虛擬解釋變量模型藍(lán)色

虛擬解釋變量模型藍(lán)色第一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一第一節(jié)引言

在經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析中，經(jīng)常會(huì)碰到所建模型的被解釋變量不僅受諸如收入、產(chǎn)量、價(jià)格、成本、需求、投資等數(shù)量變量的影響，而且也受到諸如戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害、國(guó)際環(huán)境、季節(jié)變動(dòng)以及政府經(jīng)濟(jì)政策變動(dòng)等質(zhì)量變量的影響。建立經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型若不考慮這些質(zhì)量變量的影響作用，顯然是不適宜的。2第二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一所以，在建立經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型時(shí)，即要考慮數(shù)量變量，也要考慮質(zhì)量變量。但是，質(zhì)量變量和數(shù)量變量不同，數(shù)量變量可以在事前規(guī)定好的尺度上，用不同的數(shù)值表現(xiàn)出來(lái)，質(zhì)量變量卻只能以屬性、種類的不同具體形式表現(xiàn)出來(lái)。3第三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例如，性別可表現(xiàn)為男或女；人種可表現(xiàn)為白種人和非白種人；宗教信仰可表現(xiàn)為教徒和非教徒；政府的經(jīng)濟(jì)政策可表現(xiàn)為改革開(kāi)放前和改革開(kāi)放后，如此等等。4第四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

顯然，這種不同的具體形式是無(wú)法直接引入經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型中去的。但由于這類變量通常表現(xiàn)為品質(zhì)、屬性、種類的出現(xiàn)或者未出現(xiàn)，所以我們可以根據(jù)質(zhì)量變量的這一特征將其數(shù)量化。5第五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

虛擬變量：給定某一質(zhì)量變量某屬性的出現(xiàn)為1，未出現(xiàn)為0，稱這樣的變量為虛擬變量。6第六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一把哪種情況取0，哪種情況取1要視研究情況而定。0和1只是一個(gè)符號(hào)而已，不代表他們有高低的意義。7第七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一虛擬變量主要是用來(lái)代表質(zhì)的因素，但是有些情況下也可以用來(lái)代表數(shù)量因素。例如建立儲(chǔ)蓄函數(shù)時(shí)，“收入”顯然是一個(gè)重要解釋變量，雖然是“數(shù)量”因素，但是為了方便也可以用虛擬變量表示。8第八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一虛擬解釋變量模型的設(shè)定因?yàn)橘|(zhì)的因素的多少和這些因素特征的多少而引入的虛擬變量也會(huì)不同。第二節(jié)虛擬解釋變量的設(shè)定9第九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一以一個(gè)最簡(jiǎn)單的虛擬變量模型為例，如果只包含一個(gè)質(zhì)的因素，而且這個(gè)因素僅有兩個(gè)特征，則回歸模型中只需引入一個(gè)虛擬變量。如果是含有多個(gè)質(zhì)的因素，自然要引入多個(gè)虛擬變量。10第十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一如果只有一個(gè)質(zhì)的因素，且具有m個(gè)特征，那么如果是含有截距項(xiàng)的，就要引入m-1個(gè)虛擬變量；不含有截距項(xiàng)的，應(yīng)該引入m個(gè)虛擬變量，這就是虛擬變量的設(shè)定原則。11第十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一一、截距變動(dòng)模型和斜率變動(dòng)模型（一）包含一個(gè)虛擬變量的截距變動(dòng)模型假設(shè)只有一個(gè)定性因素影響被解釋變量的變化，而且這個(gè)因素僅有兩種特征，這時(shí)候只需要引入一個(gè)虛擬變量。

12第十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

【例8.1】假設(shè)有一個(gè)包括正常年份和非正常年份（亞洲金融危機(jī)或SARS的影響）居民消費(fèi)的樣本，并打算用這些數(shù)據(jù)估計(jì)消費(fèi)函數(shù)。由于在正常年份和非正常年份居民在消費(fèi)水平上存在明顯差異，所以一些外界的影響是一個(gè)重要的解釋變量。

