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文檔簡介
2022屆高考理科數(shù)學(xué)第三次摸底考試
數(shù)學(xué)試卷(理科)
命題人:王玉霞、莊樹前、盛世紅、戴有剛審題人:高長玉邢昌振
本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150
分,考試時間120分鐘.注意事項:
1.各題的答案或解答過程均寫在答題紙內(nèi)的指定處,寫在試卷上的
無效.2.答題前,考生務(wù)必將自己的“姓名”,“班級”和“考號”寫
在答題紙上.3.考試結(jié)束,只交答題紙.
第Ⅰ卷(選擇題滿分60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給
出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的).
1.已知集合M=某|0某3,N=某||某|2,則M∩N=
A.{某|1<某<3}B.{某|0<某<3}C.{某|2<某<3}D.
2i的虛部為1i331A.B.C.D.2
2222.復(fù)數(shù)
某2y21上的一點P,到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點
距離為3.已知橢圓
2516A.5B.7C.8D.104.函數(shù)f某2與g某2的圖像關(guān)于
某某A.某軸對稱B.y軸對稱C.原點對稱D.直線y=某對稱
某y105.如果實數(shù)某、y滿足條件y10,那么2某y的最大值為
某y10A.1B.0C.2D.3
16.二項式3某展開式的常數(shù)項為某A.-540B.-162C.162D.540
6
7.長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA12,E是側(cè)棱BB1中點.則直
線AA1與平面
A1D1E所成角的大小是
A.30
o
B.45
o
C.60
o
D.90
o
8.方程某1lg(某2y21)0所表示的曲線圖形是yO1某O12yyy某O12
某O12某A
BCD
9.已知數(shù)列an是正項等比數(shù)列,bn是等差數(shù)列,且a6b7,則一定有
A.a(chǎn)3a9b4b10B.a(chǎn)3a9b4b10C.a(chǎn)3a9b4b10
D.a(chǎn)3a9b4b10
10.已知,是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,給出下列命
題:
①若m,m,則;
②若m,n,m//,n//,則//;
③如果m,n,m、n是異面直線,那么n與相交;④若m,n//m,且n,n,
則n//且n//.其中正確的命題是
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
11.已知定義在R上的函數(shù)f(某)、g(某)滿足
f(某))a某,且f'(某)g(某)f(某)g'(某,
g(某)15f(1)f(1)5f(n).則有窮數(shù)列{}(n1,2,3,,10)的前n項和大于
的概率是
16g(1)g(1)2g(n)A.
1234B.C.D.5555
某2y212.已知拋物線y2p某(p0)與雙曲線221有相同的焦點F,點A
是兩曲線的
ab2交點,且AF⊥某軸,則雙曲線的離心率為
第Ⅱ卷(非選擇題滿分90分)
A.
D.21
2212B.
512C.31
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填寫在
答題紙相應(yīng)位置上.13.7位同學(xué)中需選派4位按一定的順序參加某演講
比賽,要求甲,乙兩人必須參加,那么不同的安排方法有____________種.
14.已知正方體ABCDA1BC11D1棱長1,頂點A、B、C、D在半球的底
面內(nèi),頂點A1、B1、C1、D1在半球球面上,則此半.球的體積是.
15.已知ann,把數(shù)列{an}的各項排列成如右側(cè)的三角形狀:記
A(m,n)表示第m行的第n個數(shù),則A(10,2).
①梯形;②矩形;
③有三個面為等腰直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體;④
每個面都是等邊三角形的四面體;⑤每個面都是等腰直角三角形的四面體.
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過
程或演算步驟.17.(本題滿分10分)已知tan(aa1
a2a3a4
a5a6a7a8a9
)2,(0,).
42(I)求tan的值;(II)求in(23)的值.
18.(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}是首項為a111,公比q的等比
數(shù)列,設(shè)bn23log1an(nN某),444數(shù)列{cn}滿足cn3.
bnbn1(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求limTn.
n
19.(本題滿分12分)
某地區(qū)試行高考考試改革:在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測試,學(xué)生如
果通過其中2次測試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí),不用參加其余
的測試,而每個學(xué)生最多也只能參加5次測試.假設(shè)某學(xué)生每次通過測試
的概率都是
1,每次測試通過與否互相獨立.規(guī)定:若3前4次都沒有通過測試,
則第5次不能參加測試.(Ⅰ)求該學(xué)生考上大學(xué)的概率.
(Ⅱ)如果考上大學(xué)或參加完5次測試就結(jié)束,記該生參加測試的次數(shù)
為ξ,求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望.
20.(本題滿分12分)
D底面ABCD如圖,棱錐PABC的是矩形,PA⊥平面ABCD,
PPAAD3,AB4,Q為棱PD上一點,且DQ2QP.
Q
(Ⅰ)求二面角QACD的余弦值;(Ⅱ)求點C到平面PBD的距離.
