2019年年四川高考考試說明理科數(shù)學

2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）考試說明數(shù)學（理科）《2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）考試說明》的數(shù)學（理科）部分（以下簡稱《考試說明》）以既有利于數(shù)學新課程的改革、又要發(fā)揮數(shù)學作為基礎學科的作用，既重視考查考生對中學數(shù)學知識的掌握程度、又注意考查考生進入高等學校繼續(xù)學習的潛能，既符合四川省普通高等學校招生統(tǒng)一考試工作整體方案和普通高中課程改革的實際情況、又利用高考命題的導向功能推動新課程的課堂教學改革為基本原則，依據(jù)教育部頒布的《普通高中課程方案（實驗）》、《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課程標準》）、教育部考試中心頒布的《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科?課程標準實驗）》、《四川省普通高考改革方案》、《四川省普通高中課程設置方案》、《四川省普通高中課程數(shù)學學科教學指導意見》，并結合我省普通高中數(shù)學教學實際制定.I.考試性質(zhì)普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)生和具有同等學力的考生參加的選拔性考試.高等學校根據(jù)考生成績，按已確定的招生計劃，德、智、體全面衡量，擇優(yōu)錄取。因此，高考應具有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當?shù)碾y度.II.命題指導思想2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學科（四川卷）的命題，將遵循“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意的命題指導思想，將知識、能力和素質(zhì)融為一體，堅持正確導向，注重能力考查，力求平穩(wěn)推進，確保命題質(zhì)量，全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)和考生進入高等學校繼續(xù)學習的潛能，有利于高校選拔新生和中學實施素質(zhì)教育.數(shù)學科考試將充分發(fā)揮數(shù)學作為主要基礎學科的作用，考查考生數(shù)學的基礎知識、基本技能和數(shù)學思想方法，考查考生的數(shù)學基本能力、應用意識和創(chuàng)新意識，考查考生對數(shù)學本質(zhì)的理解，體現(xiàn)《課程標準》中對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等目標的要求.數(shù)學科命題將在試卷結構、難度控制及試題設計等方面保持相對穩(wěn)定，適度創(chuàng)新，既體現(xiàn)新課程理念，又繼承四川省歷年高考數(shù)學命題的成果.m.考試形式與試卷結構一、考試形式考試采用閉卷、筆試形式.考試時間為120分鐘.考試時不允許使用計算器.二、考試范圍考試內(nèi)容如下：數(shù)學1（必修）：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)i（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)）.數(shù)學2（必修）：立體幾何初步、平面解析幾何初步.數(shù)學3（必修）：算法初步、統(tǒng)計、概率.數(shù)學4（必修）：基本初等函數(shù)I（三角函數(shù)）、平面上的向量、三角恒等變換.數(shù)學5（必修）：解三角形、數(shù)列、不等式.選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何.選修2-2：導數(shù)及其應用（不含“導數(shù)及其應用”中“（4）生活中的優(yōu)化問題舉例”、“（5）定積分與微積分基本定理”及（6）數(shù)學文化”）、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入.選修2-3：計數(shù)原理、統(tǒng)計與概率（不含“統(tǒng)計與概率”（1）“概率”中“④通過實例，理解取有限值的離散型隨機變量方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題”、“⑤通過實際問題，借助直觀，認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義”及（2）“統(tǒng)計案例”）三、試卷結構.試題類型全卷分為第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分為150分.試卷結構如下：題型題數(shù)分值說明第I卷選擇題1260四選一型的單項選擇第n卷填空題416只需直接填寫結果，不必寫出具體解答過程解答題674要求寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程.難度控制試題按其難度分為容易題、中等難度題和難題.難度在0.7以上的試題為容易題，難度為0.4-0.7的試題是中等難度題，難度在0.4以下的試題為難題.試卷由三種難度的試題組成，并以中等難度題為主.命題時根據(jù)有關要求和教學實際合理控制三種難度試題的分值比例（大致控制在3:5:2）及全卷總體難度.W.考試內(nèi)容及要求一、考核目標與要求數(shù)學科高考注重考查中學數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想方法，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題和解決問題的能力。具體考試內(nèi)容根據(jù)教育部頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗》（以下簡稱《課程標準》）、教育部考試中心頒布的《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科?課程標準實驗）》、《四川省普通高中課程數(shù)學學科教學指導意見》確定。關于考試內(nèi)容的知識要求和能力要求的說明如下：1.知識要求知識是指《課程標準》所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2中的數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學思想方法，還包括按照一定程序與步驟進行運算，處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能.各部分知識的整體要求及其定位參照《課程標準》相應模塊的有關說明.對知識的要求由低到高分為了解、理解、掌握三個層次(分別用A、B、C表示)，且高一級的層次要求包含低一級的層次要求.了解、理解、掌握是對知識的基本要求.(1)了解&)：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，知道這一知識內(nèi)容是什么，按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能(或會)在有關的問題中識別、認識和直接應用。這一層次所涉及的主要行為動詞有：了解，知道、識別，模仿，會求、會解等。(2)理解(B)：要求對所列知識內(nèi)容有理性的認識，知道知識間的邏輯關系，能夠?qū)λ兄R作正確的描述說明并用數(shù)學語言表達，能夠解釋、舉例或變形、推斷，能夠利用所學的知識內(nèi)容對有關問題作比較、判別、討論，具備利用所學知識解決簡單問題的能力這一層次所涉及的主要行為動詞有：描述，說明，表達、表示，推測、想象，比較、判別、判斷，初步應用等.(3)掌握(C)：要求能夠?qū)λ械闹R內(nèi)容有較深刻的理性認識，形成技能，能夠推導證明，能夠利用所學知識對比較綜合的問題進行分析、研究、討論，并且加以解決這一層次所涉及的主要行為動詞有：掌握、導出、分析，推導、證明，研究、討論、運用、解決問題等..能力要求能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力及應用意識和創(chuàng)新意識.(1)空間想象能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合與變形；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì).(2)抽象概括能力：對具體的、生動的實例，在抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì);從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能應用其解決問題或作出新的判斷(3)推理論證能力：會根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題，論證某一數(shù)學命題的真實性.推理包括合情推理和演繹推理，論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.(4)運算求解能力：會根據(jù)概念、公式、法則對數(shù)、式、方程和幾何量進行正確的運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件，分析、尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算.(5)數(shù)據(jù)處理能力：會依據(jù)統(tǒng)計中的方法收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷、解決給定的實際問題(6)應用意識：能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型；應用相關的數(shù)學方法解決問題并加以驗證，并能用數(shù)學語言正確地表達和說明.應用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關的數(shù)量關系，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，構造數(shù)學模型，并加以解決(7)創(chuàng)新意識：能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題..個性品質(zhì)要求個性品質(zhì)是指考生個體的情感、態(tài)度和價值觀.要求考生具有一定的數(shù)學視野，認識數(shù)學的科學價值和人文價值，崇尚數(shù)學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數(shù)學的美學意義就考試而言，要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時間，以實事求是的科學態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現(xiàn)鍥而不舍的精神.考查要求數(shù)學學科的系統(tǒng)性和嚴密性決定了數(shù)學知識之間內(nèi)在聯(lián)系的深刻性，包括各部分知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數(shù)學試卷的框架結構.(1)對數(shù)學基礎知識的考查，既要全面又要突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內(nèi)容，要占有較大的比例，構成數(shù)學試卷的主體。考查應注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面.從學科的整體高度和思維價值的高度設計問題，在知識網(wǎng)絡交匯點設計試題，使對數(shù)學基礎知識的考查達到必要的深度(2)對數(shù)學思想方法的考查，是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必然要與數(shù)學知識相結合，通過對數(shù)學知識的考查，反映考生對數(shù)學思想方法的掌握程度.考查時，應從學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧。(3)對數(shù)學能力的考查，就是以數(shù)學知識為載體，從問題入手，把握學科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學觀點組織材料.高考的數(shù)學命題，強調(diào)“以能力立意”，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能.能力的考查以推理論證能力和抽象概括能力的考查為核心，全面涉及各種數(shù)學能力，強調(diào)綜合性、應用性，并要切合考生實際，強調(diào)其科學性、嚴謹性、抽象性，強調(diào)探究性、綜合性和應用性。對空間想象能力的考查主要體現(xiàn)在對文字語言、符號語言及圖形語言的互相轉(zhuǎn)化上；對運算求解能力的考查主要是對算法和推理的考查，考查以代數(shù)運算為主；對數(shù)據(jù)處理能力的考查主要是考查運用概率統(tǒng)計的基本方法和思想解決實際問題的能力.(4)對應用意識的考查主要采用解決應用問題的形式.應用問題的命題要堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設計要充分考慮中學數(shù)學教學的實際和考生的年齡特點，并結合考生具有的實踐經(jīng)驗，使數(shù)學應用問題的難度符合考生的實際水平.(5)對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查.在考試中通過創(chuàng)設新穎的問題情境，

