wú)限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限?。ㄗ钚o(wú)內(nèi)）無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3.1416，他的極限思想和無(wú)窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追溯古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開(kāi)普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的《夢(mèng)溪筆談》獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開(kāi)創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫(xiě)了劃時(shí)代巨著《數(shù)書(shū)九章》十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”一一增乘開(kāi)方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開(kāi)方作法本源圖”和增乘開(kāi)方法、“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級(jí)數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國(guó)古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國(guó)已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部?jī)?nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門。可惜中國(guó)元朝以后，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)及微積分邏輯上的嚴(yán)格化微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來(lái)了一次空前繁榮的時(shí)期。對(duì)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。但是牛頓和萊布尼茨的微積分都缺乏清晰的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)，這在初創(chuàng)時(shí)期是不可避免的?？茖W(xué)上的巨大需要戰(zhàn)勝了邏輯上的顧忌。他們需要做的事情太多了，他們急于去攫取新的成果?；締?wèn)題只好先放一放。正如達(dá)朗貝爾所說(shuō)的：“向前進(jìn)，你就會(huì)產(chǎn)生信心！”數(shù)學(xué)史的發(fā)展一再證明自由創(chuàng)造總是領(lǐng)先于形式化和邏輯基礎(chǔ)。于是在微積分的發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)了這樣的局面：一方面是微積分創(chuàng)立之后立即在科學(xué)技術(shù)上獲得應(yīng)用，從而迅速地發(fā)展；另一方面是微積分學(xué)的理論在當(dāng)時(shí)是不嚴(yán)密的，出現(xiàn)了越來(lái)越多的悖論和謬論。數(shù)學(xué)的發(fā)展又遇到了深刻的令人不安的危機(jī)。例如，有時(shí)把無(wú)窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時(shí)卻又令無(wú)窮小量為零而忽略不計(jì)。由于這些矛盾，引起了數(shù)學(xué)界的極大爭(zhēng)論。如當(dāng)時(shí)愛(ài)爾蘭主教、唯心主義哲學(xué)家貝克萊嘲笑“無(wú)窮小量”是“已死的幽靈”貝克萊對(duì)牛頓導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行了批判。當(dāng)時(shí)牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義為：當(dāng)x增長(zhǎng)為x+o時(shí)，x的立方（記為xA3）成為（x+o）的立方（記為（x+o）人3）。即xA3+3xA2o+3x0人2+0人3。與x3的增量分別為o和3xA2o+3x0人2+0人3。這兩個(gè)增量與x的增量的比分別為1和3xA2+3xo+oA2，然后讓增量消失，則它們的最后比為1與3xA2。我們知道這個(gè)結(jié)果是正確的，但是推導(dǎo)過(guò)程確實(shí)存在著明顯的偷換假設(shè)的錯(cuò)誤：在論證的前一部分假設(shè)o是不為0的，而在論證的后一部分又被取為0。那么o到底是不是0呢？這就是著名的貝克萊悖論。這種微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機(jī)在數(shù)學(xué)史上稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，而這次危機(jī)的引發(fā)與牛頓有直接關(guān)系。歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見(jiàn)地的意見(jiàn)的是達(dá)朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴(yán)格化的是拉格朗日。為了避免使用無(wú)窮小推理和當(dāng)時(shí)還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個(gè)微積分建立在泰勒展開(kāi)式的基礎(chǔ)上。