13第十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

用一個(gè)虛擬變量來(lái)表示這個(gè)質(zhì)的因素，消費(fèi)函數(shù)為

式中，Yi=第個(gè)居民的消費(fèi)水平，Xi=第個(gè)居民的收入水平，D為虛擬變量。我們用D=1表示正常年份這一特征，用D=0來(lái)表示非正常年份（8.1）14第十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一假設(shè)E（ui）=0，式（8.1）可以寫成（8.3）（8.2）15第十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一式（8.2）和式（8.3）分別為正常年份和非正常年份的居民消費(fèi)水平。二者具有相同的斜率，但是截距不同。16第十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一對(duì)β1作t檢驗(yàn)，若β1顯著地不為0，我們就認(rèn)為正常年份和非正常年份居民在消費(fèi)行為上的差異是明顯的。若β1

>0，則正常年份的居民消費(fèi)水平高于非正常年份的居民消費(fèi)水平。

利用最小二乘法對(duì)式（8.1）進(jìn)行估計(jì)，可得到（8.4）17第十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一通過(guò)例8.1，我們可以找出虛擬變量模型的一些特征。

１．用“1”來(lái)代表質(zhì)的因素的哪個(gè)特征是可以任意設(shè)定的。我們一般認(rèn)為，“1”代表具有某些特征，但沒(méi)有具體規(guī)定。在上例中，也可以指定D=1時(shí)為非正常年份，而D=0就必然為正常年份。在這種情況下，正常年份和非正常年份的消費(fèi)函數(shù)分別為18第十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一如果我們繪制圖形，得到的結(jié)果仍然是一樣的。此時(shí)，β1＜０，非正常年份的線低于正常年份的線，代表非正常年份的消費(fèi)水平低于正常年份的消費(fèi)水平。19第十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一２．虛擬變量D=0所代表的特性或狀態(tài)通常稱為基礎(chǔ)類型。和其它特征或狀態(tài)比較的意義上說(shuō)，基礎(chǔ)類型為對(duì)比的基礎(chǔ)。20第二十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一模型中的系數(shù)β0為基礎(chǔ)類型的截距項(xiàng)，稱為公共截距項(xiàng)；系數(shù)β1稱為差別截距系數(shù)，指的是D取1時(shí)截距系數(shù)和基礎(chǔ)類型的截距系數(shù)的差異。21第二十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

３．如果一個(gè)回歸模型有截距項(xiàng)，而且這個(gè)質(zhì)的因素又有兩種特征，也就是將其分兩類，則我們只需要引入一個(gè)虛擬變量。如我們的例8.1所示。如果一個(gè)回歸方程有截距項(xiàng)，只有一個(gè)質(zhì)的因素影響被解釋變量，它有個(gè)m特征，我們就要引入m-1個(gè)虛擬變量；

22第二十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一如果回歸方程沒(méi)有截距項(xiàng)，那么這個(gè)質(zhì)的因素有多少個(gè)特征就要設(shè)多少個(gè)虛擬變量，這就是虛擬變量的使用原則。23第二十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一虛擬變量陷阱：如果虛擬變量設(shè)定不當(dāng)，會(huì)使最小二乘法無(wú)解，稱這種情況為虛擬變量陷阱。24第二十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一引入兩個(gè)虛擬變量對(duì)有截距項(xiàng)和沒(méi)有截距項(xiàng)的情況分別討論。

(1)對(duì)有截距項(xiàng)的情況，我們?nèi)绻O(shè)兩個(gè)虛擬變量，則回歸模型為（8.7）25第二十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一式(8.7)也可表示為其中，，顯然如下等式成立。

（8.8）（8.9）26第二十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一式(8.9)表明模型(8.8)即原模型(8.7)中有完全的多重共線性，將導(dǎo)致最小二乘估計(jì)無(wú)解。我們稱該情景為掉入虛擬變量陷阱。所以，在有截距項(xiàng)的情況下，如果一個(gè)質(zhì)的因素有多少個(gè)特征就引入多少個(gè)虛擬變量是行不通的。27第二十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

(2)對(duì)沒(méi)有截距的情況，我們?nèi)绻O(shè)兩個(gè)虛擬變量，顯然模型(8.10)中，解釋變量D1,D2和X之間無(wú)完全的多重共線性?？梢允褂闷胀ㄗ钚《朔ü烙?jì)式（8.10）的參數(shù)。