構造有一定深度和廣度的數(shù)學問題進行考查。試題設計要注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性，著眼數(shù)學主體內(nèi)容、體現(xiàn)數(shù)學素質(zhì)；試題主要以反映數(shù)、形運動變化及其相互聯(lián)系的問題出現(xiàn)，主要為研究型、探索型、開放型等類型的問題.(6)數(shù)學學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思維方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現(xiàn)實性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力體現(xiàn)對考生綜合數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學學習現(xiàn)狀及潛能的考查.、考試范圍與要求層次考試內(nèi)容要求層次ABC集合與常用邏輯用語集合集合的含義V集合的表示V集合間的基本關系V集合的基本運算V常用邏輯用語命題的概念V“若P，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題V四種命題的相互關系V充要條件V簡單的邏輯聯(lián)結詞V全稱量詞與存在量詞V函數(shù)概念與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)函數(shù)函數(shù)的概念與表示V映射V單調(diào)性與最大(小)值V奇偶性V指數(shù)函數(shù)有理指數(shù)幕的含義V

實數(shù)指數(shù)幕的意義V幕的運算V指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)V對數(shù)函數(shù)對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)V換底公式V對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)V指數(shù)函數(shù)y=“X與對數(shù)函數(shù)J=logX互為反函數(shù)（a>0且a豐1）V冪函數(shù)幕函數(shù)的概念V冪函數(shù)J=X,y=x2,y=x3,11y=—,y=x2的圖象XV函數(shù)與方程函數(shù)的零點V二分法V函數(shù)的模型及其應用函數(shù)模型的應用V三角函數(shù)、三角恒等變化、解三角形任意角的概念、弧度制任意角的概念和弧度制V弧度與角度的互化V三角函數(shù)任意角的正弦、余弦、正切的定義V單位圓中的三角函數(shù)線及其應用V誘導公式V同角三角函數(shù)的基本關系式V周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的周期V函 數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象和性質(zhì)V函數(shù)y=Asin（3x+①）的圖象V

用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題V三角恒等變換兩角和與差的正弦、余弦、正切公式V二倍角的正弦、余弦、正切公式V簡單的三角恒等變換V解三角形正弦定理、余弦定理V解三角形V數(shù)列數(shù)列的概念數(shù)列的概念和表示法V等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列的概念V等比數(shù)列的概念V等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式V等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式V用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關知識解決一些簡單的實際問題V不等式一元二次BDS解一兀二次不等式V簡單的線性規(guī)劃用二k次不等式組表示平面區(qū)域V簡單的二元線性規(guī)劃問題V基本不等式b而2(a,b>0)基 本 不 等 式_>4ab(a,b>0)的證明過程V用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題V平面向量平面向量平面向量的相關概念V向量的線性運算向量加法、減法及其幾何意義V向量的數(shù)乘及其幾何意義V

兩個向量共線V平面向量的基本定理及坐標表示平面向量的基本定理V平面向量的正交分解及其坐標表示V用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算V用坐標表示的平面向量共線的條件V平面向量的數(shù)量積數(shù)量積及其物理意義V數(shù)量積與向量投影的關系V數(shù)量積的坐標表示V用數(shù)量積表示兩個向量的夾角V用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系V向量的應用用向量方法解決簡單的問題V導數(shù)及其應用導數(shù)概念及其幾何意義導數(shù)的概念V導數(shù)的幾何意義V導數(shù)的運算根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=1,y=&的x導數(shù)V導數(shù)的四則運算V簡單的復合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的導數(shù)）V導數(shù)公式表V導數(shù)在研究函數(shù)中的應用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（其中多項式函數(shù)不超過三次）V函數(shù)的極值、最值（其中多項式函數(shù)不超過三次）V

