考點58-直接證明與間接證明課件

58直接證明與間接證明1．直接證明、間接證明直接證明間接證明綜合法分析法反證法定義從①__________出發(fā)，利用已知的定義、定理、公理等經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證結(jié)論的證明方法從②__________出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實的證明方法由證明p?q轉(zhuǎn)向證明綈q?r?…?t，t與假設(shè)或某個真命題③______，從而判定綈q為假，推出q為真的證明方法已知條件待證結(jié)論矛盾思維過程原因?結(jié)果，又名“順推證法”或

“由因?qū)Чā庇山Y(jié)果追溯原因，又名“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”否定—推理—否定(經(jīng)過正確的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的“否定”)步驟P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結(jié)論)B(結(jié)論)?B1?B2?…?Bn?A(已知)1.分清命題的條件和結(jié)論；2.做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；3.從假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；4.斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于假定不真，于是原命題結(jié)論成立2.常見的結(jié)論和反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個④__________對任意x成立存在某個x不成立至多有一個⑤__________對任意x不成立存在某個x成立至少有n個至多有(n＋1)個p或q⑥_________至多有n個至少有(n＋1)個p且q綈p或綈q都是⑦_(dá)______不都是都是一個都沒有至少有兩個綈p且綈q不都是考向1分析法的應(yīng)用

分析法是數(shù)學(xué)命題直接證明的重要方法，在高考中較少單獨(dú)出現(xiàn)，但分析法的解題思想在高考中常常出現(xiàn)．

分析法的適用范圍及證題關(guān)鍵(1)適用范圍：①已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接；②證明過程中所需要用的知識不太明確、具體；③含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)．(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵是保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達(dá)形式為“要證……只需證……”或用“?”．注意用分析法證明時，一定要嚴(yán)格按照格式書寫．考向2綜合法與分析法的綜合應(yīng)用

分析法與綜合法在高考中經(jīng)常以不等式、立體幾何、數(shù)列等知識為載體，結(jié)合具體問題考查學(xué)生解決問題的能力．例2(2017·江蘇，19，16分)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan.對任意正整數(shù)n(n＞k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”．(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．【證明】

(1)因為{an}是等差數(shù)列，所以，當(dāng)n≥4時，an－3＋an＋3＝2an，an－2＋an＋2＝2an，an－1＋an＋1＝2an，以上三式相加，得an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此，等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”．(2)當(dāng)n≥4時，因為{an}是“P(3)數(shù)列”，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ①因為{an}是“P(2)數(shù)列”，所以an－3＋an－2＋an＋an＋1＝4an－1，

②an－1＋an＋an＋2＋an＋3＝4an＋1，

③②＋③－①，得2an＝4an－1＋4an＋1－6an，即an－1＋an＋1＝2an(n≥4)．因此，{an}從第3項起為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，注意到a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝4a4－a3－a5－a6＝4(a3＋d)－a3－(a3＋2d)－(a3＋3d)＝a3－d.因為a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝4a3－a2－a4－a5＝4(a2＋d)－a2－(a2＋2d)－(a2＋3d)＝a2－d，所以{an}是等差數(shù)列．

綜合法與分析法應(yīng)用的注意點(1)綜合法與分析法各有特點，在解決實際問題時，常把分析法與綜合法綜合起來運(yùn)用，通常用分析法分析，綜合法書寫，這一點在立體幾何中應(yīng)用最為明顯．同時，在數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何中也大多是利用分析法分析，用綜合法證明的辦法來證明相關(guān)問題．(2)對于較復(fù)雜的問題，可以采用兩頭湊的方法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論，使原命題得證．變式訓(xùn)練

(2016·北京，20，13分)設(shè)數(shù)列A：a1，a2，…，aN(N≥2)．如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有ak<an，則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”．記G(A)是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合．(1)對數(shù)列A：－2，2，－1，1，3，寫出G(A)的所有元素；(2)證明：若數(shù)列A中存在an使得an>a1，則G(A)≠?；(3)證明：若數(shù)列A滿足an－an－1≤1(n＝2，3，…，N)，則G(A)的元素個數(shù)不小于aN－a1.解：(1)G(A)的元素為2和5.(2)證明：因為存在an使得an>a1，則m≥2，且對任意正整數(shù)k<m，ak≤a1<am.因此m∈G(A)．從而G(A)≠?.(3)證明：當(dāng)aN≤a1時，結(jié)論成立．以下設(shè)aN>a1.由(2)知G(A)≠?.設(shè)G(A)＝{n1，n2，…，np}，n1<n2<…<np.記n0＝1，則an0<an1<an2<…<anp.對i＝0，1，…，p，記Gi＝{k∈N*|ni<k≤N，ak>ani}．如果Gi≠?，取mi＝minGi，則對任何1≤k<mi，ak≤ani<ami.從而mi∈G(A)且mi＝ni＋1.又因為np是G(A)中的最大元素，所以Gp＝?.從而對任意np≤k≤N，ak≤anp，特別地，aN≤anp.對i＝0，1，…，p－1，ani＋1－1－1≤ani.因此ani＋1＝ani＋1－1＋(ani＋1－ani＋1－1)≤ani＋1.考向3反證法的應(yīng)用

反證法是解決某些疑難問題的有力工具，體現(xiàn)了正難則反的思維方法，在高考中有所體現(xiàn)，既有小題，也有解答題，難度屬中低檔．(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．(2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，則由a2＋a<2及a>0得0<a<1；同，0