（8.10）28第二十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（二）斜率變動(dòng)模型在實(shí)際問(wèn)題中，斜率單獨(dú)變動(dòng)出現(xiàn)的情形一般比較少，它指的是改變了變動(dòng)的速率也就是彈性。例如城鎮(zhèn)居民家庭與農(nóng)村居民家庭的消費(fèi)函數(shù)，在邊際消費(fèi)傾向（斜率）上可能會(huì)有所不同，假設(shè)它們的消費(fèi)函數(shù)在截距項(xiàng)沒(méi)有區(qū)別。29第二十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一那么回歸模型可記為（8.11）其中，Yi=第個(gè)家庭的消費(fèi)水平，Xi=第個(gè)家庭的收入水平，30第三十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一式（8.11）可以表示為（8.12）（8.13）31第三十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

（三）包含多個(gè)虛擬變量的截距變動(dòng)模型如果一個(gè)質(zhì)的因素僅有兩種特征，只需引入一個(gè)虛擬變量。但是，很多質(zhì)的因素往往不只具有兩個(gè)特征，例如全世界的國(guó)家可以分為發(fā)達(dá)國(guó)家、發(fā)展中國(guó)家、不發(fā)達(dá)國(guó)家。32第三十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一我國(guó)少數(shù)民族在很多問(wèn)題上有差異，所以當(dāng)把民族作為虛擬變量時(shí)，不能簡(jiǎn)單將其分為漢族和非漢族；季節(jié)因素是我們最常見(jiàn)的質(zhì)的因素，它具有四個(gè)特征，按照前面的原則，我們要引入三個(gè)虛擬變量。33第三十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例如，我們用季度資料研究各種商品消費(fèi)額在季節(jié)上有沒(méi)有什么區(qū)別？可以建立模型如下：（8.14）其中，Yt=季度的消費(fèi)，Xt=季度的收入，對(duì)于四個(gè)季度，我們引入了三個(gè)虛擬變量：34第三十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一這里，第四季度為基礎(chǔ)類型，其截距項(xiàng)為β0。而其它三個(gè)季度的截距項(xiàng)分別為β0+β1，β0+β2，β0+β3。β1，β2,β3代表季節(jié)變動(dòng)引起的消費(fèi)差異。35第三十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一四個(gè)季度的回歸模型分別為（8.15）（8.16）（8.17）（8.18）36第三十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（四）截距和斜率同時(shí)變動(dòng)模型在多數(shù)情況下，質(zhì)的因素不但對(duì)回歸模型的截距有影響，而且還會(huì)改變模型的斜率。37第三十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例如城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的消費(fèi)函數(shù)不但在斜率上有差異，在截距上也是有可能不一致的，將兩個(gè)問(wèn)題同時(shí)考慮進(jìn)來(lái)，我們可以得到回歸方程38第三十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（8.19）式中，Yi=第個(gè)家庭的消費(fèi)水平，Xi=第個(gè)家庭的收入水平，39第三十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

β1和β3分別表示城鎮(zhèn)居民家庭和農(nóng)村居民家庭的消費(fèi)函數(shù)在截距和斜率上的差異。式（8.19）可以表示為（8.20）（8.21）40第四十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一我們一般通過(guò)t檢驗(yàn)來(lái)判定它們之間是否有差異。1.若β1≠0，β3≠0，則為截距和斜率同時(shí)變動(dòng)模型；2.若β1≠0,β3=0，則為截距變動(dòng)模型；3.若β1=0，β3=0,則表示城鎮(zhèn)居民家庭和農(nóng)村居民家庭有著完全相同的消費(fèi)模式；4.若β1=0，β3≠0,則為斜率變動(dòng)模型，這種情況在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)得不是很多。41第四十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一下面，以我國(guó)的農(nóng)村和城市的消費(fèi)樣本為例，實(shí)際體會(huì)虛擬變量模型從建模到檢驗(yàn)再到估計(jì)參數(shù)最后下結(jié)論的全過(guò)程。

