高中數(shù)學(xué)必修三北師大版-相-關(guān)-性-課件

§7相關(guān)性1.會(huì)作散點(diǎn)圖，并用其判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系.2.經(jīng)歷用不同估算方法，來描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過程.

1.散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖：在考慮兩個(gè)量的關(guān)系時(shí)，為了對變量之間的關(guān)系__________________，人們通常將變量___________描出來，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖，通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖.有一個(gè)大致的了解所對應(yīng)的點(diǎn)2.兩個(gè)變量之間的關(guān)系(1)曲線擬合：從散點(diǎn)圖上看，如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)_____的大致趨勢，這種趨勢通?？梢杂胈______________來近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合.(2)線性相關(guān)：若在兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在_________附近波動(dòng)，則稱變量間是線性相關(guān)的.此時(shí)，我們可以用_________來近似表示.集中一條光滑的曲線一條直線一條直線(3)非線性相關(guān)：若所有點(diǎn)看上去都在______________________附近波動(dòng)，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān).此時(shí)，可以用_________來擬合.(4)不相關(guān)：如果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中_________________，則稱變量間是不相關(guān)的.

某條曲線(不是一條直線)一條曲線沒有顯示任何關(guān)系【輕松判斷】(1)散點(diǎn)圖的作用是判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.()(2)與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.()(3)“莊稼一枝花，全靠糞當(dāng)家”說明農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量之間具有相關(guān)關(guān)系.()提示：(1)正確.由散點(diǎn)圖的作用可知.(2)正確，函數(shù)是確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.(3)正確，農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量之間具有相關(guān)關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系.答案：(1)√(2)√(3)√主題一相關(guān)關(guān)系的判定生活中人們有這樣的經(jīng)驗(yàn)，“身高體也重”，考慮人的身高與體重之間的關(guān)系，思考下列問題:1.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，當(dāng)其中之一變化時(shí)，另一個(gè)也一定隨之變化嗎？提示：不一定.因?yàn)橄嚓P(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系，具有隨機(jī)性，因此，當(dāng)其中一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量未必隨之變化.2.如何理解相關(guān)關(guān)系？提示：具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間是一種不確定關(guān)系，產(chǎn)生這種關(guān)系的原因是受到許多不確定的隨機(jī)因素的影響.【特別提醒】相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)(1)相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系.(2)不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.【知識(shí)拓展】對相關(guān)關(guān)系的理解其一是相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同.其二是在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)對如何判斷和描述相關(guān)關(guān)系，發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有不確定性，這需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學(xué)的判斷.1.(2012·菏澤高一檢測)觀察下列各圖形：其中兩個(gè)變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是()(A)①②(B)①④(C)③④(D)②③2.在下列各變量之間的關(guān)系中，是相關(guān)關(guān)系的有()①汽車的重量和百公里耗油量；②球的體積與半徑；③一塊農(nóng)田的小麥產(chǎn)量與施肥量；④家庭的經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績.(A)①②(B)①③(C)②③(D)③④【解題指南】1.解答本題可根據(jù)散點(diǎn)圖的作用來判定.2.解答本題，先弄清兩個(gè)變量之間的關(guān)系有哪些，再予以一一辨別.特別注意區(qū)別函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系.【解析】1.選C.相關(guān)關(guān)系有兩種情況：所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，是線性相關(guān)；所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動(dòng)，是非線性相關(guān).①②是不相關(guān)的，而③④是相關(guān)的.2.選B.汽車的重量越大，百公里耗油量會(huì)越多，農(nóng)田的施肥量越大，小麥的產(chǎn)量一般會(huì)越多，①③是相關(guān)關(guān)系，②是函數(shù)關(guān)系，④中家庭經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間既不是相關(guān)關(guān)系，也不是函數(shù)關(guān)系.