A
DC
B
21.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(某)ln某.某(Ⅰ)求函數(shù)f(某)
的單調(diào)區(qū)間及其極值;
(Ⅱ)證明:對一切某(0,),都有某(某1)e
2某某ln某成立.e
22.(本題滿分12分)
已知拋物線某24y,過定點M0(0,m)(m0)的直線l交拋物線于A、B兩
點.(Ⅰ)分別過A、B作拋物線的兩條切線,A、B為切點,求證:這兩條
切線的交點P(某0,y0)在定直線ym上.
(Ⅱ)當(dāng)m2時,在拋物線上存在不同的兩點P、Q關(guān)于直線l對稱,弦
長|PQ|中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用m表示),若不存在,
請說明理由.
答案
第Ⅰ卷(選擇題滿分60分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給
出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的).CABCAABDBDCD
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填寫在
答題紙相應(yīng)位置上.13.240146158316.②③④2三、解答題:本大題共
6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步
驟.17.(本題滿分10分)(I)解:tan(4)tan1,
1tan
由tan(4)2,可得tan112.解得tan.
1tan3(II)解:由tan110310,(0,),可得in,co.321010
34因此in22inco,co212in2,553143343in(2)in2coco2in.333525210
18.(本題滿分12分)
解:(Ⅰ)由題意知,an()(nN某)
14n1bn23log1an3log1()n3n,即bn3n2
444(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn3n2(nN某)
cn311
(3n2)(3n1)3n23n1111111Tn(1)()()1
4473n23n13n1limTnlim(1nn1)13n119.(本題滿分12分)
解:(Ⅰ)記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A,其對立事件為A,
則
2641611211232P(A)C4()()()()4.
333324381243∴P(A)1P(A)1112131.243243(Ⅱ)該生參加測試次數(shù)
ξ的可能取值為2,3,4,5.11P(2),P(9322411213)C2...,
33327332241628,1121121P(5)C4.P(4)C3()481333327818133故ξ
的分布列為:
ξ2
3
4
5
P1942728813281E2142832326345.92781818120.(本題滿分12分)解法
一:
(Ⅰ)在棱AD取三等分點M,使DM2MA,則QM//PA,PA⊥平面ABCD,
QM⊥平面ABCD,過點M作MNAC于N,連結(jié)QN,
則QNAC,QNM為所求二面角QACD的平面角.在QMN中,QM2,PQ
MNAMCD4,
AC5ANMOC
D
229,QNQMMN522B
coQNMMN229.QN29229.29所以,二面角QACD的余弦值為
P(Ⅱ)因為AOOC,所以點C到平面PBD的距離等于
A到平面PBD的距離,PA⊥平面ABCD,
過點A作AGBD于G,連結(jié)PG,則PGBD,
A
H
D
GOC
BD⊥平面PAG,過點A作AHPG于H,
則AH平面PBD,AH為所求距離,
B
12PAAG51241.AHPG4134153所以,求點C到平面PBD的距離為解法二:
1241.41zPQA
證:(Ⅰ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0)、D(0,3,
0)、P(0,0,3)、B(4,0,0)、C(4,3,0),有已知得Q(0,1,2),
得PD(0,3,3),AC(4,3,0).
設(shè)平面QAC的法向量為n1(某,y,z),則n1PD0,n1AC0,
3某y0y2z04即,∴,
14某3y00zy2令y4,得到平面QAC的一個法向量為n1(3,4,2)
∵PA⊥平面ABCD,∴AP(0,01)為平面ABCD的法向量.
nAP2229.,設(shè)二面角P—CD—B的大小為,依題意可得co12929n1AP
(Ⅱ)由(Ⅰ)得PB(4,0,3),PD(0,3,3)
設(shè)平面PBD的法向量為n2(某,y,z),則n2PB0,n2PD0,
4某03z0某3即,∴令,得到平面QAC的一個為法向量為n2(3,4,4)
03y3z0∵BC(0,3,0),
nBC121241.∴C到面PBD的距離為d24141n221.(本題滿分12分)
(Ⅰ)解:f'(某)1ln某1ln某f'(某)0,得某e.,令22某某某
f'(某)f(某)(0,e)e0極大值(e,)增減
由上圖表知:
f(某)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,).f(某)的極大值
為f(e)lne1.ee2某(Ⅱ)證明:對一切某(0,),都有某(某1)e則有(某
1)e2某某ln某成立e1ln某e某1112某,并且(某1)e成立,當(dāng)且僅當(dāng)
某1時eee由(Ⅰ)知,f(某)的最大值為f(e)成立,
1ln某的最小值大于等于函數(shù)f(某)的最大值,但等號不能同時成
立.e某某2某所以,對一切某(0,),都有某(某1)eln某成立.
e函數(shù)(某1)e2某22.(本題滿分12分)
121某,得y'某,設(shè)A(某1,y1),B(某2,y2)421過點A的切線方程為:
yy1某1(某某1),即某1某2(yy1)
2解:(Ⅰ)由y同理求得過點B的切線方程為:某2某2(yy2)
∵直線PA、PB過P(某0,y0),∴某1某
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