但是，這樣一來(lái)，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無(wú)法討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，所以，拉格朗日的以冪級(jí)數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠基問(wèn)題。到了19世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極為微積分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲學(xué)家B.Bolzano.曾著有《無(wú)窮的悖論》，明確地提出了級(jí)數(shù)收斂的概念，并對(duì)極限、連續(xù)和變量有了較深入的了解。分析學(xué)的奠基人，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無(wú)窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。在那里他給出了數(shù)學(xué)分析一系列的基本概念和精確定義。對(duì)分析基礎(chǔ)做更深一步的理解的要求發(fā)生在1874年。那時(shí)的德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯構(gòu)造了一個(gè)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構(gòu)造了一條沒(méi)有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。它使人們認(rèn)識(shí)到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。黎曼發(fā)現(xiàn)，柯西沒(méi)有必要把他的定積分限制于連續(xù)函數(shù)。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。也就是將柯西積分改進(jìn)為Riemann積分。這些事實(shí)使我們明白，在為分析建立一個(gè)完善的基礎(chǔ)方面，還需要再深挖一步：理解實(shí)數(shù)系更深刻的性質(zhì)。這項(xiàng)工作最終由外爾斯特拉斯完成，使得數(shù)學(xué)分析完全由實(shí)數(shù)系導(dǎo)出，脫離了知覺(jué)理解和幾何直觀。這樣一來(lái)，數(shù)學(xué)分析所有的基本概念都可以通過(guò)實(shí)數(shù)和它們的基本運(yùn)算表述出來(lái)。微積分嚴(yán)格化的工作終于接近封頂，只有關(guān)于無(wú)限的概念沒(méi)有完全弄清楚，在這個(gè)領(lǐng)域，德國(guó)數(shù)學(xué)家Cantor做出了杰出的貢獻(xiàn)?？傊?，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)和核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)上。外爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)論。為此，建立分析基礎(chǔ)的邏輯順序是實(shí)數(shù)系一極限論一微積分微積分的現(xiàn)代發(fā)展人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著。以下列舉了幾個(gè)例子，足以說(shuō)明人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化。在Riemann將Cauchy的積分含義擴(kuò)展之后,Lebesgue又引進(jìn)了測(cè)度的概念，進(jìn)一步將Riemann積分的含義擴(kuò)展。例如著名的Dirichilet函數(shù)在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue積分下便可積。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)大師所伯列夫?yàn)榱舜_定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了廣義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念。這一概念的引入不僅賦予微分方程的解以新的含義，更重要的是，它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學(xué)工具得以應(yīng)用到微分方程理論中，從而開(kāi)辟了微分方程理論的新天地。我國(guó)的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來(lái)研究幾何，這門學(xué)科對(duì)人類認(rèn)識(shí)時(shí)間和空間的性質(zhì)發(fā)揮的巨大的作用。并且這門學(xué)科至今仍然很活躍。由我國(guó)數(shù)學(xué)家朱熹平、曹懷東完成最后封頂?shù)凝嫾尤R猜想便屬于這一領(lǐng)域。在多元微積分學(xué)中， Newton一Leibniz公式的對(duì)照物是Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及經(jīng)典的Stokes公式。無(wú)論在觀念上或者在技術(shù)層次上，他們都是Newton一Leibniz公式的推廣。隨著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要和解決問(wèn)題的需要，僅僅考慮歐式空間中的微積分是不夠的。