高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用11利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在課件北師大必修1

1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在第四章

§1

函數(shù)與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖像交點(diǎn)三者之間的關(guān)系.2.會(huì)借助零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖像判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)概念函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)點(diǎn)嗎？答案答案不是，函數(shù)的“零點(diǎn)”是一個(gè)數(shù)，一個(gè)使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x.實(shí)際上是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).概念：函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)是函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的

.方程、函數(shù)、圖像之間的關(guān)系：方程f(x)＝0

?函數(shù)y＝f(x)的圖像

?函數(shù)y＝f(x)

.梳理橫坐標(biāo)有實(shí)數(shù)根與x軸有交點(diǎn)有零點(diǎn)思考

知識(shí)點(diǎn)二零點(diǎn)存在性定理答案梳理若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是

，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即

，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.這個(gè)結(jié)論可稱為函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理.連續(xù)曲線f(a)·f(b)<0題型探究例1

函數(shù)f(x)＝(lg

x)2－lg

x的零點(diǎn)為______________.類型一求函數(shù)的零點(diǎn)解析由(lg

x)2－lg

x＝0，得lg

x(lg

x－1)＝0，∴l(xiāng)g

x＝0或lg

x＝1，∴x＝1或x＝10.x＝1或x＝10答案解析函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn).在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)字，而不是一個(gè)坐標(biāo).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

函數(shù)f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____.解析f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).可知零點(diǎn)為±1，－2,3，共4個(gè).4答案解析

例2

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個(gè)根所在的區(qū)間是類型二判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)答案解析解析令f(x)＝ex－(x＋2)，則f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一個(gè)根在(1,2)內(nèi).在函數(shù)圖像連續(xù)的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，但不一定只有一個(gè)；而f(a)·f(b)＞0，卻不能判斷在區(qū)間(a，b)內(nèi)無(wú)零點(diǎn).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

若函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln

x的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________.解析∵函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln

x在定義域上是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln

x在區(qū)間(n，n＋1)上只有一個(gè)零點(diǎn).∵f(1)＝3－7＋ln1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln2<0，f(3)＝9－7＋ln3>0，∴函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln

x的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，∴n＝2.2答案解析命題角度1判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)例3

求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).類型三函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解答解方法一∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零點(diǎn).又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數(shù).故函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).方法二在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖.由圖像知g(x)＝lg(x＋1)的圖像和h(x)＝2－2x的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個(gè)零點(diǎn).判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法主要有：(1)可以利用零點(diǎn)存在性定理來(lái)確定零點(diǎn)的存在性，然后借助函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)利用函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

求函數(shù)f(x)＝ln

x＋2x－6零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解方法一由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個(gè)零點(diǎn).方法二通過(guò)作出函數(shù)y＝ln

x，y＝－2x＋6的圖像，觀察兩圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論.也就是將函數(shù)f(x)＝ln

x＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝ln

x與y＝－2x＋6的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).由圖像可知兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn).解答

命題角度2根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍例4

f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)內(nèi)有零點(diǎn)，則a的取值范圍是A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)答案解析可知g(x)的值域?yàn)?－1，＋∞)，故a＞－1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有零點(diǎn).為了便于限制零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間，通常要對(duì)已知條件進(jìn)行變形，變形的方向是：(1)化為常見的基本初等函數(shù)；(2)盡量使參數(shù)與變量分離，實(shí)在不能分離，也要使含參數(shù)的函數(shù)盡可能簡(jiǎn)單.反思與感悟

跟蹤訓(xùn)練4

若函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是答案解析解析函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和(1,2)內(nèi)，即函數(shù)f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的圖像與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在(－1,0)內(nèi)，一個(gè)在(1,2)內(nèi)，當(dāng)堂訓(xùn)練1.函數(shù)y＝x的零點(diǎn)是A.(0,0)

B.x＝0C.x＝1 D.不存在√答案234512.函數(shù)f(x)＝x2－2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.0 B.1C.2 D.3答案√234513.若函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點(diǎn)B.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)C.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn)D.f(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)答案√23451234514.下列各圖像表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是答案√5.函數(shù)f(x)＝x3－()x的零點(diǎn)有A.0個(gè)

B.1個(gè)C.2個(gè)

D.無(wú)數(shù)個(gè)√答案23451規(guī)律與方法1.方程f(x)＝g(x)的根是函數(shù)f(x)與g(x)的