第四節(jié)不可數(shù)無(wú)窮集

第四節(jié)不可數(shù)無(wú)窮集第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一1不可數(shù)集的存在性(區(qū)間[0,1]是不可數(shù)集)[][][]01/32/31證明：假設(shè)［0,1］是可數(shù)集,則[0,1]可以寫成一個(gè)無(wú)窮序列的形式：第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一[][][]01/32/31第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一數(shù)的進(jìn)位制簡(jiǎn)介十進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]十等分二進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]二等分三進(jìn)制小數(shù)相應(yīng)于對(duì)[0,1]三等分說(shuō)明：對(duì)應(yīng)[0,1]十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如0.2000000…0.1999999…（十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù)第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一不可數(shù)集的存在性的另一種證明證明：假設(shè)（0,1）是可數(shù)集,則（0,1）可以寫成一個(gè)無(wú)窮序列的形式：把每個(gè)數(shù)寫成正規(guī)小數(shù)（不能以0為循環(huán)節(jié)）令x=0.a1a2a3a4…其中則得到矛盾，所以

(0,1)是不可數(shù)集。第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一定義：與[0,1]區(qū)間對(duì)等的集合稱為連續(xù)勢(shì)集，其勢(shì)記為，顯然：例：1）R~(0,1)~[0,1]~[0,1)~R+~<a,b>(a<b)2連續(xù)勢(shì)集的定義2）無(wú)理數(shù)集為連續(xù)勢(shì)集（無(wú)理數(shù)要比有理數(shù)多得多，同理超越數(shù)要比代數(shù)數(shù)多得多）第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一3連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（卡氏積）（1）有限個(gè)、可數(shù)個(gè)連續(xù)勢(shì)的卡氏積仍為連續(xù)勢(shì)集第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一1874年Cantor考慮R與Rn的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并企圖證明這兩個(gè)集合不可能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，過(guò)了三年，他證明了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是存在的，從而說(shuō)明Rn具有連續(xù)基數(shù)，他當(dāng)初寫信給Dedekind說(shuō)：“我看到了它，但我簡(jiǎn)直不能相信它”.推論平面與直線有“相同多”的點(diǎn)第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一連續(xù)勢(shì)集的性質(zhì)（并集）連續(xù)勢(shì)集的（有限個(gè)，可數(shù)個(gè)，連續(xù)勢(shì)個(gè)）并仍為連續(xù)勢(shì)集(](](]012n-1n(](](]012n-1ny第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一4無(wú)最大勢(shì)定理從而說(shuō)明無(wú)限也是分很多層次，且不存在最大的集合.第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一此證為對(duì)角線方法，與(0,1)是不可數(shù)集的證明比較。第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一

盡管Cantor在1883年就證明了這個(gè)定理，但直到1899年Cantor才發(fā)現(xiàn)，這個(gè)定理本身與他給出的集合的定義有矛盾，即所謂的Cantor的最大基數(shù)悖論.因此Cantor在1899年給Dedekind的一封信中曾指出,人們要想不陷于矛盾的話,就不能談?wù)撚梢磺屑纤M成的集合.集合悖論第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一證明：由于N的子集全體與特征函數(shù)全體存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故2N

與{0,1}N對(duì)等；下證：說(shuō)明：相當(dāng)于把對(duì)應(yīng)到一個(gè)三進(jìn)制小數(shù)5可數(shù)勢(shì)與連續(xù)勢(shì)思考：為什么不用二進(jìn)制。N上的特征函數(shù)全體第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一

Hilbert在1900年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上將它列為二十三個(gè)難題的第一個(gè)問(wèn)題。注記：從前面我們已經(jīng)看到：Cantor認(rèn)為在之間不存在別的基數(shù)，即不存在這樣的集合A,使得但Cantor證明不了,這就是著名的Cantor連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一在Zermelo-Frankel公理集合論體系下參見(jiàn)：《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》張景中，《數(shù)理邏輯概貌》莫紹揆ZF公理集合論體系下的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)1940年Godel證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的相容性（即不能證明它不真）；1962年Stanford大學(xué)的P.J.Cohen證明了它的獨(dú)立性（即不能用其他公理證明它真）；第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一6基數(shù)的運(yùn)算第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)一些記號(hào)的說(shuō)明思考：如何推廣不可數(shù)個(gè)集合的卡氏積？第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五節(jié)半序集第一章集合主講：胡努春第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一1半序集數(shù)學(xué)三大母結(jié)構(gòu)（Bourbaki學(xué)派觀點(diǎn)）：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰近關(guān)系），代數(shù)結(jié)構(gòu)（運(yùn)算關(guān)系），序結(jié)構(gòu)（順序關(guān)系）（測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、體積））例：對(duì)實(shí)數(shù)集R有遠(yuǎn)近關(guān)系，四則運(yùn)算，大小順序，區(qū)間有長(zhǎng)度第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一半序集定義⑴自反性:

⑵反對(duì)稱性:

⑶傳遞性:則稱A按成一半序集（偏序集）。設(shè)A是一集合，為A中的某些元素的關(guān)系且滿足:第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一例

⑴是一半序集.⑵是一半序集.

第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一2Zorn引理與選擇公理Zorn引理：設(shè)是一偏序集，A中的每個(gè)全序子集有上界，則A必有極大元。選擇公理：設(shè)為一簇兩兩不交的非空集簇，則存在一集B使得是單元素集。第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)選擇公理的說(shuō)明利用選擇公理，Banach在1924年證明了分球定理，即一個(gè)閉球U可分解成兩個(gè)互不相交的集合A，B且U與A可由相同多的有限多個(gè)互相合同的子集并成，U與B可由相同多的有限多個(gè)互相合同的子集并成；粗略來(lái)說(shuō)即可把一個(gè)球U分解成兩個(gè)與U具有同樣體積的球A和B。

（見(jiàn)：王世強(qiáng)《數(shù)理邏輯與范疇論應(yīng)用》）第二十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一選擇公理的說(shuō)明通俗講，假如有無(wú)限雙鞋子，則我們有一規(guī)則，從每雙鞋子中取出左腳穿的鞋子，其總體構(gòu)成一集合；但若是無(wú)限雙襪子，由于襪子不分左右