有必要把微積分的演出舞臺(tái)從歐式空間進(jìn)一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演著重要的角色。于是，外微分式的積分和微分流形上的Stokes公式產(chǎn)生了。而經(jīng)典的Green公式、Ostrogradsky一Gauss公式、以及Stokes公式也得到了統(tǒng)一。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開(kāi)始，進(jìn)而達(dá)到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)具有相對(duì)性，受到時(shí)代的局限。隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí)、由不全面到比較全面地發(fā)展。人類對(duì)自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn)。微積分的誕生及其重要意義微積分的誕生是繼Euclid幾何建立之后，數(shù)學(xué)發(fā)展的又一個(gè)里程碑式的事件。微積分誕生之前，人類基本上還處在農(nóng)耕文明時(shí)期。解析幾何的誕生是新時(shí)代到來(lái)的序曲，但還不是新時(shí)代的開(kāi)端。它對(duì)舊數(shù)學(xué)作了總結(jié)，使代數(shù)與幾何融為一體，并引發(fā)出變量的概念。變量，這是一個(gè)全新的概念，它為研究運(yùn)動(dòng)提供了基礎(chǔ)推導(dǎo)出大量的宇宙定律必須等待這樣的時(shí)代的到來(lái)，準(zhǔn)備好這方面的思想，產(chǎn)生像牛頓、萊布尼茨、拉普拉斯這樣一批能夠開(kāi)創(chuàng)未來(lái)，為科學(xué)活動(dòng)提供方法，指出方向的領(lǐng)袖，但也必須等待創(chuàng)立一個(gè)必不可少的工具——微積分，沒(méi)有微積分，推導(dǎo)宇宙定律是不可能的。在17世紀(jì)的天才們開(kāi)發(fā)的所有知識(shí)寶庫(kù)中，這一領(lǐng)域是最豐富的，微積分為創(chuàng)立許多新的學(xué)科提供了源泉。微積分的建立是人類頭腦最偉大的創(chuàng)造之一，一部微積分發(fā)展史，是人類一步一步頑強(qiáng)地認(rèn)識(shí)客觀事物的歷史，是人類理性思維的結(jié)晶。它給出一整套的科學(xué)方法，開(kāi)創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)與加深了數(shù)學(xué)的作用。恩格斯說(shuō)：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績(jī)，那就正是在這里?！庇辛宋⒎e分，人類才有能力把握運(yùn)動(dòng)和過(guò)程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會(huì)。航天飛機(jī)。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果。在微積分的幫助下，萬(wàn)有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個(gè)公式來(lái)描述太陽(yáng)對(duì)行星的作用，以及地球?qū)λ浇矬w的作用。從最小的塵埃到最遙遠(yuǎn)的天體的運(yùn)動(dòng)行為。宇宙中沒(méi)有哪一個(gè)角落不在這些定律的所包含范圍內(nèi)。這是人類認(rèn)識(shí)史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠(yuǎn)的社會(huì)影響。它強(qiáng)有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。一場(chǎng)空前巨大的、席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始了。毫無(wú)疑問(wèn)，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學(xué)的開(kāi)端。旋轉(zhuǎn)液體的液面以等角速度①旋轉(zhuǎn)的液體，液面的形狀如何求得?解答：假設(shè)它的剖面是一條曲線，Y軸是轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)面以Y軸為對(duì)稱軸，此時(shí)在液面會(huì)得到一正壓力R，R液面會(huì)得到一正壓力R，R可以同時(shí)提供向心力wi.i".■- ?:__■，和重力：!iHmg工3,mg工3,/SlsinrRcorttanr業(yè)=十疋因此■■■ "■■■其中一廠、U都是常數(shù)，因此該剖面的曲線是拋物線，液面形狀是該拋物線繞Y軸的旋轉(zhuǎn)面。直接求sin(x)的導(dǎo)函數(shù)從幾何上如何找到sin(x)的微分呢?解答：直接求啤

把o變動(dòng)sine從變到；，i,我們要了解 與之比，是一小段弦長(zhǎng)，是斜線區(qū)域這個(gè)近似直角三角形的斜邊，此 與之比之比可以想成是cosO四只蒼蠅飛行問(wèn)題有四只蒼蠅A,B,C,D分別位于平面上的(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)，之后它們一起以每秒1單位的速度行動(dòng)，行動(dòng)的方式為：A蒼蠅一直向著B(niǎo)蒼蠅靠近，B蒼蠅一直向著C蒼蠅靠近，C蒼蠅一直向著D蒼蠅靠近，D蒼蠅一直向著A蒼蠅靠近，試問(wèn)：

