樣本平均數(shù)的標準誤課件

第9章

估計與信賴區(qū)間9-19-2目標定義點估計。定義信賴水準。在母體標準差已知的情況下，建構(gòu)母體平均數(shù)的信賴區(qū)間。在母體標準差未知的情況下，建構(gòu)母體平均數(shù)的信賴區(qū)間。建構(gòu)母體比例的信賴區(qū)間。決定抽樣的樣本個數(shù)。點估計與信賴區(qū)間點估計（pointestimate）：由樣本資料計算的統(tǒng)計量，使用來估計母體參數(shù)。區(qū)間估計（intervalestimate）：某區(qū)間會涵蓋母體參數(shù)的可能性。信賴區(qū)間（confidenceinterval）：在特定機率下，估計母體參數(shù)可能落在的數(shù)值範圍。此特定的機率值可以稱為信賴水準。9-3點估計與信賴區(qū)間決定信賴區(qū)間的因素有：樣本大小n。母體資料的離散程度，通常使用s

估計。信賴水準。9-4點估計與信賴區(qū)間若母體標準差σ已知，且樣本個數(shù)大於30，我們使用z分配。9-5點估計與信賴區(qū)間若母體近似常態(tài)分配而母體標準差未知，且樣本個數(shù)小於30，我們使用t分配。在給定信賴係數(shù)下，t分配的值依賴自由度而定。9-6樣本平均數(shù)的標準誤樣本平均數(shù)抽樣分配的標準差可稱為「標準誤」（standarderror）。9-7樣本平均數(shù)的標準誤計算公式為

為樣本平均數(shù)的標準誤的符號。為母體標準差。n

為樣本大小。9-8樣本平均數(shù)的標準誤若σ未知，以及n≥30，樣本標準差表示為s，可估計母體標準差。計算公式如下：

9-9區(qū)間估計陳述母體參數(shù)可能落入的範圍值。估計母體參數(shù)可能落在的數(shù)值範圍。最常使用的信賴水準為95%與99%。9-10區(qū)間估計95%信賴區(qū)間表示在100組樣本所得到的100個區(qū)間中，約有95個區(qū)間會涵蓋母體參數(shù)。或者，從母體中抽選出來的樣本平均數(shù)，其中有95%

會落在母體平均數(shù)加減1.96個標準差的範圍內(nèi)。9-11區(qū)間估計而99%信賴區(qū)間意指，從母體中抽選出來的樣本平均數(shù)，有99%的樣本平均數(shù)會落在母體平均數(shù)加減2.58個標準差的範圍內(nèi)。9-12μ

的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的95%

信賴區(qū)間為9-13μ

的95%與99%信賴區(qū)間母體平均數(shù)的99%信賴區(qū)間為9-14建構(gòu)母體平均數(shù)μ的信賴區(qū)間母體平均數(shù)信賴區(qū)間的通用計算公式為9-15範例美國管理協(xié)會希望了解在零售產(chǎn)業(yè)中，中階主管的平均收入?，F(xiàn)在隨機抽取256