【例8.2】已有數(shù)據(jù)資料為我國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭1955年至1985年人均收入和人均儲(chǔ)蓄。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，也就是先驗(yàn)信息，再通過(guò)某些檢驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)儲(chǔ)蓄和收入有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系而且收入的變化會(huì)引起儲(chǔ)蓄的變化。42第四十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一假定它們之間為線性關(guān)系，我們可以建立儲(chǔ)蓄模型如下式中，St=人均儲(chǔ)蓄，Xt=人均收入，t=年份（t=1955，1956，…，1985）。

（8.22）43第四十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一把1955年作為基期并把該期的價(jià)格水平定為100，再分別扣除包含在和中的物價(jià)上漲因素。用最小二乘法估計(jì)式（8.22），得到

R2

=0.833，DW=0.398

（8.22）44第四十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一模型（8.23）包含了這樣一個(gè)假定，那就是在1955到1985年期間我國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭的儲(chǔ)蓄行為大體保持不變。45第四十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一這一假定實(shí)際上是行不通的，因?yàn)樵谑粚萌腥珪?huì)召開(kāi)之后，居民的收入大大增加，而且與居民儲(chǔ)蓄有關(guān)的許多重要因素在1979年以后發(fā)生了明顯變化。在改革開(kāi)放之前，我國(guó)居民的收入水平僅僅能夠維持溫飽水平，根本不可能有多少儲(chǔ)蓄。46第四十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一1979年以后，我國(guó)居民的收入水平大幅度提高，同時(shí)，居民儲(chǔ)蓄也在大幅度增長(zhǎng)。從這些可以看出來(lái)，1979年前后兩個(gè)時(shí)期，我國(guó)居民的邊際儲(chǔ)蓄傾向有顯著性差異。47第四十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一在改革開(kāi)放前的大多數(shù)年份,我國(guó)的消費(fèi)市場(chǎng)常常是供不應(yīng)求,許多商品要國(guó)家下達(dá)計(jì)劃指標(biāo),居民憑票證購(gòu)買,經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題是顧客即使有錢也難買到需要的商品,就不得不把錢存起來(lái)。這時(shí)候的儲(chǔ)蓄就帶有非自愿的性質(zhì)。48第四十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一而在1979年以后,物資逐漸豐富,商品的買賣也取消了票證的限制,消費(fèi)者儲(chǔ)蓄的主要目的之一是購(gòu)買高檔耐用消費(fèi)品，儲(chǔ)蓄不再具有“被迫”的性質(zhì)。49第四十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一為了驗(yàn)證城鎮(zhèn)居民的儲(chǔ)蓄行為是否有顯著變化,可以建立下面的截距和斜率同時(shí)變動(dòng)模型。（8.24）式中,St和Xt仍代表人均儲(chǔ)蓄和人均收入,D為虛擬變量，50第五十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一用最小二乘法估計(jì)式(8.24),可以得到（8.25）51第五十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中,參數(shù)估計(jì)值下面括號(hào)中的數(shù)字為統(tǒng)計(jì)值。顯然,在1979年前后儲(chǔ)蓄模型的截距和斜率有明顯差異。式(8.25)可以寫為兩個(gè)方程（8.26）（8.27）52第五十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一由以上模型可知，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的邊際儲(chǔ)蓄傾向在1979年以前僅為0.004,也就是收入增加1元,儲(chǔ)蓄平均增加4厘;而從1979年到1985年這段時(shí)間,城鎮(zhèn)居民的邊際儲(chǔ)蓄傾向增至0.256。53第五十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一然而,在式(8.23)中得到的邊際儲(chǔ)蓄傾向卻是0.17。很明顯,式(8.23)既不代表改革開(kāi)放之前城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)行為,也不能正確描述1979年以后城鎮(zhèn)居民儲(chǔ)蓄與收入之間的關(guān)系。

54第五十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一我們單從模型的擬合也可以看出引進(jìn)虛擬變量可以改善估計(jì)效果。式(8.23)中的隨機(jī)誤差項(xiàng)存在正自相關(guān)(DW=0.398),擬合優(yōu)度效果也不太好(R2=0.833)。引入虛擬變量后的模型消除了自相關(guān)(DW=1.67),判定系數(shù)也上升到0.967。所以,虛擬變量的引入很有必要。55第五十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