（1）四只蒼蠅會(huì)在何處相遇？（2）它們多久會(huì)相遇？（3）找出A蒼蠅的行動(dòng)軌跡，并大致畫(huà)出。（4） 計(jì)算A蒼蠅從開(kāi)始到相遇的路徑長(zhǎng)。（5） 蒼蠅A會(huì)有什么樣的生理反應(yīng)？解答:B1B1' ACD（1）、（2）：從物理相對(duì)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)來(lái)看A的行進(jìn)方向始終和B的行進(jìn)方向保持垂直，你可以想象蒼蠅移動(dòng)了瞬間之后，方向就立即修正（參照?qǐng)D一、二、三），由于四只蒼蠅是做等速運(yùn)動(dòng)，所以每一時(shí)刻以四只蒼蠅圍出來(lái)的四邊形會(huì)是正方形，（行進(jìn)方向垂直加上等速）于是當(dāng)時(shí)間愈久的時(shí)候，蒼蠅愈來(lái)愈靠近，正方形愈來(lái)愈小，最后會(huì)內(nèi)縮成一點(diǎn)，這一點(diǎn)會(huì)是原點(diǎn)，這就是他們相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以從B蒼蠅看來(lái)，A還是以1單位/秒的等速向B靠近，原來(lái)A、B的距離是2單位，因此需要T 秒的時(shí)間四只蒼蠅會(huì)相遇（Uff，「，「 --I的推論都一樣，?：四只會(huì)一起相遇）圖一 圖二

圖三(3)：我們將蒼蠅A的坐標(biāo)位置用極坐標(biāo)的方式表達(dá)，J 小，而B(niǎo)的位置就是小W宀川?汕.1i 要注意的是：廠和"都是$的函數(shù)［門門而而A的速度是rcosf)—rsin00rsinf)—rcos09此向量要與.\i；i..'i-illff-宀宀".I.此向量要與.\i；i..'i-illff-宀宀".I.「宀宀" -ill"!!平行，于是（如滬co呂円一t對(duì)nHH—怡由肚円一re□呂簡(jiǎn) ?、、豐cotiB-i?呂_i_ gaHH—n—r(sinfl-|-CDS—rfccsfl—sinfl)—yrfsinfl+ccisfl) ib(co?fl—sinfl)ri"(ccs2fl—ccsflsinfl-|-sin-fl-l-sinflcosfl)H-r2(—sinflccsflfl-|-sin- sinfleesflfl十cm*flfl)_()r(sinfl+c(Kfl)(cosfl—sinfl).■ drdO dr“ ”=>r4 =0 ——+r——=D冷——=—df)=>ln-r=—04c.dtdi r-■- ，-"'^,初始值\z--TT—7,=d說(shuō)*?"=J!盒帶*（"―）其軌跡如下圖所示事實(shí)上我們必須注意到，在■"■■I'1的情形下會(huì)有■- "'的推論,我們不妨用積分式算出，時(shí)刻走了多少路： （等式亠、丄》士宀〒t=>ff^eTe-^dd=f2- =t亠“右邊是速度乘上時(shí)間）「- ，在?的時(shí)候， ，" "。所以其實(shí)蒼蠅A的軌跡應(yīng)為上述討論要表達(dá)的是說(shuō)，加上*?小 門工衷|這一點(diǎn)是需要的，并且加上那一點(diǎn)后，軌跡還是連續(xù)的(可以想一下如何定義在端點(diǎn)的連續(xù)性)(4)：由(3)=>,fr店+{紆胡=垮2屁一伽=2曲-曠円)|甲=2(5)：由(3)得知在，到2的時(shí)候，" 、，換言之，在之前已轉(zhuǎn)了無(wú)限多圈,于是蒼蠅會(huì)“頭昏”雪球融化假設(shè)雪球融化的速率與表面積成正比，若有一個(gè)半徑為10公分的雪球，在氣溫氣壓皆固定的情況之下，在5分鐘后融化為一個(gè)半徑5公分的雪球，請(qǐng)問(wèn)雪球完全融化需要多少時(shí)間？解答：假設(shè)此雪球在時(shí)間，分鐘時(shí)的半徑為門八公分，由題意可知門山⑴，■，l：_l1 6又雪球融化的速率與表面積成正比，雪球融化的速率即雪球體積的變化率，雪球的體積為一八J八，表面積為|-;Jf；l，所以有〔半砒“⑴)'=氐4?r嚴(yán)(f)廠為一比例常數(shù)，由于體積隨時(shí)間經(jīng)過(guò)而減少，可知■■■■=>爭(zhēng))?/(f)=fc■4?r■沁(￡)=>對(duì)=氐冷r{/)=k-tc.■■為常數(shù)，由門山 ⑴，\可解出門八 ■'-|ri，由此可看出雪球的半徑隨時(shí)間經(jīng)過(guò)等速率減少，雪球完全融化時(shí)門八 門，久=III所以雪球在10分鐘后完全融化。雨中行車若你駕駛一輛風(fēng)玻璃與地面垂直的吉普車欲從甲地到乙地，此時(shí)天正下著雨，假設(shè)所有雨滴皆以速度u垂直落下，且均勻的分布在空氣中，請(qǐng)問(wèn)你是該開(kāi)的快一點(diǎn)或是慢一點(diǎn)，才能使落在擋風(fēng)玻璃的雨水總量最少？解答：圖一假設(shè)每立方公尺中有a克的雨水，若車子以速度V前進(jìn)，以車子為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)來(lái)看，則雨水以水平速度V，垂直速度u朝車子而來(lái),假設(shè)速度與水平夾角0,則對(duì)單位面積的擋風(fēng)玻璃來(lái)說(shuō)，在［到I?△'間，落在其上的雨水正好是L時(shí)，單位面積上高為；?--A.-'，傾斜角度0的圓柱內(nèi)的水（如圖二）總共有I*?門克，所以單位時(shí)間內(nèi)單位面積所接收的雨水為g，若甲到乙地距離擋風(fēng)玻璃總面積.1,則從甲以等速v開(kāi)車到乙擋風(fēng)玻璃所接收的雨水共有-A■—=^.Alv為一常數(shù)，與?「無(wú)關(guān)。若并非以等速行車，結(jié)果又會(huì)是如何呢？假設(shè)v為t的函數(shù)，寫(xiě)成「八,單位時(shí)間內(nèi)單位面積接收的雨水為門八’門，假設(shè)在L時(shí)間后從甲到達(dá)乙，則■'1：；"■'，，。則從甲至【」乙所接收的總雨量為門.1丄，；".屮'門」'依然是一個(gè)常數(shù)，與v無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)不管怎么開(kāi)，落在擋風(fēng)玻璃上總雨量都是固定的。工人拉船碼頭上，有一個(gè)圓筒狀鐵柱，從船上拋出一根繩子，一端固定在船尾，另一端繞鐵柱三圈后由一工人拉著，假設(shè)工人施力10公斤，繩子與鐵柱的磨擦系數(shù)是1/3，請(qǐng)問(wèn)船尾受力多大？解答：在繩子與鐵柱有M的接觸時(shí)，拉力廠會(huì)提供/""（接近廠汕|［川八）的正壓力給鐵柱，所以有“廠「廠”"，積分得廠 其中匚就是10公斤，廠_，而"，所以廠丨門廠’。