數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入復數(shù)的概念與運算復數(shù)的基本概念，復數(shù)相等的條件V復數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義V復數(shù)代數(shù)形式的四則運算V復數(shù)代數(shù)形式加減法的幾何意義V立體幾何初步空間幾何體柱、錐、臺、球及其簡單組合體V簡單空間圖形的三視圖V斜二測法畫簡單空間圖形的直觀圖V球、棱柱、棱錐的表面積和體積V點、直線、平面間的位置關系空間線、面的位置關系V公理1、公理2、公理3、公理4、定理1V線、面平行或垂直的判定V線、面平行或垂直的性質(zhì)V用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的簡單命題V空間向量與立體幾何空間直角坐標系空間直角坐標系V空間兩點間的距離公式V空間向量及其運算空間向量的概念V空間向量基本定理及其意義V空間向量的正交分解及其坐標表示V公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

空間向量的線性運算及其坐標表示V空間向量的數(shù)量積及其坐標表示V運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直V空間向量的應用直線的方向向量V平面的法向量V向量語言表述線、面位置關系V是否合為一條向量方法證明有關線、面位置關系的一些定理V線線、線面、面面的夾角V平面解析幾何初步直線與方程直線的傾斜角和斜率V過兩點的直線斜率的計算公式V兩條直線平行或垂直的判定V直線方程的點斜式、兩點式及一般式V兩條相交直線的交點坐標V兩點間的距離公式、點到直線的距離公式V兩條平行線間的距離V圓與方程圓的標準方程與一般方程V直線與圓的位置關系V兩圓的位置關系V用直線和圓的方程解決簡單的問題V圓錐曲線與方程圓錐曲線橢圓的定義及標準方程V橢圓的幾何圖形及簡單性質(zhì)V拋物線的定義及標準方程V10

拋物線的幾何圖形及簡單性質(zhì)J雙曲線的定義及標準方程J雙曲線的幾何圖形及簡單性質(zhì)J直線與圓錐曲線的位置關系J曲線與方程曲線與方程的對應關系J算法初步算法及其程序框圖算法的含義J程序框圖的二種基本邏輯結構J基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句J計數(shù)原理加法原理、乘法原理分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理J用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題J排列U與組合排列、組合的概念J排列數(shù)公式、組合數(shù)公式J用排列與組合解決一些簡單的實際問題J一項式定理用計數(shù)原理證明一項式定理J用一項式定理解決與一項展開式有天的簡單問題J統(tǒng)計隨機抽樣簡單隨機抽樣J分層抽樣和系統(tǒng)抽樣J用樣本估計總體概率分布表、直方圖、折線圖、莖葉圖J樣本數(shù)據(jù)的基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差）J用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征J變量的相關性線性回歸方程J概率事件與概率隨機事件的概率J11

兩個互斥事件的概率加法公式V古典概型古典概型V幾何概型幾何概型V概率取有限值的離散型隨機變量及其分布列V超幾何分布V條件概率V事件的獨立性Vn次獨立重復試驗與二項分布V取有限值的離散型隨機變量的均值V12一、選擇題:在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.［試題［試題1］（2010年全國理標卷類第1題改編）已知集合A={x||x|<2B={xxx<3,x￡Z}，則AB=(D.{0,1,2}A.(0,2) B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2}［答案］D.［說明］本題考查集合的交集運算以及絕對值不等式、無理不等式的解法.［試題2］（2010年全國理標卷類第2題）已知復數(shù)z=(1-［試題2］（2010年全國理標卷類第2題）已知復數(shù)z=(1-3i)2‘z是z的共軛復數(shù)，1A.一41B.一2C.1［答案］A.3+i由已知可得z= .二h—、.；3i?y3+i-2(+J3i)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"— <31工31 1,Z-Z=(-—+-i)?(- i)=-\o"CurrentDocument"4 4 4 4 4［說明］本題考查復數(shù)概念與運算.4,5這五個數(shù)字組成的沒有重［試題3］（2006年北京理工類第4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有A.36個A.36個B.24個C.18個D.6個［答案］B.［說明］本題考查排列、組合應用題.將所給元素進行分類，是解決排列組合混合問題常用思想.“先取后排”是解決這類問題的基本方法.［試題4］（2004年北京理工類第3題改編）設m,n是兩條不同的直線，a,P,丫是三個不同的平面.給出了下列四個命題:①若m①若mla,n/a，則mln；P/y,mla，則m±y；③若m③若m〃a,n//a，則m〃n；④若a±y,若中正確命題的序號是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④13［答案］A.［說明］本題主要考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直關系，并考查把符號語言、文字語言、圖形語言進行轉(zhuǎn)換的能力，以及空間想象能力.［試題5］（2010全國理工類新課標第7題）如果執(zhí)行如圖1所示的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（［答案］第一次運行［答案］A.［說明］本題主要考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行、垂直關系，并考查把符號語言、文字語言、圖形語言進行轉(zhuǎn)換的能力，以及空間想象能力.［試題5］（2010全國理工類新課標第7題）如果執(zhí)行如圖1所示的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（［答案］第一次運行N=51<5成立，進入第二次運行；k=2,S==)2<5成立，進入第三次運行；k=33x4'3<5成立，否輸出s結束入第四次運行;1+1+，+，+」1x22x33x44x55x6'5<5不成立，此時退出循環(huán)，輸出S.因此答案選D.［說明］本小題考查程序框圖的循環(huán)結構，及考生的識圖能力和簡單的計算能力，題目難易適中，找出規(guī)律及最后一次運行是解題的關鍵.［試題6］（2005年北京理工類改編）若Ia1=2,1b1=1,c=a+b，且C,a，則向量a與［試題6］b的夾角為（兀62兀35兀D.兀62兀35兀D.6［答案］由兩向量的夾角公式cosaalibi和已知條件可知，只需求得a?b的值即—，得a乙可.由c=a+b，得a-c=a-a+a-b，再由已知求得a-b=-1,—，得a乙14