二、多個(gè)質(zhì)的因素的虛擬變量模型我們討論的回歸模型只包括一個(gè)質(zhì)的因素，但是在很多情形下,往往有兩個(gè)以上的質(zhì)的因素影響回歸模型的被解釋變量。例如,在考察居民的食品消費(fèi)行為時(shí),可以考慮的質(zhì)的因素有居民的性別、民族、受教育程度、地理區(qū)域等等。56第五十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一再如,除收入水平外,冰琪凌消費(fèi)量還會(huì)受到季節(jié)和地區(qū)等質(zhì)的因素影響。這些質(zhì)的因素可能不僅僅改變模型的截距和斜率,質(zhì)的因素之間也往往有相互影響。例如,高收入水平和低收入水平的居民在家電消費(fèi)量上的差異會(huì)隨著季節(jié)不同而改變的。為了方便,我們建立以下簡(jiǎn)單的食品消費(fèi)模型。57第五十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（8.28）58第五十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

式(8.28)中,Ct和At分別表示居民的食品消費(fèi)和居民的收入,D1,D2，D3,D4，D5是虛擬變量，分別表示性別因素、年齡因素和學(xué)歷因素。性別因素只有兩個(gè)特征男和女，設(shè)一個(gè)虛擬變量D1。59第五十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一年齡分為三個(gè)層次，25歲以下、25到50歲和50歲以上，設(shè)二個(gè)虛擬變量D2和D3。受教育程度分為三個(gè)層次,初中以下、高中和高中以上,設(shè)二個(gè)虛擬變量D4

和D5。模型中還有虛擬變量之間的乘積，考慮了截距項(xiàng)的各種變化可能。

60第六十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一Di取值不同，截距不同，如：其余的依次類推。β6和β7為性別和年齡層次的相互影響系數(shù)。采用通常的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法對(duì)各種可能的情況進(jìn)行檢驗(yàn)。61第六十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例如，如果β1在統(tǒng)計(jì)上顯著說(shuō)明性別這個(gè)質(zhì)的因素會(huì)明顯影響食品的消費(fèi)量。同時(shí)，β2在統(tǒng)計(jì)上顯著，就表明25歲以下居民在食品消費(fèi)上和別的層次的居民是有顯著差異的，那么年齡也會(huì)是個(gè)很重要的影響因素。62第六十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一上述假定虛擬變量?jī)H僅影響回歸模型的截距，由此可以推廣到更一般的情形，也就是虛擬變量同時(shí)改變回歸模型的截距和斜率，那樣考慮得更周全，但是也會(huì)更復(fù)雜，在這里我們不作討論。63第六十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三節(jié)變參數(shù)模型和分段回歸一、變參數(shù)模型

從上一節(jié)的討論可知，由于引入了虛擬變量，回歸模型的截距或斜率不再是固定不變的。但是模型中參數(shù)的變化是離散的，而不是連續(xù)的。64第六十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一例如，在式（8.24）中，只是假定在1979年以前和1979年以后兩個(gè)時(shí)期城鎮(zhèn)居民有不同的消費(fèi)行為，也就是說(shuō)，回歸模型的截距和斜率并不是每年都發(fā)生變化。變參數(shù)模型是虛擬變量模型的推廣，它認(rèn)為回歸模型的截距或斜率會(huì)隨著樣本觀察值的改變而系統(tǒng)地改變。65第六十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（一）截距變動(dòng)模型系統(tǒng)變參數(shù)模型也可以分為截距變動(dòng)模型和截距、斜率同時(shí)變動(dòng)模型。設(shè)線性回歸模型為(8.28)66第六十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一式中，X=解釋變量，Y=被解釋變量。如果的變化為非隨機(jī)的，而且這種變化完全由外生變量決定，那么式（8.29）就是一個(gè)非隨機(jī)變參數(shù)模型。67第六十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一我們觀察到截距項(xiàng)和我們前面的虛擬變量模型的截距項(xiàng)有所不同，下面多了一個(gè)下標(biāo)t。這就是說(shuō)，雖然回歸模型斜率在整個(gè)樣本時(shí)期保持不變，但是截距項(xiàng)是隨著時(shí)間的變化而變化的。68第六十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一β1t定義如下（8.30）式中，α0和α1為我們要求的參數(shù)，也可以稱為“超參數(shù)”，Zt是用來(lái)解釋?duì)?t變動(dòng)情況的外生變量將式（8.30）代入式（8.29）中，整理得到69第六十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（8.31）可用最小二乘法對(duì)式（8.31）中的超參數(shù)和其它參數(shù)一并進(jìn)行估計(jì)。如果Zt為虛擬變量，那么式（8.31）就是一個(gè)虛擬變量模型，而且是一個(gè)截距項(xiàng)變動(dòng)斜率不變的模型。因此，虛擬變量模型是變參數(shù)模型的一種特殊形式。