m七錄曰帶如果你曾注意過(guò)收音機(jī)帶動(dòng)錄音帶的情形，相信你會(huì)發(fā)現(xiàn)在收聽(tīng)（或者快轉(zhuǎn)）的時(shí)候，在左方的輪子會(huì)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以帶動(dòng)磁帶，而原本在右方的磁帶地方就會(huì)被一直帶動(dòng)，最后會(huì)繞到左方的輪子上?，F(xiàn)在我們考慮二個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)輪子磁帶半徑的變化率之比為多少？如果我知道錄音帶從一開(kāi)始（左方的輪子沒(méi)有磁帶，所有磁帶都在右方的輪子上）轉(zhuǎn)到一半（左方的磁帶量二右方的磁帶量）時(shí)，需要一分鐘，并且輪1的轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時(shí)候需要幾分鐘呢？如果你曾注意過(guò)收音機(jī)帶動(dòng)錄音帶的情形時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)到，在收聽(tīng)（或者快轉(zhuǎn)）的時(shí)候，在1處的輪子會(huì)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以帶動(dòng)磁帶，而磁帶原本在2的地方就會(huì)被一直帶動(dòng)，最后會(huì)繞到輪子1上。現(xiàn)在我們想要考慮兩個(gè)問(wèn)題:記八為1號(hào)輪子在時(shí)刻所繞出的磁帶的半徑，川'為2號(hào)輪子在，時(shí)刻磁帶形成圓形的半徑，它們會(huì)隨而變化，那么兩半徑的變化率之比di）為何?di）為何?如果我知道錄音帶從一開(kāi)始（輪1沒(méi)有磁帶，所有磁帶都在輪2上）轉(zhuǎn)到一半（輪1的磁帶量二輪2的磁帶量）時(shí)，需要一分鐘，并且輪1的轉(zhuǎn)速始終保持一定值，那么錄音帶全部轉(zhuǎn)完的時(shí)候需要幾分鐘？第一個(gè)問(wèn)題其實(shí)并不難，如果注意到磁帶的總量始終保持一定，另一個(gè)角度想就是兩磁帶所繞出的兩個(gè)圓形面積總和是固定的，于是會(huì)有八門八—匚小常數(shù)，對(duì)，微分后得到亦i（t件+亦巾旳字=o=＞^=-—

」dt 「血 警門第二個(gè)問(wèn)題我們可以試著用積分的方法解決，首先注意到由于轉(zhuǎn)速是一定（記為?）,所以半徑門是和$成正比，于是不妨令門 （比方說(shuō)輪子每秒轉(zhuǎn)10圈，那么一秒后半徑就多了10個(gè)磁帶的厚度，兩秒后半徑就多了20個(gè)磁帶的厚度）另外，我們同樣是以圓面積代表磁帶量，所以丄?'“uw"!, 川土（一分鐘時(shí)轉(zhuǎn)了總長(zhǎng)的一半，,是一比例常數(shù)）欲解丄.J屮」"丄.-Jy山I時(shí)的a值?！?27rfeha;|t2|J=Trfefta;=|加幀⑴專護(hù)質(zhì)=Tikhcjj^=專j?=1=＞護(hù)=2=＞①=y/2所以帶子全部轉(zhuǎn)完需要遼分鐘。撞球問(wèn)題你知道撞球的時(shí)候球桿應(yīng)該打在哪里最好嗎?解答:觀察1：如果球桿打在撞球的中央（如圖A處）則球有速度，但是無(wú)旋轉(zhuǎn)的角速度,如此一來(lái)球和布會(huì)有摩擦，二布會(huì)壞掉，可見(jiàn)這不是最佳的點(diǎn)。球桿應(yīng)打在讓球產(chǎn)生全滾動(dòng)而不滑動(dòng)，這是最佳的點(diǎn)。觀察2：若球一開(kāi)始有滑動(dòng)，不久球會(huì)開(kāi)始滾動(dòng)，滾速會(huì)增加，移動(dòng)速度會(huì)減少，而質(zhì)心速度會(huì)增加，到最后會(huì)有--^,即滾動(dòng)而不滑動(dòng)，而摩擦力會(huì)消失。一些記號(hào):球的質(zhì)心速度?球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度用：球的半徑「:?:球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量」/:球的質(zhì)量由物理學(xué)的角度來(lái)看，一剛性物體的角動(dòng)量變化率等于力矩之和，寫(xiě)成數(shù)學(xué)式即為計(jì)-，另外，角動(dòng)量等于物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量乘上角速度，也就是說(shuō)/. /-■，于是，用到撞球的例子上即為：L=1^?3=/T（i）dt=h =hMVcm注：1?因?yàn)樽睬虻臐L動(dòng)是以貫穿球心的軸而轉(zhuǎn)動(dòng)，所以其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為質(zhì)心）、2?力矩?丄一^,其中丁是轉(zhuǎn)動(dòng)軸到施力點(diǎn)的方向向量，如果只關(guān)心力矩的大小，則，二■" "1.■Y要達(dá)到全滾動(dòng)而不滑動(dòng)，則.［門八川，動(dòng)量的變化率最后必須全部轉(zhuǎn)變?yōu)?'」—：：?，瞬間達(dá)成。所以lx-卻吩匕最后，計(jì)算出廠■■■■的值:1?先計(jì)算空心球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:■" ""I" （球殼上的點(diǎn)到軸的距離）（均勻球殼，質(zhì)量與面積成正比）???1=fo吐伽=fo器吐刖=譬sir?OdO=_『；呼—cos20）deos&——里薯（ss0—|cos30）愣=魯MR"2?計(jì)算實(shí)心球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)球殼r,從0對(duì)球殼r,從0到R積分：'"二小打廠，而CRhi- —麗K Jctti 3jP 2T>所以 結(jié)論：球桿應(yīng)打在距球心高m處為最佳。☆補(bǔ)充：為何滾動(dòng)而不滑動(dòng)的時(shí)候會(huì)有廠J-,/;????滾動(dòng)而不滑動(dòng).1/ _於_R朋—???質(zhì)心的位移等于弧長(zhǎng) ?、用"，-1牛吃草問(wèn)題有一頭牛，被栓在一個(gè)半徑為r的木樁上（如下圖所示）繩子的一端被固定在A點(diǎn)，而牛能夠走到木樁的對(duì)面B。木樁的外部都是草地，請(qǐng)問(wèn)牛有辦法吃到多少草呢？解答：圖一

經(jīng)由觀察我們發(fā)現(xiàn)牛能吃到草的范圍如右圖的斜線部份（見(jiàn)圖二）。由題意知繩長(zhǎng)為.?「，而在.1點(diǎn)左邊的區(qū)域會(huì)是一個(gè)半圓。至于剩下的區(qū)域怎么求得呢？當(dāng)繩子被木樁"拌住"的時(shí)候（見(jiàn)圖三）。牛所達(dá)到的最遠(yuǎn)處為門，其中弧長(zhǎng)丄■■加直線長(zhǎng)廠廠為"?（繩子的長(zhǎng)度），而曲線即所有這種點(diǎn)所形成的軌跡。圖圖三圖圖三我們可以利用解析幾何將軌跡描述出來(lái)：取木樁的中心為原點(diǎn)3,令汀打與皿■■的夾角為0（如圖四），于是L點(diǎn)坐標(biāo)為riii"|,而R?一I是圓在L點(diǎn)上的切線段，所以待定，而R長(zhǎng)度要等于弧長(zhǎng)"「，于是「"，解得廠 「"，所以門點(diǎn)坐標(biāo)即確定：（rcosetrsin0）+r^（sinfl,-cos）=（r（cos+flsin刃，r（sin

我們可先計(jì)算圖五的斜線面積，它會(huì)是以下所表示的積分值：Area=f譏0)血(0)=f譏叭卅址)胡=—fr(sin0—ffcos0)?rffcost)dO=—r^［f7(^)(sin0-cos0)d6—Q儼cos20d0=一刊1)+⑵］ ^(1)=|『：(29)(Mn29)4(29)=|x-smxdx=—|聲沁(eose)=—l[x*cost呼一聲cosxdx]=—|(27r)=一】(其中「，宀.：為周期函數(shù)，故Hj'乩'門)%J/2/[%T3J337T7F7F吐嚴(yán))刖=-Q專儼瀏—討Sos2加0理易㈣%J/2/[%T3J337T7F7F吉［:以血御護(hù)—礦$in.：f；■2広血|診”cos①呼—LJ￡osg血］=_言疋—4??Area=討沁+六至此可得吃草的范圍=上下兩塊Area加上左半圓扣掉木樁面積二 (平方單位)補(bǔ)充：圖五中弧從稱為圓的漸伸線(involutes)對(duì)微積分學(xué)發(fā)展歷史的認(rèn)識(shí)早在幾千年前的古代科學(xué)家的腦海里，微積分的思想雛形便已出現(xiàn)。之后的幾千年中，在許多數(shù)學(xué)家的不懈努力下，微積分學(xué)的創(chuàng)立積累了愈加多的材料，基礎(chǔ)一步步奠定，終于在17世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。此后，微積分學(xué)定義嚴(yán)格化，有了較為完善的定義，接著不斷拓寬、深化,為我們展開(kāi)了一扇又一扇數(shù)學(xué)未知世界的大門。人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)永遠(yuǎn)不會(huì)止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著，人類認(rèn)識(shí)微積分的水平在不斷深化。在此期間，18世紀(jì)所發(fā)生的對(duì)微積分發(fā)明優(yōu)先權(quán)的長(zhǎng)時(shí)間爭(zhēng)論，毫無(wú)疑問(wèn)的成為我們注意力的焦點(diǎn)由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余，在提出誰(shuí)是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見(jiàn)，過(guò)于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。而其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開(kāi)發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。這一事件，讓我們認(rèn)識(shí)到了在學(xué)習(xí)、研究的進(jìn)程中，我們應(yīng)該更著眼于對(duì)知識(shí)理論的深挖掘，而非對(duì)榮譽(yù)名聲的追求，本著科學(xué)的精神不斷前進(jìn)。微積分學(xué)的重要性微積分是一門極為重要的數(shù)學(xué)工具，廣泛地應(yīng)用在生產(chǎn)生活中的每一個(gè)角落，微積分學(xué)實(shí)際應(yīng)用常涉及生活、生產(chǎn)、天文、地理、軍事等諸多方面的實(shí)際問(wèn)題，尤其在涉及動(dòng)態(tài)分析及微小量處理的問(wèn)題上有非常神奇的效果。微積分學(xué)在科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，來(lái)解決那些僅依靠代數(shù)學(xué)不能有效解決的問(wèn)題。