【變式訓(xùn)練】1.下列關(guān)系中，是相關(guān)關(guān)系的為()①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系；②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系；③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系；(A)①②(B)①③(C)②③(D)②【解析】選A.由相關(guān)關(guān)系的定義知.2.下列變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是()(A)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，其中，a,c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是這個(gè)函數(shù)的判別式Δ=b2-4ac(B)光照時(shí)間和果樹畝產(chǎn)量(C)降雪量和交通事故發(fā)生率(D)人的身高與體重【解析】選A.由函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的定義可知，A中Δ=b2-4ac，因?yàn)閍，c是已知常數(shù)，b為自變量，所以給定一個(gè)b的值，就有唯一確定的Δ與之對應(yīng)，所以Δ與b之間是一種確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系.B，C，D中兩個(gè)變量之間的關(guān)系都是隨機(jī)的、不確定的，所以不是函數(shù)關(guān)系.【規(guī)律總結(jié)】利用散點(diǎn)圖判斷變量間的關(guān)系我們通常利用變量間的散點(diǎn)圖來判斷變量間的關(guān)系.如果所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，則變量間是線性相關(guān)；若在某條曲線附近波動(dòng)，則稱非線性相關(guān)；若沒有顯示任何關(guān)系，則稱不相關(guān).主題二散點(diǎn)圖的作法與作用根據(jù)下圖回答下列問題.1.年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有什么特點(diǎn)？如果上述樣本的數(shù)據(jù)形成的點(diǎn)均勻分布于一個(gè)圓內(nèi)，數(shù)據(jù)之間還能線性相關(guān)嗎？提示：這些點(diǎn)分布在一條直線附近；點(diǎn)均勻分布于一個(gè)圓內(nèi)，這樣的點(diǎn)不具有線性相關(guān)關(guān)系.2.畫散點(diǎn)圖時(shí)，坐標(biāo)系中的橫、縱坐標(biāo)的長度單位必須相同嗎？提示：可以不同，應(yīng)考慮數(shù)據(jù)分布的特征.3.兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義如何？成正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的兩個(gè)相關(guān)變量的散點(diǎn)圖分別有什么特點(diǎn)？提示：相關(guān)關(guān)系的含義是自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系；正相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，負(fù)相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域.【特別提醒】關(guān)于散點(diǎn)圖的兩點(diǎn)注意(1)只要有兩個(gè)變量就可以作出散點(diǎn)圖.(2)散點(diǎn)圖的作用可判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.1.據(jù)兩個(gè)變量x，y之間的觀測數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖如圖，這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系________(填“是”或“否”).2.觀察兩相關(guān)變量得如下數(shù)據(jù)：畫出散點(diǎn)圖，判斷它們是否有線性相關(guān)關(guān)系.x-1-2-3-4-554321y-9-7-5-3-115379【解題指南】1.通過觀察圖中點(diǎn)的分布情況來判斷；2.建系→描點(diǎn)→觀察→結(jié)論.【解析】1.圖中的點(diǎn)沒有分布在一條直線的附近，這兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系.答案：否2.由數(shù)據(jù)可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖(如圖所示)：由散點(diǎn)圖可知，兩者之間不具有線性相關(guān)關(guān)系.【變式訓(xùn)練】某班5名學(xué)生的2012年高考總成績和數(shù)學(xué)成績(單位：分)如下表：畫出散點(diǎn)圖，并判斷總成績與數(shù)學(xué)成績是否有相關(guān)關(guān)系.學(xué)生ABCDE總成績(x)534482425608636數(shù)學(xué)成績(y)1068574117130【解析】散點(diǎn)圖如圖所示：由散點(diǎn)圖可以看出數(shù)學(xué)成績(y)與總成績(x)具有相關(guān)關(guān)系.【規(guī)律總結(jié)】兩個(gè)變量x和y相關(guān)關(guān)系的兩種判斷方法(1)散點(diǎn)圖法：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷.(2)表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷.主題三曲線擬合的作用【探究主線】變量間關(guān)系?散點(diǎn)圖?曲線擬合?應(yīng)用1.曲線擬合的前提條件是什么？提示：兩變量具有相關(guān)性.2.當(dāng)兩變量線性相關(guān)時(shí)，擬合曲線是怎樣的？提示：一條直線.【特別提醒】關(guān)于擬合曲線的兩點(diǎn)說明(1)擬合曲線是人們在散點(diǎn)圖中畫出的.(2)它可以預(yù)測未來的數(shù)據(jù)，為人們的決策提供依據(jù).1.有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年內(nèi)的收入的總和)與某種商品的銷售額的有關(guān)數(shù)據(jù):(單位:億元)(1)畫出散點(diǎn)圖.你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)居民年收入與某種商品銷售額之間的近似關(guān)系嗎？(2)如果它們之間近似成線性關(guān)系，請畫出一條直線來近似表示這種關(guān)系.

