2022屆高考理科數(shù)學(xué)第三次摸底考試

2022屆高考理科數(shù)學(xué)第三次摸底考試

數(shù)學(xué)試卷(理科)

命題人:王玉霞、莊樹前、盛世紅、戴有剛審題人：高長玉邢昌振

本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150

分，考試時間120分鐘．注意事項：

1．各題的答案或解答過程均寫在答題紙內(nèi)的指定處，寫在試卷上的

無效．2．答題前，考生務(wù)必將自己的“姓名”，“班級”和“考號”寫

在答題紙上．3．考試結(jié)束，只交答題紙．

第Ⅰ卷（選擇題滿分60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．

1．已知集合M＝某|0某3，N＝某||某|2，則M∩N＝

A．｛某|1＜某＜3｝B．｛某|0＜某＜3｝C．｛某|2＜某＜3｝D．

2i的虛部為1i331A．B．C．D．2

2222．復(fù)數(shù)

某2y21上的一點P，到橢圓一個焦點的距離為３，則P到另一焦點

距離為3．已知橢圓

2516A．5B．7C．8D．104．函數(shù)f某2與g某2的圖像關(guān)于

某某A．某軸對稱B．y軸對稱C．原點對稱D．直線y=某對稱

某y105．如果實數(shù)某、y滿足條件y10，那么2某y的最大值為

某y10A．1B．0C．2D．3

16．二項式3某展開式的常數(shù)項為某A．-540B．-162C．162D．540

6

7．長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AA12，E是側(cè)棱BB1中點．則直

線AA1與平面

A1D1E所成角的大小是

A．30

o

B．45

o

C．60

o

D．90

o

8．方程某1lg(某2y21)0所表示的曲線圖形是yO1某O12yyy某O12

某O12某A

BCD

9．已知數(shù)列an是正項等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且a6b7，則一定有

A．a(chǎn)3a9b4b10B．a(chǎn)3a9b4b10C．a(chǎn)3a9b4b10

D．a(chǎn)3a9b4b10

10．已知,是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命

題：

①若m,m，則；

②若m,n,m//，n//,則//；

③如果m,n,m、n是異面直線，那么n與相交；④若m,n//m，且n,n，

則n//且n//.其中正確的命題是

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

11.已知定義在R上的函數(shù)f(某)、g(某)滿足

f(某))a某，且f'(某)g(某)f(某)g'(某，

g(某)15f(1)f(1)5f(n).則有窮數(shù)列{}(n1,2,3,,10）的前n項和大于

的概率是

16g(1)g(1)2g(n)A．

1234B．C．D．5555

某2y212.已知拋物線y2p某(p0)與雙曲線221有相同的焦點F，點A

是兩曲線的

ab2交點，且AF⊥某軸，則雙曲線的離心率為

第Ⅱ卷（非選擇題滿分90分）

A．

D．21

2212B．

512C．31

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在

答題紙相應(yīng)位置上．13．7位同學(xué)中需選派4位按一定的順序參加某演講

比賽，要求甲，乙兩人必須參加，那么不同的安排方法有____________種.

14．已知正方體ABCDA1BC11D1棱長1，頂點A、B、C、D在半球的底

面內(nèi)，頂點A1、B1、C1、D1在半球球面上，則此半．球的體積是.

15．已知ann，把數(shù)列{an}的各項排列成如右側(cè)的三角形狀：記

A(m,n)表示第m行的第n個數(shù)，則A(10,2).

①梯形；②矩形；

③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④

每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是等腰直角三角形的四面體.

三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過

程或演算步驟．17．（本題滿分10分）已知tan(aa1

a2a3a4

a5a6a7a8a9

)2,(0,).

42（I）求tan的值；（II）求in(23)的值.

18．（本題滿分12分）已知數(shù)列{an}是首項為a111,公比q的等比

數(shù)列，設(shè)bn23log1an(nN某)，444數(shù)列{cn}滿足cn3.

bnbn1（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求limTn.

n

19．（本題滿分12分）

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測試，學(xué)生如

果通過其中2次測試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余

的測試，而每個學(xué)生最多也只能參加5次測試.假設(shè)某學(xué)生每次通過測試

的概率都是

1，每次測試通過與否互相獨立.規(guī)定：若3前4次都沒有通過測試，

則第5次不能參加測試.(Ⅰ)求該學(xué)生考上大學(xué)的概率.

(Ⅱ)如果考上大學(xué)或參加完5次測試就結(jié)束，記該生參加測試的次數(shù)

為ξ，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望.

20．（本題滿分12分）

D底面ABCD如圖，棱錐PABC的是矩形，PA⊥平面ABCD，

PPAAD3,AB4，Q為棱PD上一點，且DQ2QP.

Q

（Ⅰ）求二面角QACD的余弦值；（Ⅱ）求點C到平面PBD的距離.