微積分學(xué)在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)和解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)，并包括微分學(xué)、積分學(xué)兩大分支。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學(xué)基本定理指出，微分和積分互為逆運(yùn)算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點(diǎn)來(lái)討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會(huì)先被引入。在更深的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，微積分學(xué)通常被稱為分析學(xué)，并被定義為研究函數(shù)的科學(xué)。例題分析結(jié)論微積分學(xué)實(shí)際應(yīng)用的例題一般涉及到對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程的分析理解，對(duì)這類問(wèn)題，我們學(xué)要結(jié)合自己的生活常識(shí)和物理知識(shí)對(duì)整個(gè)過(guò)程作出清晰的認(rèn)識(shí)，再結(jié)合數(shù)學(xué)公式就能得到結(jié)果。有些時(shí)候在獲得結(jié)果之后還能反推回題目得到新的認(rèn)識(shí)，對(duì)整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程有更深刻的認(rèn)識(shí)理解。在物理學(xué)習(xí)過(guò)程中微積分是一個(gè)異常使用的工具。關(guān)于參加研究性學(xué)習(xí)體會(huì)在這次研究性活動(dòng)中，通過(guò)與同學(xué)們的通力合作，順利完成了這次學(xué)習(xí)。從中我感觸良多，并從中學(xué)到很多。首先，我負(fù)責(zé)的是資料收集以及部分例題的收集。期間，我閱讀了大量的書(shū)籍，及上網(wǎng)查閱了大量有關(guān)微積分和導(dǎo)數(shù)的資料。從中，我仿佛打開(kāi)了一個(gè)新世界的大門，一個(gè)微積分的世界。原來(lái)，微積分最早起源于中國(guó)，由孟子提出。然后再追溯到古希臘的阿基米德。這，可以說(shuō)是古代積分思想的起源。距今大約已經(jīng)有近30個(gè)世紀(jì)。可是，微積分思想現(xiàn)在也在不斷發(fā)展，人類對(duì)微積分的認(rèn)識(shí)也在不斷深化。微積分總體來(lái)說(shuō)，其實(shí)就是研究變化的學(xué)科，這門學(xué)科，可以在我們平時(shí)學(xué)習(xí)和日常生活中得到應(yīng)用。早在在高中物理開(kāi)始不久后的學(xué)習(xí)中，我們就接觸到了微積分的原型一一微元法。它幫助我們培養(yǎng)自身人文素養(yǎng)，增強(qiáng)自身的綜合素質(zhì)，可以為高中階段的歷史學(xué)習(xí)畫(huà)上圓滿的句號(hào)。其次，例題的收集也不是十分簡(jiǎn)單的，畢竟，不是每一道題都適合。期間，我們也做了大量的例題，變相相當(dāng)于為重新再?gòu)?fù)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。這是有好處的，也是有用的。其次，拋開(kāi)課題不說(shuō)，增加了我們的合作能力。以及培養(yǎng)了同學(xué)之間的純真友誼。豐富了我們高中生活的課余生活。這很有意義，也很有價(jià)值。使高中生活部再乏味和單調(diào)。相信，這次研究性學(xué)習(xí)將會(huì)給我們高中生活畫(huà)上濃重的一筆。數(shù)學(xué)心得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，種種發(fā)現(xiàn)無(wú)不使自然世界更神秘美麗。但不管怎么說(shuō)，就我看來(lái)其中對(duì)世界發(fā)展起到最大推動(dòng)作用的莫過(guò)于微積分的創(chuàng)立，其影響不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在物理學(xué)方面的貢獻(xiàn)也是不容忽視。說(shuō)到微積分，就不能不說(shuō)到牛頓和萊布尼茨，這次的數(shù)學(xué)課題以微積分為主題，追本溯源，我們感受到了前輩科學(xué)家們堅(jiān)持不懈、不斷探索的精神。研究不僅豐富了我們的知識(shí)，更加強(qiáng)了對(duì)微積分的理解，這對(duì)未來(lái)的學(xué)習(xí)將會(huì)有莫大的幫助！數(shù)學(xué)課題心得今年的數(shù)學(xué)課題是以對(duì)微分學(xué)、積分學(xué)的探究為主題的，而我作為數(shù)學(xué)組的一員，很高興與大家一起分享我的學(xué)習(xí)感悟。通過(guò)這一次的課題研究，我發(fā)現(xiàn)，微積分其實(shí)并不像想象的那么難，學(xué)習(xí)微積分要有一定的技巧，掌握了方法，解題就會(huì)很快了。從收集的例題，我們可以知道方法對(duì)微積分的學(xué)習(xí)是很重要的。并且，微積分與生活息息相關(guān)，我們?cè)谖锢?、化學(xué)等領(lǐng)域都會(huì)用到微積分。每一次課題的研究都是一種能力的提升，當(dāng)然，更重要的是我們要把所得到的啟示運(yùn)用到實(shí)處，這樣才會(huì)使研究更有意義！這一次的課題研究讓我受益匪淺，衷心地感謝學(xué)校對(duì)研究性學(xué)習(xí)的重視與支持！