70第七十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（二）截距和斜率同時(shí)變動(dòng)模型和虛擬變量模型的思路一樣，再來(lái)討論斜率和截距同時(shí)存在系統(tǒng)變動(dòng)的情況。我們只需要在式（8.31）的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。將換為，且假定有如下關(guān)系式：

（8.32）71第七十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一將式（8.32）代入式（8.31），則有（8.33）72第七十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一以上模型只假定β1t和β2t存在系統(tǒng)變化，實(shí)際上還有很多參數(shù)都可能存在這種變化，甚至可能存在β1t和β2t等系數(shù)有可能不是線性變化的，也就是說(shuō)超參數(shù)本身可能不為常數(shù)。這種情況只是在理論上提出來(lái)，實(shí)際操作會(huì)因?yàn)樘珡?fù)雜而沒(méi)有太多的應(yīng)用。73第七十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一用最小二乘估計(jì)得到式（8.33）中的參數(shù)估計(jì)值后，就可以對(duì)參數(shù)是否存在系統(tǒng)變化進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。如果α1和b1在統(tǒng)計(jì)上不顯著，就可以把β1和β1看作常數(shù)；否則，我們認(rèn)為β1和β2存在系統(tǒng)變化。

74第七十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一顯然，如果錯(cuò)誤地把β1和β2當(dāng)作常數(shù)，就等同于錯(cuò)誤地解釋了經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系。此外，由于相當(dāng)于省略了重要的解釋變量Zt和Wt，還可能會(huì)產(chǎn)生自相關(guān)等問(wèn)題。75第七十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

（三）應(yīng)用案例

【例8.3】眾所周知，我國(guó)居民的消費(fèi)行為在經(jīng)濟(jì)體制改革開(kāi)放前后存在巨大差異。但是，在這期間居民的消費(fèi)行為是否也在不斷變化？我國(guó)的經(jīng)濟(jì)體制改革走的是一條漸進(jìn)的道路，與居民消費(fèi)有關(guān)的諸多因素必然會(huì)隨著改革開(kāi)放的不斷推進(jìn)而逐步改變。76第七十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一這些變化對(duì)居民消費(fèi)的影響主要有三個(gè)方面：第一、觀念的變化。與改革開(kāi)放初期相比，我國(guó)居民的觀念已經(jīng)發(fā)生了深刻的變化。人們的市場(chǎng)意識(shí)、風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)、對(duì)通貨膨脹的心理承受能力等均大大增強(qiáng)；對(duì)“鐵”飯碗的依賴思想已明顯減弱。77第七十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二，消費(fèi)者的經(jīng)濟(jì)決策權(quán)逐漸擴(kuò)大，消費(fèi)品市場(chǎng)供給日益豐富；勞動(dòng)力市場(chǎng)的建立使人們有越來(lái)越多的擇業(yè)機(jī)會(huì)；居民金融資產(chǎn)的迅速積累，使消費(fèi)者可以在一定時(shí)間范圍內(nèi)提前或延期消費(fèi)。78第七十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三，不確定因素增多。隨著市場(chǎng)因素的增多，經(jīng)濟(jì)生活的不確定因素也在增加。例如，職工的實(shí)際收入已不再是完全“剛性”，個(gè)人的實(shí)際收入可能會(huì)因?yàn)橥ㄘ浥蛎洝⑵髽I(yè)經(jīng)濟(jì)效益下降而減少。不確定因素的增加，迫使消費(fèi)者在安排消費(fèi)時(shí)更多顧及長(zhǎng)遠(yuǎn)利益，消費(fèi)行為漸趨向理性。79第七十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