第n年12345678910年收入32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0銷售額25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.02.下表給出了不同類型的某種食品的數(shù)據(jù)，第一列表示品牌，第二列數(shù)據(jù)表示此種食品所含熱量的百分比，第三列數(shù)據(jù)表示由一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價(jià).品牌所含熱量的百分比口味評價(jià)A2589B3489C2080D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1352(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，制成散點(diǎn)圖，你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)食品所含熱量的百分比與食品口味之間的近似關(guān)系嗎？(2)如果近似成線性關(guān)系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性關(guān)系.一種食品所含熱量的百分比為15，估算一下其口味評價(jià)是多少？【解題指南】1.根據(jù)散點(diǎn)圖的作法與步驟作出散點(diǎn)圖，再畫出擬合曲線.2.通常判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，得先作出散點(diǎn)圖來觀察，用直線擬合線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，估算方法有多種，不同方法有不同的結(jié)果，這里不同的結(jié)果都正確.【解析】1.(1)散點(diǎn)圖如圖所示.從散點(diǎn)圖中，可以看出年收入與銷售額之間的總體趨勢成一條直線，也就是說它們之間是線性相關(guān)的.

(2)所畫直線如圖.

2.(1)畫出散點(diǎn)圖.從散點(diǎn)圖可以看出，食品所含熱量的百分比與口味值之間總體趨勢近似地成一條直線，也就是說它們之間是線性相關(guān)的.(2)將以上數(shù)據(jù)分成三組A～C，D～G，H～J，分別計(jì)算平均點(diǎn)的坐標(biāo)為(26.3,86)，(21，72.3),(18.7，58)，再算出這三個(gè)點(diǎn)的“平均點(diǎn)”為(22，72.1).由(26.3,86)，(18.7，58)兩個(gè)點(diǎn)求出所求直線斜率約為3.7，故所求直線方程為y-72.1=3.7(x-22)，當(dāng)x=15時(shí)，y=46.2，故食品所含熱量的百分比為15時(shí)，其口味評價(jià)約為46.2.如圖，我們用一條直線近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系.【互動(dòng)探究】本題2中，條件不變，求食品所含熱量的百分比為10時(shí)，其口味評價(jià)為多少？【解析】由(2)可知，可以近似地用直線y-72.1=3.7(x-22)表示兩者間的相關(guān)關(guān)系，當(dāng)x=10時(shí)，y=27.7，故食品所含熱量的百分比為10時(shí)，其口味評價(jià)約為27.7.【變式備選】研究某灌溉渠道水的流速y與水深x之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下：(1)作出散點(diǎn)圖，判斷x，y是否具有相關(guān)關(guān)系；(2)如果近似呈線性相關(guān)關(guān)系，求y對x的直線方程；(3)預(yù)測水深為1.95m時(shí)，水的流速是多少?水深x(m)1.401.501.601.701.801.902.002.10流速y(m/s)1.701.791.881.952.032.102.162.21【解析】(1)作出散點(diǎn)圖，如圖所示由圖可知x，y之間具有相關(guān)關(guān)系.(2)由散點(diǎn)圖可觀察到各個(gè)點(diǎn)大致在一條直線上，所以可用線性方程來擬合它.所以y對x的直線方程為y=0.6948+0.733x.(3)把x=1.95代入,得到y(tǒng)=0.6948+0.733×1.95≈2.12(m/s)，計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)水深為1.95m時(shí),可以預(yù)測水的流速約為2.12m/s.

