內(nèi)蒙古赤峰市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次11月考文科試題含解析

Page15內(nèi)蒙古赤峰市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次11月考文科試題一、單選題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分)1.已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3 C.9 D.25【答案】A【解析】【分析】由題意可得焦點(diǎn)在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，∴，∴，故選：A2.已知雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，直接求出漸近線方程作答.【詳解】依題意，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，實(shí)半軸長，虛半軸長，所以雙曲線的漸近線方程是.故選：C3.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程可知值，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到值，即可求出代入離心率公式求解.【詳解】由已知可得，，則，所以，則離心率．故選：C.4.若直線：與：互相平行，則a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，互相平行；當(dāng)時(shí)，直線：，：，重合；所以，故選：A5.直線與圓相切，則值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓心到直線距離等于半徑可得．【詳解】由題意圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以，解得．故選：D．6.若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點(diǎn)代入圓列不等式即可.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：把原點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程得:,解得：,故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7.方程表示橢圓，則的取值范圍是（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓的特征可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得且，則的取值范圍是或.故選：B.8.定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線.以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論不正確的是（）A.與（，）共軛的雙曲線是（，）B.互為共軛的雙曲線漸近線不相同C.互為共軛的雙曲線的離心率、，則D.互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上【答案】B【解析】【分析】由共軛雙曲線的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用雙曲線的漸近線方程可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用雙曲線的離心率公式以及基本不等式可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出兩雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及圓的方程，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由共軛雙曲線的定義可知，與共軛的雙曲線是，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，這四個(gè)焦點(diǎn)都在圓上，D正確.故選：B.9.已知雙曲線C：的焦點(diǎn)F到漸近線的距離與頂點(diǎn)A到漸近線的距離之比為3：1，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形，直接得到，計(jì)算漸近線的斜率.【詳解】如圖，可知焦點(diǎn)F到漸近線的距離與頂點(diǎn)A到漸近線的距離之比為3：1，即，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.10.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意得到，然后利用余弦定理求得，接著求，最后利用三角形面積公式即可得到答案【詳解】由橢圓可得，所以，，所以，所以在中，，因?yàn)?，且，所以，設(shè)的坐標(biāo)為，且，所以，所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為，故選：C11.雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求得，再根據(jù)離心率公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得的離心率【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，得，則，得，，故選：C12.已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為10，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解.【詳解】，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)軸時(shí)，有最小值，此時(shí)的最大值為10，此時(shí)在中，令則，所以，所以的值是.故選:D.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分)13.已知焦點(diǎn)在軸上雙曲線，其漸近線方程為，半焦距，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程可得，又，可得與的值，進(jìn)而可得雙曲線方程.【詳解】由題可設(shè)雙曲線方程為，由漸近線方程為，可得，，又因?yàn)?，即，解得，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.14.已知平面上動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為__．【答案】【解析】【分析】利用橢圓的定義求解軌跡方程.【詳解】平面上動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之和等于，滿足橢圓的定義，可得，，則，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，故答案為：.15.已知直線：，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最大距離為______.【答案】【解析】【分析】求得圓心到直線的距離為，再結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，圓：的圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線：的距離為所以點(diǎn)到直線的最大距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則由點(diǎn)向圓所作的切線的長的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱，可知直線過圓心，得到；切線長為，當(dāng)最小時(shí)，切線長最??；利用兩點(diǎn)間距離公式將表示為關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)求得最小值，進(jìn)而求得切線長的最小值.【詳解】由題意知，直線過圓心，即當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離最小時(shí)，切線長最小當(dāng)時(shí)，最小，即切線長最小此時(shí)，切線長最小值為：【點(diǎn)睛】本題考查切線長的最值的求解問題，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求解點(diǎn)到圓心距離的最小值的問題.三、解答題(共70分)17.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸經(jīng)過兩點(diǎn)，；（2）過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接設(shè)橢圓的一般式，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求解方程即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意可設(shè)所求的橢圓方程為，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為則，解得故橢圓方程為【小問2詳解】由已知橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則可設(shè)所求的橢圓方程為:，（其中）代入點(diǎn)，解得，所以所求橢圓方程為:18.在中，角所對(duì)的邊分別是，已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得，利用正弦定理邊化角求得，即可求得答案；（2）利用余弦定理求得，根據(jù)三角形面積公式求得答案.【小問1詳解】由于，，則．因?yàn)橛烧叶ɡ碇?，則,因?yàn)?，，所以?故；小問2詳解】因?yàn)?，，由余弦定理，得，即，解得（?fù)值舍去），而，所以的面積.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意得到，結(jié)合和的關(guān)系和等比數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可求解.【詳解】（1）由題意，點(diǎn)在直線上，可得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，又由當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，可得，所以，兩式相減得，所以.20.在矩形中，將沿其對(duì)角線折起來得到，且頂點(diǎn)在平面上的射影恰好落在邊上（如圖所示）.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若，，求三棱錐的體積.【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）【解析】【詳解】試題分析：(1)要證線面垂直,需證，；(2)根據(jù)體積公式,由已知,容易求得的面積,而高即為,又易證為直角,則斜邊上的高可求,則體積迎刃而解.試題解析：（Ⅰ）平面，平面，,又，,.而,又，且=，.（Ⅱ）由于，，所以.

在中，.由得,所以21.已知雙曲線的實(shí)軸長為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使（O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）＝1（2）t＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)【解析】【分析】（1）易知a＝2，再根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，得到b2＝3求解；（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，根據(jù)，得到x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理利用向量共線求解【小問1詳解】由題意知a＝2，所以一條漸近線方程為y＝，因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，所以b2＝3．所以雙曲線的方程為＝1．【小問2詳解】設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，因?yàn)椋詘1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得x2－16，則x1＋x2＝，y1＋y2＝12．所以，解得，由＝t，得，所以t＝4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)．22.已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且橢圓C的焦距、雙曲線E的實(shí)軸長、雙曲線E的焦距依次構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線E的虛軸的上端點(diǎn)為，問是否存在過點(diǎn)的直線交橢圓C于兩點(diǎn)，使得以為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出此時(shí)直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，或.【解析】【分析】（1）將已知雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式求得離心率，結(jié)合橢圓中的基本量關(guān)系和已知條件，求得橢圓的半長軸和半短軸，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先排除直線l斜率不存在的情形，然后設(shè)出直線的斜率，寫出方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式求得k的取值范圍，利用韋達(dá)定理和向量的垂直的條件得到關(guān)于k的方程，求解并驗(yàn)證是否滿足上面求出的范圍即可.【詳解】解：（