綜上所述，我們似乎沒(méi)有理由認(rèn)為居民消費(fèi)行為在1979年以后是固定不變的。但是這種變動(dòng)是否顯著？變動(dòng)趨勢(shì)是怎么樣的？這一切還需要用系統(tǒng)變參數(shù)模型加以驗(yàn)證。80第八十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一利用1979年至1997年我國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭收支調(diào)查資料，可以建立一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)變參數(shù)模型：（8.34）式中，Xt和Yt分別代表城鎮(zhèn)居民家庭某年人均實(shí)際收入和人均實(shí)際支出（以1980年的價(jià)格水平為100，從收入和支出中分別扣除價(jià)格上漲因素的影響）。t=年份，ut=隨機(jī)誤差項(xiàng)。

81第八十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一注意到模型的截距β1t和邊際消費(fèi)傾向β2t是隨著時(shí)間的推移而不斷變化的，也就是說(shuō)，消費(fèi)與收入的關(guān)系是逐年變化的。引起β1t和β2t變化的因素中有許多是不可觀測(cè)或難以度量的，所以無(wú)法把這些因素作為解釋變量直接引入模型。82第八十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一因此，我們可以用時(shí)間序號(hào)T來(lái)代表這些因素。假定β1t和β2t的變化可以由下面的關(guān)系式來(lái)表示：（8.35）（8.36）83第八十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

將式（8.35）和式（8.36）代入式（8.34），得到（8.37）84第八十四頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一用最小二乘法估計(jì)式（8.37）的參數(shù)，得到參數(shù)估計(jì)值后，可以對(duì)a1,a2和b1,b2進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。如果a1,a2和b1,b2部分或全部顯著地不為零，則表明在經(jīng)濟(jì)體制改革期間消費(fèi)模型參數(shù)存在系統(tǒng)的變化；反之，就認(rèn)為消費(fèi)模型在改革期間是穩(wěn)定的。85第八十五頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一經(jīng)試算發(fā)現(xiàn)a0

,a2和b2在統(tǒng)計(jì)上都不顯著，所以把模型確定為（8.38）用最小二乘法估計(jì)式（8.38），得到結(jié)果如下（8.39）86第八十六頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一（8.40）式（8.40）中，參數(shù)估計(jì)值下面括號(hào)中的數(shù)字是統(tǒng)計(jì)值。由R2和DW值可知，模型對(duì)消費(fèi)支出Yt變化的擬合程度很好，而且不存在自相關(guān)問(wèn)題。87第八十七頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一估計(jì)和檢驗(yàn)結(jié)果表明：１.a1,

b1在統(tǒng)計(jì)上是高度顯著的，從而證明我國(guó)城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)行為在改革期間是不斷變化的。2.由a2=4.5047可知，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)水平呈現(xiàn)逐年上升的趨勢(shì)；

88第八十八頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

3．由可知，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的邊際消費(fèi)傾向呈下降趨勢(shì)，這一結(jié)果與改革以來(lái)居民金融資產(chǎn)迅速增加的事實(shí)相吻合。89第八十九頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一4．邊際消費(fèi)傾向的變動(dòng)曲線為

（8.41）即，邊際消費(fèi)傾向的變化未線性下降趨勢(shì)。90第九十頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一5．如果忽略居民消費(fèi)行為的變化，將模型設(shè)定為（8.42）則估計(jì)結(jié)果為（8.43）91第九十一頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

顯然，雖然模型的擬合優(yōu)度很高，但是由于邊際消費(fèi)傾向是固定不變的，模型（8.43）錯(cuò)誤的描述了消費(fèi)和收入的關(guān)系。而且，如果將其用于預(yù)測(cè)，隨著時(shí)間的推移誤差會(huì)越來(lái)越大。92第九十二頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一在前面的內(nèi)容，我們都是用虛擬變量代表質(zhì)的因素。但在有些情況下，虛擬變量也可以代表量的因素，分段線性回歸就屬于這種類型。

二、分段回歸93第九十三頁(yè)，共一百零三頁(yè)，編輯于2023年，星期一

在經(jīng)濟(jì)關(guān)系中常有這樣的情況：當(dāng)解釋變量X的值達(dá)到某水平X*之前，與被解釋變量Y之間存在某種線性關(guān)系；當(dāng)解釋變量X的值達(dá)到或超過(guò)X*以后，與被解釋變量