因此答案選C.［說明］本題考查向量、向量的模及向量的夾角等概念，考查向量的運算以及向量垂直的條件.［試題7］（2011年北京《考試說明》樣題工類類第7題）甲、乙兩名射擊運動員在某次測試中各射擊20次，兩人的測試成績?nèi)缦卤?甲的成績乙的成績環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446頻數(shù)4664），s2分別表示甲、乙兩名運動員這次測試成績的標準差，彳，可分別表示甲、乙兩名運動員這次測試成績的平均數(shù)，則有（）［答案］由甲、乙成績分布的對稱性可得x1—x2,再根據(jù)標準差是刻畫成績的分散與集中程度的量得到S1>s2.因此答案選B.［說明］本題主要考查平均數(shù)、標準差的概念[試題8]（2010全國一理工類第8題）設a=10g32,b=In2,c=5一2，則（）A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<bD.c<b<aTOC\o"1-5"\h\z1 1 ］［答案］C.a=log2= ,b—1n2― ，而log3>loge>1，.二a<b,c―52\o"CurrentDocument"3log3 loge2 2\o"CurrentDocument"2 2］忑，而V5>2—log24>log23，,c<a,綜上c<a<b.［說明］本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的性質(zhì).［試題9］（2010年全國一理工類第4題）假設雙曲線的漸近線與拋物線J―x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（）A.途B.2 C.<5D.a6TOC\o"1-5"\h\zx2 j2 n r［答案］雙曲線— —1的漸近線方程為J-土一x，?二J—x2+1與漸近線相m2 n2 mJ—5,m2,八一n n2 cJ—5,m2切，.?.x2+1±—x―0只有一個實根，?，?———4—0,.?. ―4,m m2 m2???e—『5，因此答案選C.15

［說明］本題考查雙曲線離心率的求法、對雙曲線漸近線方程的理解以及直線與拋物線位置關系的判斷.本題求解的關鍵是利用直線與拋物線相切，得到消元后的二次方程的判別式等于0，由此得到m,n之間的關系式.［試題10］（2011全國理工類第6題）已知直二面角a-1-P，點Aea,AC11,C為垂足，點Bep,BD11,d為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則CD=()D.1圖2A.2 B.<3 D.1圖2［答案］如圖2,連接BC，在直二面角a—1—P中，AC11,AAC1p，.二AC1BC.AAABC為直角三角形,ABC=%22-12=3.在Rt.NBCD中，BC=%3 ,BD=1ACD=v(<3)2-1=.Q.答案選C.本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的關系以及空間想象能力和數(shù)據(jù)［本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直的關系以及空間想象能力和數(shù)據(jù)［試題11］（2009年四川省理工類第6題）已知a,b,c,d為實數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a-c>b-d”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件［答案］:c>d,A-c<-d，又a>b,Aa-c與b-d的大小無法比較；當a-c>b-d成立時，假設a<b,-c<-d,Aa-c<b-d,與題設矛盾，Aa>b.綜上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要而不充分條件.因此答案選B.［說明］本題主要考查充分必要條件的判斷，解題時注意反證法的應用.［試題12］（2011全國理工類新課標第1題）已知直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A,B兩點，IABI為C的實軸長的2倍，C的離心率為A.<2B.33 C.2D. 3［答案］B.［說明］本題主要考查對雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應用.［試題13］（2011年北京理工類第7題改編）某四棱錐的三視圖如圖3所2示，該四棱錐的表面積是（）正（主）視圖側(cè)（左）視圖16

A.32B.16+16<2C.48 d.16+32<2［答案］由三視圖還原幾何體的直觀圖如圖4所示.S表=(-2X4X2j，)x4+4X4=16+16vA.32B.16+16<2C.48 d.16+32<2［答案］由三視圖還原幾何體的直觀圖如圖4所示.S表=(-2X4X2j，)x4+4X4=16+16v2，因此答案選B.［說明］本題考查三視圖及幾何體表面積的計算，考查空間想象能力和運算求解能力.［試題14］（2006年北京理工類5改編）已I（3a-1）x+4a,x<1,知f（x）=1： ［是（-8，+8）Ilogx,x>1ta上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A.(0,1)7，1C.D.［答案］C.函數(shù)f（x）在（-8,1）內(nèi)為減函數(shù)的條件是3a-1<0.函數(shù)f（x）在［1,+8）內(nèi)為減函數(shù)的條件是0<a<1.要使f（x）是（-8,+8）上的減函數(shù)，還應有(3a-1)-1+4a>log1,由上可解得.1<a<La 7 3［試題15］（2010全國理工類新課標第9題）若cosa=-4,a是第三象限的角，則1a1+tan—21a1-tan一2A.B.C.2 D.-2［答案］A.由于a是第二象限角，故sina=-,tana= ="，又7G（k兀+~，5cosa4 2 2一 3兀 a（k兀+ ）,keZ,即彳是第二或第四象限角，從而，由二倍角公式得4 2a2tan2tana= a2tan2tana= -a1-tan22=-,解得tan-=-3或彳，由于二是第二或第四象限角，即tan-<0,2 3 2 217

?a1+tan1-3_11+1-3_11+3=-2故tan—=-3，從而2 1 ,a1-tan—2［說明］本題考查同角三角函數(shù)關系、三角恒的變換.角的范圍的確定是解題的關鍵.［試題16］(2006全國二理工類卷第12題)函數(shù)f(x)=￡|x-n\的最小值為()n=1A.190 B.171 C.90 D.45［答案］C.f(x)=￡［%-n|表示數(shù)軸上的點x到點1,2,3 ,19的距離的和，有幾何意義n=1可知當x=10時，f(x)有最小值f(10)=#|10-n|=90.n=1［說明］本題主要考查絕對值的幾何意義和數(shù)形結合的思想.［試題17］(2008年北京理工類7題)過直線y=x上的一點作圓(x-5)2+(y-1)2=2的兩條切線l;12，當直線l，12關于y=x對稱時，它們之間的夾角為()A.30 B.45C.60D.90［答案］C.［說明］本題主要考查直線與圓的位置關系，數(shù)形結合的思想方法與分析問題解決問題的能力.關鍵是將點到直線的最近距離轉(zhuǎn)換為對此問題.［試題18］(2011全國理工類新課標第11題)設函數(shù)f(x)=sin(3x+6+cos(3x+p)兀一(3>0,|6<)的最小正周期為冗，f(-x)=f(x)則()乙一一兀一 一兀3兀.…A.y=f(x)在(0,—)單調(diào)遞減 B.y=f(x)在(，)單調(diào)遞減TOC\o"1-5"\h\z乙 l,O O0 兀 。兀3兀C.y=f(x)在(0,-)單調(diào)遞增 D.y=f(x)在(-,)單調(diào)遞增\o"CurrentDocument"乙 II［答案］A.［說明］本題主要考查三角函數(shù)周期的求法、三角函數(shù)的性質(zhì)的理解和應用.考查公式asinx+bcosx=飛a2+b2sin(x+①)得理解.本題用了下列結論：若是f(x)=sin(3x+6兀偶函數(shù)，則9=k兀+-(kGZ).［試題19］(2006年北京理工類8題)下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A,B,C的機動車輛數(shù)如圖所示，圖5中x『x2,x3分別表示該時段單位時間通過路段弧AB，弧BC，弧CA的機動車輛數(shù)20,30；35,30；55,50(假設：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等)，則()18

x>x>xx>x>x>xx>x>xx>x>x［答案］C.依題意x>x>xx—20+30=x12有4x—35+30=x23x—55+50=x于是可得x2>x3>x1.［說明］本題是一道以環(huán)島交通流量為背景的應用題，主要考查方程的思想和不等式的性質(zhì)，對閱讀解能力以及在新穎的情境中選擇和建立適當?shù)臄?shù)學模型能力.圖5［試題20］（2010全國一理工類第10題）已知函數(shù)f（x）=lgx,若0<a<b,且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍是（）A.(2<2,+R)B.［2v,2,+8) C.(3,+8)D.［3,+s)a=b（舍去），或b=-,a［答案］B.???f(a)=f(b),所以|lga4a=b（舍去），或b=-,a… 2 ― 2 a+2b=a+—,又0<a<b,所以0<a<1<b,令f(a)=a+―,由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)知函a a數(shù)f(a)在ae(0,1)上為減函數(shù)，,f(a)>f(1)=1+1=3,即a+2b的取值范圍是⑶+8).［說明］本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時極易忽視a的取值范圍，而利用均值不等式求得a+2b=a+2>2<2,從而錯選A,這也a是命題者的用苦良心之處.［試題21］（2011年四川省理工類第12題）在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一個偶數(shù)a和一個奇數(shù)b構成以原點為起點的向量a=（a,b）.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為n，其中面積不超過4的m平行四邊形的個數(shù)為m，則n4

A.—

154

A.—

151B.一32C.一52D.一3以原［答案］B.a向量的坐標有以下6種情況：(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形C2=15（個）.即n=15,以向量a,619b為鄰邊作平行四邊形的面積S=2S=2同|"卜sin：［a,b；；?2二|a||b|?J1-cos2::a,b)；=|a||b|?1-(a?b)2

(聞閭)2、i(ab)2-(a?b)2.分別以a=(2,1),,b=(2,3);a=(2,1),b=(4,1);a=(2,1),,b=(4,3);a=(2,3),b=(2,5);— — ...一一 一.->, - --m5 1a=(4,5),b=(2⑶為鄰邊作平行四邊形面積不超過4，故m="?.?n二百=3［說明］本題綜合考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的應用、排列組合知識；本題綜合性較強.［試題22］(2010年四川省理工類第12題)設a>b>c>0，則2a2+二+〈二?一 ab a(a-b)-10ac+25c2的最小值是()A.242<5D.5［答案］B.aba(a-b)-10ac+25c2=11aA.242<5D.5［答案］B.aba(a-b)-10ac+25c2=11a2+—+ +a2-10acaba(a-b)+25c2=a2+aba(a-b)+(a-5c)2>a2+—+aba(a-b)1=a2-ab+ab+—ab+ i =a(a-b)+ + +ab+—>2+2=4,當且僅當a(a-b)=1且ab=1,a(a-b) a(a-b) ab二.正 ■萬a=5c即a=%2,b=——，a=—時取等2 5因此答案選B.［說明］本題考查配方法、放縮法、均值不等式，應靈活運用添項、減項的方法.二、填空題：把答案填在題中橫線上.［試題22］(2010年四川省理工類第3題改編)若變量X,yX+y?6,滿足約束條件｛x-3y<-2,X>1,則z=2X+3y的最小值為［答案］5.如圖6,作出可行域AABC,再作出初始直線2l0:2x+3y=0，即y=—3%,發(fā)現(xiàn)l向上移動時z越來越大，0故l平移到過。點時Z最小，0又C(1,1)一??z.=2+3=5.因此答案選C.min［說明］本題主要考查線性規(guī)劃問題以及數(shù)形結合思想.［試題23］(2011年北京《考試說明》樣題理工類第15題改編)在區(qū)間［0,9］上隨機取一實數(shù)，則該實數(shù)在區(qū)間［2,5］上的概率為 .［答案］3.由于試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度為9,構成該事件的區(qū)域長度為3,一，、，31所以概率為9=3-［說明］本題主要考查幾何概率的計算.x+1［試題24］)(四川省)理工類第 題)設曲線y=--在點(3,2)處的切線與直線x一1ax+y+1=0垂直，那么a=.［答案］-2.y===二1^=1+二7/.y'=［工；曲線在點(3,2)處的切x-1x-1x-1 (x-1；2線的斜率k=y1 =-2，又切線與ax+y+1=0垂直..?/-1］x(-a)=-1即a=-2x=3 n I2)［說明］本題主要考查導數(shù)、即導數(shù)的幾何意義、直線與直線垂直的條件等知識.考查邏輯能力、分析問題、解決問題叨能力.［試題25］(2011年全國理工類第9題改編)如果f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0<x<1時，f(x)=2x(1-x)，那么f(-5)=.［答案］f(x)是周期為2的奇函數(shù)，??.f(-5)=f(-5+2)=f(-：)=-f(J)=-2x^義(1-5)=-~.因此答案填-$.［說明］本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性以及數(shù)據(jù)處理的能力.［試題26］(2011年北京《考試說明》樣題理工類第16題改編)定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.21

已知數(shù)列｛"J是等和數(shù)列，且4=1公和為4,那么〃2012的值為，且這個數(shù)列的前2013項和S2013的值為.［答案］由“等和數(shù)列”的概念，即可由題意得出的等和數(shù)列為1,3,1,3,1,3,…，于是a=3,S=2013—1x（1+3）+1=4025.2012 2013 2［說明］本題主要考查數(shù)列的基本概念，考查綜合應用所掌握所學數(shù)學知識選擇有效的方法和手段對新穎的信息、情境和設問進行獨立的思考與探究，創(chuàng)造性地解決問題的能力.［試題27］（2006年北京理工類第12題）在AABC中，/A,/B,/C所對的邊長分別是a,b,c,若sinA：sinB：sinC=5:7:8，則a:b:c=,/B的大小是 .1 兀［答案］由正弦定理得a:b:c=5:7:8，由余弦定理得cosB=^,得/B=-.［說明］本題主要考查正弦定理和余弦定理.［試題28］（2010全國理工類新課標第14題）正視圖為一個三角形的幾何體可以是（寫出三種）［答案］三棱錐、三棱柱、圓錐.①三棱錐的正視線與其中一側(cè)面平行可以得正視圖為三角形；②三棱柱，把側(cè)面水平放置，正對著底，沿著一個側(cè)面看，得正視圖為三角形；③圓錐的底面水平放置，正視圖是三角形；［說明］本題主要考查三視圖的有關知識，從不同角度觀察同一個幾何體得到的圖形不一定相同，充分考查學生的空間想象能力以及畫圖、 頻率/組距用圖能力. 仇°35 1-a-一-一:?一?一［試題29］（2010年北京理工類11題））從某小0.020 學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）0.01C- 數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖7）.由圖中數(shù)據(jù)可0,0吟二一^~知a=.若要從身高在1120,130）,［130, 140）, ［140, 150］三組內(nèi)的學生中，用分層抽樣方圖7法選取18人參加一項活動，則從身高在［140,150］內(nèi)的學生中選取的人數(shù)應為 .［答案］0.030,3：由所有小矩形面積為1不難得到a=0.030，而三組身高區(qū)間的人數(shù)比為3:2:1,由分層抽樣的原理不難得到140-150區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為3人.［說明］本題考查統(tǒng)計知識，考查頻率分布直方圖及分層抽樣知識.［試題30］（2011年四川省理工類第15題）如圖8,半徑為R的球O22

中有一內(nèi)接圓柱.當圓柱的側(cè)面積最大時，求的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是［答案］2冗R2.設球一條半徑與圓柱相應的母線夾角為a，圓柱側(cè)面積圖8S=2S=2冗xRsinax2義Rcosa—28R2sin2a，。=工時，S取最大值2冗r2,此時球的表面積4與該圓柱的側(cè)面積之差為2冗R2.［說明］本題主要考查圓柱側(cè)面積公式、函數(shù)最值的求法及數(shù)形結合的思想［試題31］（2009年北京理工類第6題改編）若（1+72）5=a+八②a,b為有理數(shù)），［答案］70.《+v12）=c0（J2）+ c1 （；2）+c2C2）+C3（J2） +c4 C2）+C5（：2）=1+5v12+20+20<2+20+4<2=41+29<2由已知，得41+29<25=a+b%2,??.a+b=41+29=70.［說明］本題主要考查二項式定理及其展開式屬于基礎知識、基本運算的考查.［說明］本題主要考查二項式定理及其展開式屬于基礎知識、基本運算的考查.［試題32］［試題32］（2006年全國理二工類第11題改編）設S是等差數(shù)列｛a｝的前n項和，若則之S12［答案］且S=［答案］且S=A-n2+B-n,S10nS336A+6B6得B=3A所以00<2c2+ac—a2,36A+6B 36A+18A 3S 144A+12B144A+36A 1012［說明］本題主要考查等差數(shù)列的前n項和的理解，等差數(shù)列的前n項和是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0，可用待定系數(shù)求解.X2V2［試題33］（2010年；四川省理科類第9題改編）橢圓——+J=1（a>.b>0）的右焦a2b2點為F，直線x=吆與x軸的交點為A.在橢圓上存在點P，滿足線段AP的垂直平分線c過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（）［答案］1<e<1.設P橢圓上一點，又點F在AP的垂直平分線上，??.|PF|=|AFI又PF<a+b因此匕AF<a+c,2e2+e—1>0??.（2e—1）（e+1）>0又0<e<1,.，.|<e<1.［說明］本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，求解時應注意線段垂直平分線性質(zhì)的應用.轉(zhuǎn)化的23思想.［試題34］(2010年四川省理工類第16題)設S為復數(shù)集C的非空子集.若對任意%,yeS，都有x+y,x-y,孫eS，則稱S為封閉集.下列命題：①集合S={a+bi}(a,b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位)為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0eS；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足ScTcC的任意集合T也是封閉集.其中真命題是(寫出所有真命題的序號)［答案］①，②.對于實數(shù)a1,b1,a2,b2，有a1+b1i+a2+b2i=(a1+a2)+(b1+b2)ieS,a+bi一(a+bi)=(a.—a)+(b-b)ieS((a+bi)(a+bi)=(aa-bb)+(ab+ab)ieS,.,.①正確.當a1=a2,b1=b2時，a+bi—(a+bi)=0eS,.,.②正確.當S={0}時，S為封閉集，.?.③錯誤.取S={0},T={0,1,2}時，顯然2義3=6與T，?④錯誤.綜上可知，答案應填①，②.［說明］本題考查集合的概念、集合中元素與集合的關系、集合之間的關系等有關知識，考查學生運用所學知識解決新定義問題的創(chuàng)新應用能力，解題關鍵是正確理解封閉集的屬性，本題是拓展性題.三、解答題：解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.［試題35］(2009年四川理工類第17題改編)在AABC中，A,B為銳角，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c，且cos2A=-,sinB=上電TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5 10(I)求cos(A+B)的值；(II)若a+b=v'2—1,求a,b,c的值.\o"CurrentDocument"［答案］(I)A、B為銳角，sinB='10,「.cosB=1——sin2B=九1010 103又cos2A=1—2sin2A=5cosA=1——sin2A=2y5/.cos(A+B)=cosAcosB—/.cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB= X x = \o"CurrentDocument"5 10 5 10 224

(II)由(I)知C=匹，.二sinC=上2.由正弦定理

4 2sinAsinBsinC<5a=<10b=<2c,即a=22b,c=55b(II)由(I)知C=匹，.二sinC=上2.由正弦定理

4 2sinAsinBsinC<5a=<10b=<2c,即a=22b,c=55ba—b=v12-1,.\w2b—b=%2-1,??b=1a—22,c—55*［說明］本題主要考查同角三角函數(shù)間的關系，兩角和差的三角函數(shù)、??弦定理等基礎知識及基本運算能力.二倍角公式、正［試題36］(2010年北京第16題)已知｛a｝為等差數(shù)列，且a=-6(1)求｛an｝的通項公式；(2)若等比數(shù)列｛b｝滿足b=-8求｛b｝的前n項和公式.n［答案］(1)設等差數(shù)列｛an｝的公差為d?.??a3_0 Jaj2d--6,8—，??1%+5d=0.解得V-10(2)設等比數(shù)列｛b｝的公比為q.?:b=a+a+a=-24,2 12 3-24,q=3.，數(shù)列｛b｝的前n項和公式為S-24,q=3.，數(shù)列｛b｝的前n項和公式為S=1-q［說明］本題主要考查等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的通項公式和前 n項和公式.考查學生的運算求解能力.［試題37］(2011成都市高二期末調(diào)研理第20題)如圖9,在直四棱柱ABCD-々B1clRAA1=會，p、q分別是棱入q和ad的中點,(I)求證：QR1平面PBC；R為PB的中點 AA1=會，p、q分別是棱入q和ad的中點,(I)求證：QR1平面PBC；R為PB的中點 DBi(11)求二面角R-QC-B的余弦值.［答案］(I)VABCD為邊長為4的菱形，且ZDAB=60。，Q為AD的中點,CQB以Q為坐標原點建立如圖10所示的空間直角坐標系Q-xyz.???P(0,0,2<3),B(0,2、漢0),C(-4,2\/0),R(0,aV3)???QR;(0,av3),PB=(0,2<3,-2<3),CB=(4,0,0)*QRPB=0+6-6F,QRCB=0,???□□ F F ■ F-25A,QR1PB,QR1CB=0*

25A又PBBC=B，二QR±平面PBC.(II)設平面RQC的法向量為m=(羽y,z).』m』mQR=0由彳口nmQC=0□<3y+3Zz=0-4%+2V3y=0令y=1,得m=(一,1,-1).取平面QBC的法向量為n取平面QBC的法向量為n=(0,01).圖10-1cos<m,n>=~^==2；1111一， ..，一， ,. .2J1???二面角R-QC-B為銳角，，二面角R-QC-B的余弦值為11.[說明]本題主要考查立體幾何的主干知識，、線面的垂直證明、二面角角.考查空間想象能力、思維能力與運算能力，考查利用空間向量求二面角大小的方法.TOC\o"1-5"\h\z2 1_ .一[試題38](2011年四川理工類第22題改編)已知函數(shù)f(%)=-%+-,h(%)=內(nèi)3 2(I)設函數(shù)F(%)=f(%)-h(%)，求F(%)的單調(diào)區(qū)間與極值； 3一、3 . ，, 、.(II)設aeR，解關于%的方程log[-f(%-1)--]=logh(a-%)-logJ4-%)42 4 2 2［答案］(1)F(%)=—%+——%x,F1(%)=——-%~23 2 329_、cc9_、c 9令F(%)>0n%>—;F(%)<0n0<%<一F(%)=0n%=一16 16 169 …一， ，1 …，一，， ，1所以%=—是其極小值點，極小值為，.%=0是其極大值點，極大值為工16 8 23…一、3 .(2)—f(%—1)— =%—1；a-%2<4-%a-%2<4-%logh(a-%)-log(4-%)=log一「3、、 3〃由10gl2f(%-D-4］=10g2h(a-%)-log2(4-%)n10g乂%-D=log%-1=a~%-n%2-6%+a+4=04-%1036-4(a+4)<0na>5時方程無解26

2036—4(a+4)=0=a=5時x=33036—4(a+4)>0na<5方程的根為x1=3+J5-a,x2=3—J5-a［說明］本題主要考查用導數(shù)應用研究函數(shù)的單調(diào)性和極值.對數(shù)的運算、化歸的思想、含參數(shù)元一二次方程的討論.考查方程的思想和分類討論的思想.［試題39］已知拋物線C：y2=2px(p〉0)經(jīng)過點(2,4),A,B為拋物線C上異于坐標原點O的兩個動點，且滿足OA.OB=0.(I)求拋物線C的方程；(II)求證：直線AB恒過定點(2p,0)；(III)若線段AB的中垂線經(jīng)過點(16,0)，求線段AB的長.解：(I).??拋物線經(jīng)過點(2,4),??.p=4.???拋物線方程為y2=8x.(II)①當AB斜率不存在時，A(8,8),B(8,—8),此時直線AB過點(8,0).②當AB斜率存在時，設l—口kx+b,A(xjyi),B(x2,y2).Iy2=8x , ?T八聯(lián)立< nk2x2+(2kb-8)x+b2=0.Iy=kx+bb2 8b工x1x2二后,y1y2二—由OA-OB=0且b中0得，b=-8k.即直線過點(8,0)直線AB過定點(2p,0).(I)①當AB斜率不存在時，A(8,8),B(8,-8),此時IAB1=16.AB②當AB斜率存在時,設J：尸kx+b,A"y1),B(x2,y2)，AB中點坐標為(x0,M.ABy由(II),得k=--0x-80|y|y2=8x由\1 1nIy2=8x——>2y1-y2= 8x17「Jy2y???—-= 0.解得k=±1.即l:y=±(x-8). AIABI=8y10.kx-16 ab' /0綜上，當AB斜率不存在時，IABI=16；當AB斜率存在時，IAB1=8;10.［說明］本題主要考查拋物線的方程、拋物線與直線的位置關系、向量、過定點問題、中垂線問題、考查解析的思想方法.［試題40］(2010年北京理工類理工類第17題)某同學參加3門課程的考試.假設該27

同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為4，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為5p，q(p>q)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立.記；為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為;0123P125ab24125(I)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(II)求p,q的值；an)求數(shù)學期望e;.［答案］事件勺表示“該生第，?門課程取得優(yōu)秀成績”，產(chǎn)1,2,3,由題意知p(A1)=4，p(4)=p，p(A3)=q(i)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件飛=0”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是1-p也二0)二1-擊二125，(ii)由題意知p化—0)—p(彳A2?二5(1-p)(1-q)—11- 4 24P(3年P(AA2AX5pq=示整理得pq整理得pqA，p+q二1125, 一口3 2由p>q，可得p—5，q—5(III)由題意知a=p也=1)=p(AA2A3)+p(AA2A3)+p(AA2A3)4 1 1=5(1-p)(1-q)+5p(1-q)+5(1-p)q_37-125b=p化=2)=1-p化=0)-p化—1)-p6=3)58—125E匕=0義p(匕=0)+1xp&=1)+2p&=2)+3p&=3)28［說明］本小題主要考查概率、獨立事件、數(shù)學期望.方程的思想及分析問題、解決問題的能力.［試題41］(2010年全國新課標卷理工第19題)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例.(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？(3)根據(jù)(2)的結論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.附：P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828n(ad一bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)［答案］(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計值為500=14%.(2)K2=氏9.967.由于9.967>6.635,.?.有99%(2)K2=氏9.967.由于9.967>6.635,.?.有99%的200x300x70x430""把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關.(3)由(2)的結論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法，比采用簡單隨機抽樣方法更好.［說明］本題考查2x2列聯(lián)表、抽樣調(diào)查的方法、用樣本估計總體和設計抽樣方法搜集數(shù)據(jù)等知識.難度較大.［試題42］(2010全國理工類新課標第21題)設函數(shù)f(x)=分-1-l-ax2.(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當x>0時f(x)>0，求a的取值范圍29

［答案］(1)a=0時，f(x)=ex—1—x,f'(x)=ex—1.當xe(—s,0)時，f'(x)<0；當xe(0,+s)時，f'(x)>0.故f(x)在(—s,0)單調(diào)減少，在(0,+s)單調(diào)增加.(II)f'(x)=ex—1—2ax由(I)知ex>1+x，當且僅當x=0時等號成立.故f'(x)>x—2ax=(1—2a)x，從而當1—2a>0，即a<1時，f'(x)>0(x>0)，而2f(0)=0，于是當x>0時，f(x)>0.由ex>1+x(x豐0)可得e-x>1—x(x豐0).從而當a>1時，f'(x)<ex—1+2a(e-x—1)=e-x(ex—1)(ex—2a)，故當xe(0,In2a)時，2f'(x)<0，而f(0)=0，于是當xe(0,ln2a)時，f(x)<0.綜合得a的取值范圍為(—s,1］.［說明］本題主要考查導數(shù)運算、導數(shù)的幾何意義、導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關系、函數(shù)極值點的概念與求法等基本內(nèi)容；考查運算能力、分類討論的思想方法、分析問題和解決問題的能力.1—an+1［試題43］(2011全國理一工類第20題)設數(shù)列｛a｝滿足a1—an+1(II)設b=n? ， 1［答案］(I(II)設b=n? ， 1［答案］(I)由題設1—an+1=￡b,證明：s<1.kk=1^―｝^―｝是公差為1的等差數(shù)列.又1—an——=1,即｛1—an―--=1,故一--=n.所以a=1——.1—a1—a nnnn+1—nn 1TOC\o"1-5"\h\znn+1—nn 1(II)由(I)得b=n\o"CurrentDocument"--n11=— ——=-(II)由(I)得b=nnnn++1?<n <n n+1S=Eb=E(!——二1——<1.nkkkkk+1nn+1k=1 k=1［說明］本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式、裂項求和及不等式的證明，考查對新數(shù)列的認知.x2 y2［試題44］(2010全國理工類新課標第20題)設F,F分別是橢圓E：——+J=112 a2b2(a>b>0)的左、右焦點，過勺斜率為1的直線/與e相交于A,B兩點，且性叮,性B卜口勺成等差數(shù)列.(1)求E的離心率；30(2)設點p(0,-1)滿足|尸山二|PB|，求E的方程.［答案］(［答案］(I)由橢圓定義知|AF|+|BF|+|AB\=4a，又2AB=AF+BF，得|AB|=|AB|=4al的方程為y=x+c，其中c=aa2-b2.設A(x,y)，B(x,y)，則A、B兩點坐標滿足方程組《化簡的點坐標滿足方程組《化簡的(a2+b2)x+2acx+a(c-b)=20則-2a2c

x+x= ,xx-2a2c

x+x= ,xx1 2a2+b2 12a2Cc2-b2)-因為直線AB斜率為1,所以IABI=V2|x-xaa2-b24ab2,、 、c,故a2=2b2所以E的離心率e=—,a=在~~2(II)設AB的中點為N(x0,y°),由(I)y0y0=x0+c=3.由|pa|=pBI，得kpN=-1即y0+=-1,得c=3,從而a=3V2,b=3x0x2y2一故橢圓E的方程為—+—=1.18 9［說明］本是考查橢圓定義、弦長公式、離心率；待定系數(shù)法、橢圓的方程.解析思想、方程的思想.1+ax［試題45］(2010年四川理工類第22題改編)設f(x)= (a>0且a中1),1-axg(x)=tg^―1,(x>1或x<-1).ax+1(I)當a(I)當a=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，證明：工g(k)>k=2(II)當0<a<2時，試比較乎f(k)-n與4的大小，并說明理由.k=1［答案］(1)當a=e時，g(x)=lnx_1(x>1或x<-1)

x+1yg(k)=ln1+ln2+ln3+ +Inn-13 4 5n+1=lnf1=lnf1x2x3x1345n-1、x n+1/...n(n+1)=-ln 31方法一設u(z)=-lnz2-^~一z-u/(z)u/(z)=-—+