第50節(jié)：解答題難題突破二(九年級數(shù)學專項總復習)課件

考點梳理課前預(yù)習第50講解答題難題突破二課堂精講廣東中考1.⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過

的中點P作⊙O的直徑PG交弦BC于點D，連接AG、CP、PB．

（1）如圖1，若D是線段OP的中點，求∠BAC的度數(shù)；

（2）如圖2，在DG上取一點K，使DK=DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；

（3）如圖3，取CP的中點E，連接ED并延長ED交AB于點H，連接PH，求證：PH⊥AB．廣東中考【考點】圓的綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）由垂徑定理得出PG⊥BC，CD=BD，再由三角函數(shù)求出∠BOD=60°，證出AC∥PG，得出同位角相等即可；

（2）先由SAS證明△PDB≌△CDK，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD，證出AG=CK，再證明AG∥CK，即可得出結(jié)論；

（3）先證出DH∥AG，得出∠OAG=∠OHD，再證OD=OH，由SAS證明△OBD≌△HOP，得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出結(jié)論．廣東中考【解答】（1）解：∵點P為的中點，AB為⊙O直徑，

∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，

∴∠ODB=90°，

∵D為OP的中點，

∴OD=OP=OB，

∴cos∠BOD=

∴∠BOD=60°，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ODB，

∴AC∥PG，

∴∠BAC=∠BOD=60°；廣東中考（2）證明：由（1）知，CD=BD，

在△PDB和△CDK中，

∴△PDB≌△CDK（SAS），

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，

∵∠AOG=∠BOP，

∴AG=BP，

∴AG=CK，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

又∵∠G=∠OBP，

∴AG∥CK，

∴四邊形AGCK是平行四邊形；廣東中考（3）證明：∵CE=PE，CD=BD，

∴DE∥PB，

即DH∥PB

∵∠G=∠OPB，

∴PB∥AG，

∴DH∥AG，

∴∠OAG=∠OHD，

∵OA=OG，

∴∠OAG=∠G，

∴∠ODH=∠OHD，

∴OD=OH，

在△OBD和△HOP中，

∴△OBD≌△HOP（SAS），

∴∠OHP=∠ODB=90°，

∴PH⊥AB．【點評】本題是圓的綜合題目，考查了垂徑定理、圓周角定理、平行線的判定、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要通過證明平行線得出角相等，再進一步證明三角形全等才能得出結(jié)論．廣東中考2.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙O于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線DE交BC的延長線于F點，連接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長；（結(jié)果保留π）

（2）求證：OD=OE；

（3）求證：PF是⊙O的切線．【考點】切線的判定；弧長的計算．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)弧長計算公式l=進行計算即可；

（2）證明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）連接AP，PC，證出PC為EF的中垂線，再利用△CEP∽△CAP找出角的關(guān)系求解．廣東中考【解答】（1）解：∵AC=12，

∴CO=6，

∴=2π；

答：劣弧PC的長為：2π．

（2）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO；廣東中考（3）證明：如圖，連接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（2）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直徑，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，廣東中考∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC為EF的中垂線，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切線．【點評】本題主要考查了切線的判定，解題的關(guān)鍵是適當?shù)淖鞒鲚o助線，準確的找出角的關(guān)系．廣東中考3.如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．

（1）求證：∠BCA=∠BAD；

（2）求DE的長；

（3）求證：BE是⊙O的切線．【考點】切線的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論；

（2）判斷△BED∽△CBA，利用對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長度．

（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷BE⊥OB，可得出結(jié)論．廣東中考【解答】（1）證明：∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），