實(shí)踐活動(dòng)心得通過(guò)這次實(shí)踐活動(dòng)，我對(duì)微積分這一數(shù)學(xué)方法有了更深刻的認(rèn)識(shí)。微積分，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是把一個(gè)大事物分割成許多個(gè)小塊，分得越多，與原來(lái)事物的誤差就越小，最后加起來(lái)，誤差就可以忽略。這樣算出的結(jié)果與真實(shí)值相差微小，并且在現(xiàn)實(shí)生活中得以實(shí)踐，所以這種方法迅速發(fā)展，成為必不可少的方法之一。作為一個(gè)理科生，我也明白這種方法在學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要性。在物理中，通常把一個(gè)過(guò)程分割成無(wú)數(shù)個(gè)小步驟來(lái)計(jì)算。數(shù)學(xué)中。常常用微積分來(lái)求一個(gè)不規(guī)則對(duì)稱的物體的體積，這讓我從理論上該受到微積分的魅力。不僅在理論上，而且在生活中，微積分也有它的類似應(yīng)用。當(dāng)我們遇到困難，就把困難一步一步解決。要完成一項(xiàng)任務(wù)，而總的容易出錯(cuò)，我們就分塊來(lái)完成，這樣可以更加精確?？偟膩?lái)說(shuō)，這次實(shí)踐活動(dòng)加強(qiáng)了我的實(shí)踐能力，動(dòng)手能力，思考能力呵合作能力，是我與同學(xué)間的友情更加濃厚，同時(shí)我也了解到一些新知識(shí)，加深了對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。實(shí)踐活動(dòng)心得這次實(shí)踐活動(dòng)，我對(duì)微積分這一概念有了更深刻的認(rèn)識(shí)。真是不容易啊。微積分(Calculus)是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，它無(wú)論是在學(xué)習(xí)上還是生活中都給予了我們莫大的幫助。但在我看來(lái)，微積分的美妙不僅在于它廣泛的應(yīng)用范圍，還有它那巧妙的方法一一將曲線劃分為無(wú)數(shù)的區(qū)域，在將它們看成一個(gè)個(gè)的規(guī)則圖形計(jì)算。先微分，后積分，你可以認(rèn)為這是投機(jī)取巧，但你不得不承認(rèn)它的大膽與準(zhǔn)確。無(wú)可置疑，微積分對(duì)我們正在學(xué)習(xí)的物理，以及對(duì)我們將來(lái)或?qū)氖碌奶煳膶W(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等 工作上都會(huì)有相應(yīng)的地位，相信隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，微積分更將成為一個(gè)科學(xué)研究有力的助手，幫助人們解決未知的謎團(tuán)，把人類的文明進(jìn)一步加深。同時(shí)，生活中也可以發(fā)現(xiàn)微積分的影子：從街道上飛馳的汽車，到在飛往宇宙的飛船。微積分在無(wú)意之中改變了我們的生活，我們也在享受科學(xué)帶來(lái)的方便。這次活動(dòng)，在了解了新知識(shí)之外，是我們對(duì)科學(xué)的無(wú)盡的追求，在這之中，我也感受到了微積分背后那巨大的未向人們開(kāi)放的謎。但我相信，人類對(duì)科學(xué)探索的堅(jiān)持終會(huì)叩開(kāi)這扇大門，向我們展示一個(gè)別樣的數(shù)學(xué)世界。最后，對(duì)領(lǐng)導(dǎo)或參與了本次活動(dòng)的同學(xué)表示感謝，大家合作愉快！研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)心得這次研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，是我們的動(dòng)手能力和思維能力進(jìn)入了一個(gè)新的臺(tái)階。在這次活動(dòng)，我們解決了現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，使我們明確了我們的學(xué)習(xí)目的和學(xué)習(xí)動(dòng)力，檢驗(yàn)了我們的學(xué)習(xí)成果，我希望，這樣開(kāi)拓我們的眼界的研究性學(xué)習(xí)多半一點(diǎn)，多有深度一點(diǎn)。驅(qū)散迷霧__數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)心得初識(shí)微積分，頗有霧里看花之感。那還是剛高一的時(shí)候，在物理學(xué)習(xí)過(guò)程中開(kāi)始接觸到微元法。不得不說(shuō)微元法對(duì)邏輯行、基礎(chǔ)概念等都有較高要求，而且需要抽象思維，但這只是微積分的冰山一角，日后還將學(xué)習(xí)更為深?yuàn)W的理念、復(fù)雜多變的公式，這便是我之前所擔(dān)心的“霧”了。但如今，我們已完成了對(duì)導(dǎo)數(shù)、積分的課本知識(shí)學(xué)習(xí)，對(duì)微積分也有了基本認(rèn)識(shí)和了解，隱隱約約嗅到了花的芬芳。原來(lái)，微積分并不像表面看起來(lái)那么難，相反地，學(xué)習(xí)起來(lái)極具技巧性，許多同學(xué)都產(chǎn)生了濃厚的興趣。正因如此，今年的數(shù)學(xué)課題以對(duì)微分學(xué)、積分學(xué)的深入探究為主題，我很榮幸能作為數(shù)學(xué)組的一員并記錄下學(xué)習(xí)心得、感悟與大家分享。追本溯源，課題研究從微積分的歷史著手，不僅豐富了組員們的歷史知識(shí)，更在前人的總結(jié)、完善中汲取經(jīng)驗(yàn)，并學(xué)著去分析、推導(dǎo)，深化了對(duì)微分、積分的理解，而且