【高中數(shù)學(xué)】總體離散程度的估計(jì) 課件 2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法，但僅知道集中趨勢(shì)的信息，很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策?？傮w集中趨勢(shì)的估計(jì)

眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)中位數(shù)：中位數(shù)左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等

平均數(shù)：每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和這節(jié)課我們共同來(lái)研究總體離散趨勢(shì)的有關(guān)知識(shí).9.2.4總體離散程度估計(jì)9.2用樣本估計(jì)總體學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的含義，會(huì)計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差.2.掌握求分層隨機(jī)抽樣總樣本的平均數(shù)及方差的方法.問(wèn)題3有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲：78795491074乙：9578768677如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況作出評(píng)價(jià)?如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個(gè)角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒(méi)有差別.作出甲、乙射擊成績(jī)的條形圖。兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少？借助條形圖可以直觀看出，甲的成績(jī)比較分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中,即甲的成績(jī)波動(dòng)幅度比較大，而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定.可見(jiàn)，他們的射擊成績(jī)是存在差異的.10環(huán)數(shù)頻率456789（甲）10環(huán)數(shù)頻率456789（乙）那么，如何度量成績(jī)的這種差異呢?

一種簡(jiǎn)單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.可以發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙的大.根據(jù)甲、乙運(yùn)動(dòng)員的10次射擊成績(jī)，可以得到甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6，乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.

極差在一定程度上刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度.但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息,對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒(méi)有涉及，所以極差所含的信息量很少.若射擊的成績(jī)很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；相反，若射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn).因此，可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度.假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為“距離”,即作為xi到

的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn到的“平均距離”為

.為了避免式中含有絕對(duì)值，通常改用平方來(lái)代替，

即方差

一組數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，用

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)___________=____________，標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______________.1、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義思考：標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的一組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？

標(biāo)準(zhǔn)差s≥0；

s=0表示這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)到平均數(shù)的距離都是0，這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)是相等的．

在實(shí)際問(wèn)題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的．就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣，通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)．在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性．2、總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為

，則稱

S2=_______________為總體方差，S=________為總體標(biāo)準(zhǔn)差

．如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為3、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的______程度或波動(dòng)幅度．標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越穩(wěn)定．在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用_______.在實(shí)際問(wèn)題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的，就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣，通常也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性。離散大小標(biāo)準(zhǔn)差如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為

，則稱

s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標(biāo)準(zhǔn)差

．由s甲>s乙可知，甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì)，乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.s甲=2，s乙≈1.095如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置。如果兩人都排在前面，就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲.問(wèn)題3中有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲：78795491074乙：9578768677

甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中抽取6件測(cè)量數(shù)據(jù)為(單位：cm)：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算說(shuō)明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．跟蹤訓(xùn)練1用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差、方差估計(jì)總體的方法：

(1)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似值．實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時(shí)，需先分析平均水平，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(方差)分析穩(wěn)定情況．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是[0，＋∞)．(3)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)的單位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．方差、標(biāo)準(zhǔn)差與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用

甲、乙、丙三名學(xué)生在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測(cè)試分?jǐn)?shù)都在[50,100]內(nèi)，將他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關(guān)系為跟蹤訓(xùn)練2A.s1>s2>s3

B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2

D.s3>s2>s1√比較三個(gè)頻率分布直方圖知，甲為“雙峰”直方圖，兩端數(shù)據(jù)最多，最分散，方差最大；乙為“單峰”直方圖，數(shù)據(jù)最集中，方差最??；丙為“單峰”直方圖，但數(shù)據(jù)分布相對(duì)均勻，方差介于甲、乙之間.綜上可知s1>s3>s2.分層隨機(jī)抽樣的方差

例6

在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高作出估計(jì)嗎？根據(jù)方差的定義，總樣本方差為因此，把已知男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入①，可得故總樣本的方差為51.4862，據(jù)此估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生身高的總體方差為51.4862.方法總結(jié)

某中學(xué)為研究該校男女學(xué)生在生活費(fèi)(單位：元)支出上的差異，在高一年級(jí)400名學(xué)生(其中男生220人，女生180人