位中階主管，其平均數(shù)為$45,420、標準差$2,050。協(xié)會想要了解下列幾個問題：母體平均數(shù)是多少？母體平均數(shù)的合理估計值是多少？母體平均數(shù)會合理地落在什麼範圍內(nèi)？以上答案的意義為何？ 9-16範例continued因不知道母體平均數(shù)是多少，只知道樣本平均數(shù)是$45,420。因此只能使用樣本統(tǒng)計量來估計母體參數(shù)，所以樣本平均數(shù)$45,420是未知母體平均數(shù)的點估計。所計算出來的範圍是$45,169至$45,671間，這兩個數(shù)值也可以稱為信賴界限（confidencelimits）。因此在95%信賴水準（或信賴係數(shù)）下，信賴區(qū)間是從$45,169至$45,671?！?251稱為容界誤差（marginoferror）。9-17範例continued以上答案的意義為何？假設我們隨機抽出很多組樣本數(shù)為256位中階主管的樣本，也許抽選出好幾百組。對於這些每一組樣本，計算其平均數(shù)與標準差，之後建立每組相對應的95%信賴區(qū)間，建構(gòu)信賴區(qū)間的過程如上所示。我們希望所有的信賴區(qū)間中，約有95%的信賴區(qū)間將涵蓋母體平均數(shù)，另外約有5%信賴區(qū)間沒有包含母體平均數(shù)μ。然而，某特別信賴區(qū)間也許會包含母體平均數(shù)，或也許不會包含。9-18範例continued9-19t分配的假設：母體為常態(tài)分配或近似常態(tài)分配t分配的特徵：1.t分配是連續(xù)型的機率分配。2.t分配的圖形是鐘形與對稱分配。3.有一整個t分配的家族。4.t分配比標準常態(tài)分配更平坦，且離散程度也較大。當樣本數(shù)增加時，t分配就會愈接近標準常態(tài)分配。9-20範例一個輪胎製造商想要研究公司所生產(chǎn)的輪胎其厚度耗損程度?，F(xiàn)在隨機選取行駛了50,000英里的10個輪胎為樣本，發(fā)現(xiàn)輪胎剩餘厚度的樣本平均數(shù)為0.32英寸、標準差為0.09英寸。請建構(gòu)母體平均數(shù)的95%信賴區(qū)間。如果製造商的結(jié)論是：在行駛了50,000英里之後，輪胎剩餘厚度的母體平均數(shù)仍然是0.3英寸。請問這個結(jié)論合理嗎？9-21範例continued一開始假設母體分配是常態(tài)分配。為了要應用中央極限定理，故需要使用大樣本，也就是樣本數(shù)至少在30以上。在這個範例中，樣本數(shù)只有10個，因此不能使用中央極限定理。也就是不可以使用公式[9-1]，而必須使用公式[9-2]：

9-22範例continued

找出t

值的第一步，是在信賴區(qū)間的那一列找出所要的信賴水準。在此例中，所需之信賴水準是95%，即對應到標題為95%的那一行，並往左邊標示為df

的那一行移動。所謂的df是自由度（degreesoffreedom），自由度是將樣本中觀測資料的數(shù)量減去1，在此例中它是10－1=9。所以95%信賴水準的那一行與自由度9的那一列(p.546)，交叉得到t

值為2.262。9-23範例continued

信賴區(qū)間的界限是0.256與0.384。那麼該如何麼解釋這個結(jié)果呢？

可以說母體平均數(shù)落在這個區(qū)間內(nèi)，製造商可以確認（95%的信心程度）胎面的平均剩餘厚度仍然在0.256至0.384英寸間。因為0.3

英寸落在這個區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)很可能是0.3英寸。9-24範例佛羅里達州InletSquare百貨公司的經(jīng)理，想要估計每一位顧客平均採購金額是多少。下表列示了20位顧客採購金額的樣本資料。

請問母體平均數(shù)的最佳點估計是多少？計算95%

的信賴區(qū)間，並解釋這個結(jié)果。如果母體平均數(shù)是$50，這個說法合理嗎？那麼母體平均數(shù)為$60，合理嗎？9-25範例continued百貨公司的經(jīng)理假設顧客花費金額的母體服從常態(tài)分配。不知道母體標準差，所以，必須使用

t分配以及使用公式[9-2]來計算信賴區(qū)間。自由度是n－1=20－1=19。在表格(p.546)中找出自由度為19、信賴水準為95%的交叉點是2.093，並將這些值帶入公式[9-2]，計算出信賴區(qū)間：9-26範例continued所求出的信賴區(qū)間是$45.13與$53.57之間。所以可以說（有95%的信心）母體平均數(shù)會落在這個區(qū)間內(nèi)。InletSquare的經(jīng)理猜想母體平均數(shù)是$50或$60。$50在信賴區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)有可能是$50。而$60沒有在信賴區(qū)間內(nèi)，所以母體平均數(shù)不太可能會是$60。

9-27母體比例的信賴區(qū)間母體比例信賴區(qū)間的估計公式為：9-28範例BottleBlowersofAmerica（BBA）工會想要與Teamsters工會合併。根據(jù)BBA工會的規(guī)章規(guī)定，至少要有?

的會員同意，才可進行合併。現(xiàn)在隨機抽選2,000位BBA的會員，其中有1,600位同意合併的提議。請問什麼是母體比例的估計值？請建構(gòu)母體比例的95%

信賴區(qū)間?；哆@些樣本資訊，你認為BBA的會員是否同意合併案的進行？為什麼？

9-29範例continued使用公式[9-3]計算樣本比例，計算結(jié)果是0.8：因此可估計母體中有80%的會員同意合併的計畫。使用公式[9-6]計算95%的信賴區(qū)間。對應於95%信賴水準的z

值是1.96：

9-30範例continued信賴區(qū)間的上下限是0.782

與0.818。因為信賴下限0.782大於0.75，亦即信賴區(qū)間包含了超過75%的工會會員，所以我們可以說這個合併計畫可能會通過。9-31有限母體的校正因子一個有固定上限的母體數(shù)目，我們稱之為「有限母體」。對於一個有限母體，其總數(shù)量為N，以及抽樣的樣本數(shù)為n。9-32有限母體的校正因子樣本平均數(shù)的標準誤：9-33有限母體的校正因子樣本比例的標準誤：9-34對於有限母體，需進行調(diào)整。

若n/N<0.05，則可忽視有限母體的校正因子。範例

賓州Scandia地區(qū)有250

個家庭。隨機抽選40

個家庭，發(fā)現(xiàn)這些家庭每年捐獻給教堂的平均金額是$450、標準差$75。母體平均數(shù)可能是$445或是$425？母體平均數(shù)是多少？母體平均數(shù)的最佳估計值是多少？討論為何必須使用有限母體矯正因子？請計算平均每年捐獻金額的90%信賴區(qū)間。信賴區(qū)間的上界與下界分別是多少？解釋信賴區(qū)間。9-35範例continued不知道母體平均數(shù)，故必須估計之。母體平均數(shù)的最佳估計值是樣本平均數(shù)$450。樣本數(shù)占母體數(shù)量的比例超過5%；也就是n/N=40/250=0.16。因此使用有限母體矯正因子，透過FPC去調(diào)整信賴區(qū)間的標準誤。母體平均數(shù)的信賴區(qū)間公式變成9-36範例continued信賴區(qū)間的信賴界限是$431.65與$468.35。母體平均數(shù)可能超過$431.65，但是少於$468.35。所以母體平均數(shù)可能是$445。但不太可能是$425。因為$445落在這個區(qū)間內(nèi)，而$425沒有落在這個區(qū)間內(nèi)。

9-37選擇樣本大小在此可以考慮下列三個因素，來決定樣本的大?。盒刨囁疁?。研究者的最大容忍誤差。母體資料的變異程度。9-38估計母體平均數(shù)所需的樣本數(shù)量

其中:n

是樣本數(shù)量z

為在特定信賴水準下，標準常態(tài)分配的值

是母體標準差的估計E

為最大的容許誤差9-39範例一位在政府機構(gòu)打工的學生，想要計算議員每月的平均薪資是多少，他估計的最大容忍誤差是$100，同時使用95%

的信賴水準。這位學生也發(fā)現(xiàn)勞工部門之前也作過一次類似的研究，在該次的研究中，標準差是$1,000。請問本次研究所需要的樣本數(shù)是多少？9-40範例continued

最大的容忍誤差E

是$100，95%信賴水準相對應的z

值是1.96，同時標準差的估計值是$1,000。將這些值帶入公式[9-5]中計算：計算結(jié)果是384.16，經(jīng)過無條件進位法處理後是385。所以在這次研究需要抽選385個樣本。

9-41範例continued

如果這位學生想要增加信賴水準，例如99%，則必須增加樣本數(shù)。99%信賴水準相對應的z值是2.58：經(jīng)過計算的樣本數(shù)為666。我們也可以看到當信賴水準改變時，樣本大小也會改變──當信賴水準從95%提高到99%時，樣本數(shù)量也增加了281

個。9-42估計母體比例所需的樣本大小在進行母體比例的研究時，決定樣本數(shù)量的因素也跟上述的因素相同。其中，

p為過去實驗的估計比例z為某特定信賴水準的

z值E