【規(guī)律總結(jié)】利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí),所用數(shù)據(jù)的多少直接影響擬合的效果,從理論上來說,數(shù)據(jù)越多,擬合的效果越好,我們在研究數(shù)據(jù)之間的相關(guān)程度時(shí),相關(guān)程度越高,估計(jì)的結(jié)果越好.(2)我們選取相同的樣本數(shù),得到的直線方程也可能是不同的,這是由樣本的隨機(jī)性造成的,樣本量越大,所估計(jì)的直線方程越能更好地反映變量之間的關(guān)系.【知識(shí)拓展】曲線擬合的應(yīng)用如果變量之間存在著某種關(guān)系，通常可以用一條光滑的曲線或直線來擬合.作曲線擬合時(shí)，先作出散點(diǎn)圖，觀察樣本點(diǎn)在圖中集中的大致趨勢，再聯(lián)系常用的已學(xué)過的函數(shù)圖象.一般地，我們現(xiàn)在能遇到的題型，都與已學(xué)過的函數(shù)相聯(lián)系，即都可用熟悉的函數(shù)圖象作曲線擬合.如果是一條直線即變量線性相關(guān)，只要確定直線上的兩點(diǎn)或一點(diǎn)和斜率，就可以用直線來近似表示變量間的關(guān)系.1.以下資料是一位銷售經(jīng)理收集來的銷售員每年的銷售額和銷售經(jīng)驗(yàn)?zāi)陻?shù)的關(guān)系表：(1)根據(jù)這些數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖并作出直線y′=78+4.2x,計(jì)算(2)根據(jù)這些數(shù)據(jù)用最小二乘法求線性回歸方程=a+bx，并由此計(jì)算(3)比較(1)和(2)中兩個(gè)計(jì)算結(jié)果的大小.銷售經(jīng)驗(yàn)(年)13446810101113年銷售額(千元)8097921021031111191231171362.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖，你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)廣告費(fèi)支出與銷售額之間的近似關(guān)系嗎？(2)如果近似成線性關(guān)系,請畫出一條直線來表示這種線性關(guān)系.(3)如果廣告費(fèi)支出為7百萬元，請估計(jì)此時(shí)的銷售額為多少?X24568y3040605070【解析】1.(1)散點(diǎn)圖與直線y′=78+4.2x如圖所示.當(dāng)x分別取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13時(shí)，y′的值分別為82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,則=179.28.(2)所以a=

=108-4×7=80,所以線性回歸方程為y=80+4x.當(dāng)x取1,3,4,4,6，8，10，10，11，13時(shí)，的值分別為84，92，96，96，104，112，120，120，124，132，則(3)因?yàn)?79.28＞170,故用最小二乘法求出的較小.

2.(1)散點(diǎn)圖如圖所示.從散點(diǎn)圖中，可以看出廣告費(fèi)支出與銷售額之間的總體趨勢成一條直線，它們之間是線性相關(guān)的.(2)所畫直線如圖所示.(3)如果廣告費(fèi)支出為7百萬元，則銷售額大約為63百萬元.【規(guī)律總結(jié)】相關(guān)關(guān)系的分析由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量間的相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用，我們可以通過收集大量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷.判斷變量間有無相關(guān)關(guān)系，一種常用的簡便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量是線性相關(guān)的.1.下列變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是()(A)面積一定的情況下，矩形兩邊長之間的關(guān)系(B)體重與財(cái)富的關(guān)系(C)數(shù)學(xué)與物理的成績(D)父母的身高和