∴∠BCA=∠BAD．

（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，

∴，即，

解得：DE=．廣東中考（3）證明：連結(jié)OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴BE是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識，綜合考查的知識點較多，解答本題要求同學們熟練掌握一些定理的內(nèi)容．廣東中考1.（2015?深圳）如圖1，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，AB=BC=6cm，OD=3cm，開始的時候BD=1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動．（1）當B與O重合的時候，求三角板運動的時間；（2）如圖2，當AC與半圓相切時，求AD；（3）如圖3，當AB和DE重合時，求證：CF2=CG?CE．強化訓練考點：圓的綜合題．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)題意得出BO的長，再利用路程除以速度得出時間；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和判定結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出AO的長，進而求出答案；（3）利用圓周角定理以及切線的性質(zhì)定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，進而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．強化訓練解答：（1）解：由題意可得：BO=4cm，t==2（s）；（2）解：如圖2，連接O與切點H，則OH⊥AC，又∵∠A=45°，∴AO=OH=3cm，∴AD=AO﹣DO=（3﹣3）cm；強化訓練（3）證明：如圖3，連接EF，∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，∵DE為直徑，∴∠ODF+∠DEF=90°，∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，又∵∠FCG=∠ECF，∴△CFG∽△CEF，∴=，∴CF2=CG?CE．點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出△CFG∽△CEF是解題關(guān)鍵．

強化訓練2.（2015?南寧）如圖，AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且AC=CG，過點C的直線CD⊥BG于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若，求∠E的度數(shù)．（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長．強化訓練考點：圓的綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）如圖1，連接OC，AC，CG，由圓周角定理得到∠ABC=∠CBG，根據(jù)同圓的半徑相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OCB=∠CBG，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BG，即可得到結(jié)論；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）如圖2，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===．強化訓練解答：（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；強化訓練（2）解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，∴，∴，∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；強化訓練（3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H，∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=EBD=30°，∵CD=，∴BD=3，DE=3，BE=6，∴AE=BE=2，∴AH=1，∴EH=，∴DH=2，在Rt△DAH中，AD===．點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．強化訓練3.（2015?成都）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相較于點D，E，F(xiàn)，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，F(xiàn)H．（1）求證：△ABC≌△EBF；（2）試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=1，求HG?HB的值．強化訓練考點：圓的綜合題．分析：（1）由垂直的定義可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，從而證得△ABC≌△EBF；（2）BD與⊙O相切，如圖1，連接OB證得∠DBO=90°，即可得到BD與⊙O相切；（3）如圖2，連接CF，HE，有等腰直角三角形的性質(zhì)得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通過△BHF∽△FHG，列比例式即可得到結(jié)論．強化訓練解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC與△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；強化訓練（2）BD與⊙O相切，如圖1，連接OB證明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD與⊙O相切；強化訓練（3）解：如圖2，連接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，強化訓練∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG?HB=HF2=2+．點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．強化訓練4.（2015?宿遷）已知：⊙O上兩個定點A，B和兩個動點C，D，AC與BD交于點E．（1）如圖1，求證：EA?EC=EB?ED；（2）如圖2，若=，AD是⊙O的直徑，求證：AD?AC=2BD?BC；（3）如圖3，若AC⊥BD，點O到AD的距離為2，求BC的長．強化訓練解答：（1）證明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EA?EC=EB?ED；（2）證明：如圖2，連接CD，OB交AC于點F∵B是弧AC的中點，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD為⊙O直徑，∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°．∴△CBF∽△ABD．∴，故CF?AD=BD?BC．∴AC?AD=2BD?BC；考點突破（3）解：如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF，∴AF為⊙O的直徑，∴∠ADF=90°，過O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．強化訓練5.（2015?哈爾濱）AB，CD是⊙O的兩條弦，直線AB，CD互相垂直，垂足為點E，連接AD，過點B作BF⊥AD，垂足為點F，直線BF交直線CD于點G．（1）如圖1，當點E在⊙O外時，連接BC，求證：BE平分∠GBC；（2）如圖2，當點E在⊙O內(nèi)時，連接AC，AG，求證：AC=AG；（3）如圖3，在（2）條件下，連接BO并延長交AD于點H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求線段AH的長．強化訓練考點：圓的綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠EBC，進而利用互余的關(guān)系得出∠GBE=∠EBC，進而求出即可；（2）首先得出∠D=∠ABG，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△BCE≌△BGE（ASA），則CE=EG，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可；（3）首先求出CO的長，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值進而求出答案．強化訓練解答：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC，∵GF⊥AD，AE⊥DG，∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，∴∠ABF=∠D，∵∠ABF=∠GBE，∴∠GBE=∠EBC，即BE平分∠GBC；強化訓練（2）證明：如圖2，連接CB，∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG，∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD，∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，∴△BCE≌△BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴A