2019年福建質(zhì)檢數(shù)學試題及答案理科

2019年福建省高考沖刺第一次模擬考試理科數(shù)學本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題），第n卷第21題為選考題,其他題為必考題.本試卷共5頁.滿分150分.考試時間120分鐘?注意事項：.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上..考生作答時，將答案答在答題卡上.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效..選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號;非選擇題答案使用0.5鳧米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚..做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑..保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回?參考公式：樣本數(shù)據(jù)孫/2,…逐”的標準差 錐體體積公式$=7?（勺-通2+（--強+…+（4-動2] V=j~Sh其中三為樣本平均數(shù) 其中s為底面面積m為高柱體體積公式 球的表面積、體積公式。 4aV-Sh S=4gR2,V=yTr/?3其中S為底面面積涓為高 其中R為球的半徑第I卷（選擇題共50分）一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分，共50分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)產(chǎn)等于2-1A.1-i B.1+iC.—1+i D.-1—i2.設(shè)全集U=R,集合4={xlx（x-2）<0},B= <a},若力與B的關(guān)系如右圖所示,則實數(shù)a的取值范圍是A.[0,+co） B.（0,+8）C.[2,+?） D.（2,+oo）理科數(shù)學試題第1頁（共5頁）

.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中,=4,則數(shù)列｛log24｝的前7項和等于TOC\o"1-5"\h\zA.7 B.8 C.27 D.28.已知向量:。與，的夾角是120。,且IgI=1,1*1=2.若(0+成)，出則實數(shù)A等于A.1 B.-1 C.-亨 。.亭.運行右圖所示框圖的相應程序,若輸入的值分別為log23和1密2,則輸出M的值是A.O B.1C.2 D.-1.設(shè)二次函數(shù)/(切=g2-2ox+c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且/(m)W/(0)，則實數(shù)m的取值范圍是A.(-8,0] B.[2,+oo)C.(-oo,0]U[2,+oo) D.[0,2]7.設(shè)是空間兩條不同直線,a,S是空間兩個不同平面，則下列(開始命題的逆命題正確的是???(開始A.當mCa,nC^3時，若m〃跖則a//pB.當 時，若則C.當m(Za,nUQ時，若 〃9則a〃￡D.當mCa,nC/9時，若m則九la.在AABC中，角4,8,C所對的邊分別為a,6,c.若a=1,c=4％8=45。,則sinC等于.函數(shù)/(切=的圖象上關(guān)于y軸對稱的點共有[cOSTTXfX<0A.0對 B.1對 C.2對 D.3對.定義在區(qū)間[0,a]上的函數(shù)/(4)的圖象如右下困所示，記以月(0J(0)),B(aJ(a)),C(x,/(x))為頂點的三角形的面積為S?),則函數(shù)5(%)的導函數(shù)S,⑺的圖象大致是理科數(shù)學試題第2理科數(shù)學試題第2頁(共5頁)第II卷（非選擇題共100分）二、填空題:本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡相應位置?.（l4-21dx=..設(shè)數(shù)列｛aJ的前〃項和為S.,且冊=sin詈/wN?，貝IJ5師=?.若以雙曲線號-/=1的右頂點為圓心的圓恰與雙曲線的漸近線相切，則圓的標準方程是.[\x\<2,1.已知平面區(qū)域。i=（,y） ,。2=｛（*%）1狂-7+2<0｝.在區(qū)域。1內(nèi)隨機選11/1<2取一點也若點M恰好取自區(qū)域的概率為P，且0<pW：,則4的取值范圍是?.某棋賽采用單循環(huán)賽（每兩名選手均比賽一盤）方式進行,并規(guī)定:每盤勝者得1分,負者得0分，平局各得0.5分.今有8名選手參加這項比賽，已知他們的得分互不相等，且按得分從高到低排名后，第二名選手的得分恰好是最后四名選手的得分之和.以下給出五個判斷：①第二名選手的得分必不多于6分；②第二名選手的得分必不少于6分；③第二名選手的得分一定是6分；④第二名選手的得分可能是6.5分；⑤第二名選手的得分可能是5.5分.其中正確判斷的序號是（填寫所有正確判斷的序號）.三、解答題:本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步噱..（本小題滿分13分）已知函數(shù)/（%）=，3cos%+sinxcoax-警產(chǎn)wR（I）設(shè)角a的頂點在坐標原點,始邊在。軸的^負半軸上，終邊過點P（。，-翔，求加）的值;（n）試討論函數(shù)/（%）的基本性質(zhì)（直接寫出結(jié)論）.理科數(shù)學試題第3頁（共5頁）背面還有試題

17.（本小題滿分13分）某中學將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人.陳老師采用4、8兩種不同的教學方式分別在甲、乙兩個班級進行教改實驗.為了解教學效果，期末考試后,陳老師對甲、乙兩個班級的學生成績進行統(tǒng)計分析，畫出頻率分布直方圖（如下圖）.記0.0400.0360.0320.0280.0240.0200.0160.0120.0080.004IAA1 1 1 1 .05060708090100成績(分)乙班（I）從乙班隨機抽取2名學生的成績，記“成績優(yōu)秀”的個數(shù)為金求§的分布列和數(shù)學期望；2一)（口）根據(jù)旗率分布直方圖填寫下面2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%2一)甲班（力方式）乙班（8方式）總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計n(ad-be)2九(幾11ntt-nl2n2l)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024（此公式也可寫成/=(a+6)(c+d)(a+c)(6+J).（本小題滿分13分）如圖，在RtZUBC中,AB=BC=4,點E在線段AB上.過點E作EF//BC交AC于點尸,將△AE尸沿EF折起到△PEF的位置（點4與P重合），使得4PE8=60。.（I）求證:EFJLP8；（n）試問:當點E在線段AB上移動時,二面角P-FC-5的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出其定值;若不是，說明理由.理科數(shù)學試題第4頁（共5頁）cc的參數(shù)方程為.(本小題滿分13分)已知函數(shù)/(*)?+￥+alnx(I)求/(好的單調(diào)遞增區(qū)間；(H)設(shè)a=1,g(4)=/'(%)，問是否存在實數(shù)人使得函數(shù)gG)的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于左？若存在，求k的取值范圍;若不存在，說明理由.TOC\o"1-5"\h\z.(本小題滿分14分) r已知橢圓E的中心在原點，焦點在4軸上，離\\ Z/心率為李，且過拋物線C：x2=4y的焦點F. /(1)求橢圓E的方程；(n)過坐標平面上的點p作拋物線c的兩條 I7：)x切線。和M它們分別交拋物線c的另一條切線4于兩點. 『(i)若點「恰好是點F關(guān)于4軸的對稱點，且，3與拋物線C的切點恰好為拋物線的頂點(如圖)，求證:A4B尸的外接圓過點F；(ii)試探究:若改變點F'的位置，或切線，3的位置，或拋物線C的開口大小,(i)中的結(jié)論是否仍然成立？由此給出一個使(i)中的結(jié)論成立的命題，并加以證明.(溫馨提示:本小題將根據(jù)給出結(jié)論的一般性和綜合性程度給分，但若給出的命題是假命題，本小題不得分)21.本題有(1)、(2)、(3)三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.(1)(本小題滿分7分)選修4-2：矩陣與變換已知矩陣M=f：)的兩個特征值分別為用=-1和入2=4.(I)求實數(shù)6的值；(n)求直線x-2y-3=0在矩陣M所對應的線性變換作用下的像的方程.(2)(本小題滿分7分)選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標平面內(nèi)，以坐標原點。為極點逐軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線x=sina. 一2萬C2c(。為參數(shù))，曲線。的極坐標方程為所玳"作)=-苧.y=2cosa-2 q，(I)將曲線c的參數(shù)方程化為普通方程；(n)判斷曲線C與曲線D的交點個數(shù),并說明理由.(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講已知a,6為正實數(shù).(I)求證ba(n)利用(I)的結(jié)論求函數(shù)y=+邑(0<X<1)的最小值.X1-X理科數(shù)學試題第5頁(共5頁)

2019年福建省高考沖刺第二次模擬考試理科數(shù)學試題參考解答及評分標準說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應的評分細則.二、對計算題,當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過該部分正確解答應給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).四、只給整數(shù)分數(shù).選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題:本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題5分，共50分.1.B2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.B9.D10.D二、填空題:本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算,每小題4分，共20分.11.4；12.0；13.(x-2)2+/=^-；15.三、解答題:本大題共6小題，共80分,解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.本小題主要考查三角函數(shù)的定義、兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.滿分13分.11.4；12.0；13.(x-2)2+/=^-；15.三、解答題:本大題共6小題，共80分,解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.本小題主要考查三角函數(shù)的定義、兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.滿分13分.解法一:(I)因為點P(),-亨)在角。的終邊上,所以sina=-y^,cosa=y-./(a)=氐+sinacosa-亨二4x(-1-)2+(一亨)-一與二一奈(II)/(x)=^cos2x+sinxco&r二&X乙1+cos2x=-^-sin2x+^cos2x=sin(2x+y-). 函數(shù)/(切的基本性質(zhì)如下：①奇偶性：函數(shù)/(口既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù);②單調(diào)性：函數(shù)/(“)單調(diào)遞增區(qū)間為［而一雪，而+制，單調(diào)遞減區(qū)間為L A乙 JL乙J回+$說+碧］(AwZ)； ③最值:函數(shù)/(%)的最大值為1,最小值為-1; ④周期性：函數(shù)/(%)的最小正周期為E 理科數(shù)學試題答案第1頁(共8頁)11分12分13分解法二J(4)=-Acos2x+sinxcosx-與=有xL土半蟲+-i-sin2x一專=—sin2x+=—sin2x+乙x=sin(2x+作).(I)因為點P(/-亨)在角a的終邊上，所以a=2kir????所以f(a)=sinj2(2A：ir--y)+引=sin(4A；n-孑)=sin(-y-)=-冬(口)同解法一.注:如果考生正確給出函數(shù)/(“)的對稱軸或?qū)ΨQ中心等性質(zhì)，相應給分..本小題主要考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列、數(shù)學期望和獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應用意識，考查必然與或然思想、分類與整合思想等.滿分13分.解:(I)由頻率分布直方圖可得“成績優(yōu)秀”的人數(shù)為4.《的可能值為04,2. : 口(七C2207t1、CJ1184八C：6P(f=0)=C^=245^=1)="cT=1225^(f=2)=德=否.故f的分布列為0122071846r24512251225的“mn2071 184c6 196 40rWEf=Ox—+lx—+2x—(H)由頻率分布直方圖可得,甲班成績優(yōu)秀、成績不優(yōu)秀的人數(shù)分別為12,38,乙班成績優(yōu)秀、成績不優(yōu)秀人數(shù)分別為4,46.甲班(4方式)乙班(3方式)總計成績優(yōu)秀12416成績不優(yōu)秀384684總計505010010分根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，12分13分「12分13分衣- 16x84x50x50 24?762? 由于4.762>3.841,所以有95%的把握認為:“成績優(yōu)秀”與教學方式有關(guān)..本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查空間想象

能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等.滿分13分.(I)證明：在RtdABC中,???EF//BC,:.EF1AB.???EFLEB,EFtEP,X??EBREP=E,???EF上平面PEB. 又P8U平面PEB,；?EFLPB. 理科數(shù)學試題答案第2頁(共8頁)

(D)解:在平面PE8內(nèi)，過P點作尸DJ.8E于D,由(I)知EF,平面PE8,，EF1PD9??.PD上平面BCFE.在平面PEB內(nèi)過點B作直線BH//PD,貝！.平面8CFE. 6 分如圖，以8為坐標原點，記，屁，麗的方向分別為4軸，y軸/軸的正方向建立空間直角坐標系.設(shè)PE=x(O<x<4)，又,；AB=BC=4,BE=4-x9EF=x.在Rt4PED中，乙PED=60。,:?PD=￡x,DF=yx,.*.BD=4-x-^-x=4-ya;,/.C(4,0,0),F(x,4-x,0),P(0,4-9冬).從而不=(t-4,4-孫0),方=(一4,4-全,冬). 設(shè)/=(，0,兀/0)是平面PC尸的一個法向量，由n1?CF=0,nt?CP=0,與(%-4)+為(4-x)=0,—4&+(4-yx)y0+冬Z。=04一九=0,屬0-Zo=0,取，0=1,得為=(1,1,⑸是平面PFC的一個法向量? 9分又平面8CF的一個法向量為%=(0,0/)? 10分設(shè)二面角P-FC-B的平面角為明則38a=lcos38a=lcos〈〃i,〃2〉I=二爭因此當點E在線段AB上移動時,二面角P-FC-8的平面角的余弦值為定值,13分13分19.本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分非與整合思想及有限與無限思想等.滿分13分.TOC\o"1-5"\h\z解法一:(I)函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8), 1分?.?/?)=±+應+°1皿,..?/，(％)=1-岑+ 2分力 XX X當。=0時J'G)=1>0,所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)； 3分當a>0時，由/⑺>o,即("+2叱3-人>o,解得所以八①的單調(diào)遞增區(qū)間是X(a,+8)； 5 分當a<0時，由/⑷>0,即但絲心刃>0,解得力>-2a,所以/(外的單調(diào)遞增區(qū)間X是(-2a,+8)? 7 分理科數(shù)學試題答案第3頁(共8頁)

(口)當a=l時，&(%)=1-4+工假設(shè)存在實數(shù)兒使得g(%)的圖象上任意不同兩點連Xx線的斜率都不小于左,即對于任意盯 >0,都有網(wǎng)生二^^2小，X2一41TOC\o"1-5"\h\z亦即g(42)-辰2Ng(孫)一施卜 8分7 1考察函數(shù)無(%)=g(%)-顯=1-4+L-任(％>0). 9分xx故問題等價于/(%)-右0,即對%>0恒成立. 10分xx xx令”工>0,考察函數(shù)『3=4t3-?(t>0).x則?⑴=12?-2力，令「⑴=0,得”0(舍去)或"看「.2(如「.2(如+%2) 1?x2>X{>0>.. 22 > 22 -力/2 XlX2 3出考察函數(shù)日(4)=4?-?(x>0),由解法一知H(x)的最小值為-盛.理科數(shù)學試題答案=4(-1=)3-(^1=)2. 9 分小巧 產(chǎn)2 盧2第4頁(共8頁)當t變化時,F(t)與尸’(c)的變化情況如下表：t(°4)16"(1+8)尸’3一0+F(。極小值-壺/故知”)在(。吊)內(nèi)單調(diào)遞減，在弓，+8)內(nèi)單調(diào)遞增?所以當”看■時,F3取得最小值，且最小值為一忐 12分，當4>0時,F(一)；XXX故力的取值范圍是(-8,V解法二：(I)同解法一(H)當。=1時,&(%)=i--2X線的斜率都不小于K即對于任2 1丁g(%2)-g(%)=1--2+—?%2 %2于是問題轉(zhuǎn)化為Aw氫與衛(wèi)三-忘,當且僅當x=6時等號成立.81? 13分+ 假設(shè)存在實數(shù)A,使得g(工)的圖象上任意不同兩點連X:意>0,都有4"配6— (*)X2fc2 1 ( 、12(陽+孫)1i一」一對于任意0〉盯>0恒成立. 8分TOC\o"1-5"\h\z又因為焉皿所以焉H焉）所以當4W-壺時,（*）成立. 11分以下證明當上,-壺時,g（*）的圖象上存在不同兩點連線的斜率小于k取孫=6,叼且取6）,加g（”2）-g（*i）2（/+x2）-4仔22（6+c）-6t_3-t則-f-= 弱=36? =9F-取-<自<0,且*o要證/4有空。且戾6的解,只需證盤<自，即證9媼2+1-3>0有空0且46的解. （**）設(shè)函數(shù)wQ）=9即2+-3,則夕Q）圖象的對稱軸為直線”一直,且-康>0，又?.?△=1+108A0>0,所以（**）成立.故當">-壺時,g（%）的圖象上存在不同兩點連線的斜率小于k綜上京的取值范圍是（-綜上京的取值范圍是（-8,-齋]. 13分5分5分.本題考查橢圓與拋物線的標準方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及特殊與一般思想等.滿分14分.TOC\o"1-5"\h\z解：（I）由已知得P（0/）? 1分設(shè)橢圓E的方程為g+專=l（a>6>0）,則6=1, 2分abfa2=b2+c29 9ra=2,由T%,???橢圓E的方程為。+*=i. 3分（n）（i）依題意，點f’的坐標為（o,-i）,過點產(chǎn)’且與拋物線c相切的直線的斜率存在,設(shè)其方程為y=屈-1.由二4，二得％2-4h+4:0.[y-1令4=0得人±1.不妨設(shè)直線。4的方程分別為y=%-1和y=-x-1. 4 分又拋物線C在頂點處的切線4的方程為y=0. 理科數(shù)學試題答案第5頁（共8頁）

由得點4坐標為（1,0）,Ly=0TOC\o"1-5"\h\z由得點B坐標為（一1,0）. 6分ir=0設(shè)LABFf的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,A+D+F=0, fD=0,則l-D+F=0,解得E=0, ,.1-E+F=0,lF=-1.所以△加廣的外接圓方程為？+/=1.故△ASP的外接圓過拋物線的焦點F. 7分（ii）命題:設(shè)廠為拋物線外一點,若過點廠作拋物線的兩條切線1{4分別交拋物線的另一條切線％于43兩點，則△謖/的外接圓過拋物線的焦點R 9分證明:不妨設(shè)拋物線方程為丫=2”4（i=1,2,3）分別與拋物線相切于點B（勺,％?）（i=1,2,3）.晨題意勺聲2,%3中至少有兩個不為o,不妨設(shè)七六0，3肛因為,?，故切線4的方程為y_力二亍"（zf）,i=l,2,3. 10分11分故4r的垂直平分線方程為當;巧二/+：+也）,8尸的垂直平分線方程為y-婦鏟二-旨（，-止產(chǎn)）,它們的交點為爪5-零，寧產(chǎn)W. 12分又yF（0學）*尸的中點為N（色芳，/衛(wèi)）， 13分“標 13分“標2%十”產(chǎn)2域T7> +%/42 %/2巧、小%-P? 陽%+孫％3 4/2+%2%FX.w=__(____)+- 4；—=——4;4_P2(%142+%2%3)4;4_P2(%142+%2%3)=0,理科數(shù)學試題答案第6頁（共8頁）所以falnm.故4F'BFMF的垂直平分線交于一點即P,4,8,F都在以M為圓心的圓上，也就是說的外接圓過點R 14分注：(i)若考生只改變點尸的位置，或切線％的位置，或拋物線c的開口大小三者之一，寫出正確命題給1分,證明正確再給3分，共4分；(ii)若考生只改變點F'的位置，或切線13的位置，或拋物線c的開口大小三者之二，寫出正確命題給1分,證明正確再給4分，共5分；(iii)若考生同時改變點尸的位置，切線13的位置，以及拋物線c的開口大小,但非一般性推廣,如點尸'仍在y軸上，或拋物線C的方程非拋物線標準方程的一般形式等，按(ii)給分..(1)(本小題滿分7分)選修4-2：矩陣與變換本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思根滿分7分.TOC\o"1-5"\h\z解：([)矩陣M=?，的特征多項式為f(A)= 八， 1分/./(A)=(A-2)(A-b)-2a=A2-(Z>+2)A+26-2a, 2分由已知九二-1,入2=4為/(入)=0的兩根，-1+4=6+2, ?I-1x4=26-2a, ‘力解得『二：’ 4分lb=1.(H)由(I)知股=任力,設(shè)直線4-2y-3=0上任意一點(孫y)在矩陣M所對應的線性變換作用下的像是由(;h;i)c)=(2：：r)- 5分得廣："=：'，解得"4 '代入得廣："=：'，解得"4 '代入-2y-3=0得-%：3y_2x中-3=0,L2x+y=yt x-y 4 21/ 2，HP5xz-7/+12=0, 6分于是點(7,y'