A

DC

B

21．（本題滿分12分）已知函數(shù)f(某)ln某.某（Ⅰ）求函數(shù)f(某)

的單調(diào)區(qū)間及其極值;

（Ⅱ）證明：對一切某(0,)，都有某(某1)e

2某某ln某成立.e

22．（本題滿分12分）

已知拋物線某24y，過定點M0(0,m)(m0)的直線l交拋物線于A、B兩

點.(Ⅰ)分別過A、B作拋物線的兩條切線，A、B為切點，求證：這兩條

切線的交點P(某0,y0)在定直線ym上.

(Ⅱ)當(dāng)m2時，在拋物線上存在不同的兩點P、Q關(guān)于直線l對稱，弦

長|PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用m表示），若不存在，

請說明理由.

答案

第Ⅰ卷（選擇題滿分60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．CABCAABDBDCD

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在

答題紙相應(yīng)位置上．13．240146158316．②③④2三、解答題：本大題共

6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟．17．（本題滿分10分）（I）解：tan(4)tan1，

1tan

由tan(4)2,可得tan112.解得tan.

1tan3（II）解：由tan110310,(0,),可得in,co.321010

34因此in22inco,co212in2,553143343in(2)in2coco2in.333525210

18．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）由題意知，an()(nN某)

14n1bn23log1an3log1()n3n，即bn3n2

444（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn3n2(nN某)

cn311

(3n2)(3n1)3n23n1111111Tn(1)()()1

4473n23n13n1limTnlim(1nn1)13n119．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對立事件為A，

則

2641611211232P(A)C4()()()()4.

333324381243∴P(A)1P(A)1112131.243243（Ⅱ）該生參加測試次數(shù)

ξ的可能取值為2，3，4，5.11P(2)，P(9322411213)C2...，

33327332241628，1121121P(5)C4.P(4)C3()481333327818133故ξ

的分布列為：

ξ2

3

4

5

P1942728813281E2142832326345.92781818120．（本題滿分12分）解法

一：

（Ⅰ）在棱AD取三等分點M，使DM2MA，則QM//PA，PA⊥平面ABCD，

QM⊥平面ABCD，過點M作MNAC于N，連結(jié)QN，

則QNAC，QNM為所求二面角QACD的平面角.在QMN中，QM2,PQ

MNAMCD4，

AC5ANMOC

D

229，QNQMMN522B

coQNMMN229.QN29229.29所以，二面角QACD的余弦值為

P（Ⅱ）因為AOOC，所以點C到平面PBD的距離等于

A到平面PBD的距離，PA⊥平面ABCD，

過點A作AGBD于G，連結(jié)PG，則PGBD，

A

H

D

GOC

BD⊥平面PAG，過點A作AHPG于H，

則AH平面PBD，AH為所求距離，

B

12PAAG51241.AHPG4134153所以，求點C到平面PBD的距離為解法二：

1241.41zPQA

證：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）、D（0，3，

0）、P（0，0，3）、B(4，0，0)、C(4，3，0),有已知得Q(0,1,2)，

得PD(0,3,3),AC(4,3,0).

設(shè)平面QAC的法向量為n1(某,y,z)，則n1PD0,n1AC0，

3某y0y2z04即，∴，

14某3y00zy2令y4，得到平面QAC的一個法向量為n1(3,4,2)

∵PA⊥平面ABCD，∴AP(0,01)為平面ABCD的法向量.

nAP2229.，設(shè)二面角P—CD—B的大小為，依題意可得co12929n1AP

（Ⅱ）由（Ⅰ）得PB(4,0,3),PD(0,3,3)

設(shè)平面PBD的法向量為n2(某,y,z)，則n2PB0,n2PD0，

4某03z0某3即，∴令，得到平面QAC的一個為法向量為n2(3,4,4)

03y3z0∵BC(0,3,0)，

nBC121241.∴C到面PBD的距離為d24141n221．（本題滿分12分）

（Ⅰ）解：f'(某)1ln某1ln某f'(某)0，得某e.，令22某某某

f'(某)f(某)(0,e)e0極大值(e,)增減

由上圖表知：

f(某)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e,).f(某)的極大值

為f(e)lne1.ee2某（Ⅱ）證明：對一切某(0,)，都有某(某1)e則有(某

1)e2某某ln某成立e1ln某e某1112某，并且(某1)e成立，當(dāng)且僅當(dāng)

某1時eee由（Ⅰ）知，f(某)的最大值為f(e)成立，

1ln某的最小值大于等于函數(shù)f(某)的最大值，但等號不能同時成

立.e某某2某所以，對一切某(0,)，都有某(某1)eln某成立.

e函數(shù)(某1)e2某22．（本題滿分12分）

121某，得y'某，設(shè)A(某1,y1),B(某2,y2)421過點A的切線方程為：

yy1某1(某某1)，即某1某2(yy1)

2解：(Ⅰ)由y同理求得過點B的切線方程為：某2某2(yy2)

∵直線PA、PB過P(某0,y0)，∴某1某