拓展深化5-數(shù)列新定義及子數(shù)列問題課件

拓展深化5數(shù)列新定義及子數(shù)列問題數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，除了傳統(tǒng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列之外，近幾年各地高考和模擬試題中頻頻出現(xiàn)“新定義”數(shù)列問題，成為高考命題中一道亮麗的風(fēng)景線.這類題型的特點(diǎn)是先給出數(shù)列的“新定義”，然后要求利用短時(shí)間的閱讀理解，對新概念進(jìn)行即時(shí)性的學(xué)習(xí)，并能獨(dú)立地從不同角度運(yùn)用它們作進(jìn)一步的運(yùn)算、推理、提煉、加工，進(jìn)而解決相關(guān)的新問題.主要考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)換和分析推理的思想，即利用已學(xué)過的知識(shí)分析和解決新問題，要求學(xué)生有較高的分析和解決問題的能力.一、新定義數(shù)列問題【例1－1】

(2019·南通期末)若數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱{an}為“等比源數(shù)列”.

已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)試判斷{an}是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論.

解

(1)由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，所以數(shù)列{an－1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

所以an－1＝2n－1.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1＋1.(2)數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”.用反證法證明如下：假設(shè)數(shù)列{an}是“等比源數(shù)列”，則存在三項(xiàng)am，an，ak(m＜n＜k)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.因?yàn)閍n＝2n－1＋1，所以am＜an＜ak.又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m為偶數(shù)，與22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾.所以數(shù)列{an}中不存在任何三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.綜上，可得數(shù)列{an}不是“等比源數(shù)列”.【例1－2】

(2017·江蘇卷)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”. (1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”； (2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.

證明

(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，

則an＝a1＋(n－1)d，從而，當(dāng)n≥4時(shí)， an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3,

所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，

因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”.(2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n≥3時(shí)，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①當(dāng)n≥4時(shí)，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an).④將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d′.在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′(利用a3，a4，a5，…成等差)，在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.二、子數(shù)列問題【例2－1】

已知在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，前10項(xiàng)和S10＝120，若從數(shù)列{an}中依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第8項(xiàng)、…、第2n項(xiàng)，按原順序組成新數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.所以an＝3＋(n－1)·2＝2n＋1，bn＝a2n＝2·2n＋1.【例2－2】

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝2，S6＝22. (1)求Sn； (2)若從{an}中抽取一個(gè)公比為q的等比數(shù)列{akn}，其中k1＝1，且k1<k2<…<kn<…，kn∈N*，當(dāng)q取最小值時(shí)，求{kn}的通項(xiàng)公式.

解

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閿?shù)列{an}是正項(xiàng)遞增的等差數(shù)列，所以數(shù)列{akn}的公比q>1.同理，k2>3.所以最小的公比q＝2，此時(shí)kn＝3·2n－1－2.(1)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a2n－λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.(2)若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求滿足Sn>0的所有正整數(shù)n.解(1)設(shè)bn＝a2n－λ，顯然，當(dāng)n∈N*時(shí)，{S2n}單調(diào)遞減.所以當(dāng)n≥2時(shí)，S2n<0.同理，當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)，S2n－1>0.綜上，滿足Sn>0的所有正整數(shù)n為1和2.探究提高數(shù)列解答題是高考中的壓軸題，跟新定義相關(guān)問題也是高考中的?？紗栴}.主要有以下幾類問題：(1)新定義問題通常以“新性質(zhì)”賦予一種數(shù)列，證明或處理與該定義有關(guān)的若干問題；(2)子數(shù)列是從一個(gè)數(shù)列中抽取幾個(gè)數(shù)，按照它們在原數(shù)列中的順序所組成的新的數(shù)列.此類問題的處理關(guān)鍵是認(rèn)清原數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系.(3)數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題的處理類似分段函數(shù)的處理，分別對奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)進(jìn)行處理.如：對于通項(xiàng)公式分奇偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和及偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k－1＋a2k看做一項(xiàng)，求出S2k，再由S2k－1＝S2k－a2k，求S2k－1.[深化訓(xùn)練]1.已知實(shí)數(shù)q≠0，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1≠0，對任意正整數(shù)m，n，且n>m，Sn－Sm＝qmSn－m恒成立. (1)求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列； (2)若正整數(shù)i，j，k成公差為3的等差數(shù)列，Si，Sj，Sk按一定順序排列成等差數(shù)列，求q的值.

(1)證明令m＝1，Sn－a1＝qSn－1，Sn＋1－a1＝qSn，

兩式相減得an＋1＝qan(n≥2)，

在Sn－a1＝qSn－1中令n＝2，a2＝qa1，

所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)解不妨設(shè)公差為3的等差數(shù)列為i，i＋3，i＋6，①若Si，Si＋3，Si＋6成等差數(shù)列，則ai＋1＋ai＋2＋ai＋3＝ai＋4＋ai＋5＋ai＋6＝(ai＋1＋ai＋2＋ai＋3)q3，即q3＝1，解得q＝1；②若Si＋3，Si，Si＋6成等差數(shù)列，則－(ai＋1＋ai＋2＋ai＋3)＝(ai＋1＋ai＋2＋…＋ai＋6)，∴2(ai＋1＋ai＋2＋ai＋3)＋(ai＋1＋ai＋2＋ai＋3)q3＝0，③若Si＋3，Si＋6，Si成等差數(shù)列，則有(ai＋4＋ai＋5＋ai＋6)＝－(ai＋1＋ai＋2＋…＋ai＋6)，∴2(ai＋1＋ai＋2＋ai＋3)q3＋(ai＋1＋ai＋2＋ai＋3)＝0.2.(2019·常州期末)已知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)，且ak＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k為常數(shù)且k∈N*. (1)求k及an；因?yàn)閗∈N*且d為整數(shù)，所以k＝1或k＝2.當(dāng)k＝1時(shí)，d＝6，代入①，解得a1＝3，所以an＝6n－3.當(dāng)k＝2時(shí)，d＝5，代入①，解得a1＝1，所以an＝5n－4.(2)因?yàn)閍1>1，所以an＝6n－3，從而Sn＝3n2.3.(2018·南通、泰州調(diào)研)若數(shù)列{an}同時(shí)滿足：①對于任意的正整數(shù)n，an＋1≥an恒成立；②對于給定的正整數(shù)k，an－k＋an＋k＝2an對于任意的正整數(shù)n(n>k)恒成立，則稱數(shù)列{an}是“R(k)數(shù)列”.(2)已知數(shù)列{bn}是“R(3)數(shù)列”，且存在整數(shù)p(p>1)，使得b3p－3，b3p－1，b3p＋1，b3p＋3成等差數(shù)列，證明：{bn}是等差數(shù)列.(1)解當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋1－an＝2(n＋1)－(2n－1)＝3>0，所以an＋1≥an.當(dāng)n>2時(shí)，an－2＋an＋2＝2(n－2)－1＋2(n＋2)－1＝2(2n－1)＝2an.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＋1－an＝(2n＋1)－2n＝1>0，所以an＋1≥an.當(dāng)n>2時(shí)，an－2＋an＋2＝2(n－2)＋2(n＋2)＝4n＝2an.所以數(shù)列{an}是“R(2)數(shù)列”.(2)證明由題意可得當(dāng)n>3時(shí)，bn－3＋bn＋3＝2bn，則數(shù)列b1，b4，b7，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1，數(shù)列b2，b5，b8，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2，數(shù)列b3，b6，b9，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d3，因?yàn)閎n≤bn＋1，所以b3n＋1≤b3n＋2≤b3n＋4，所以b1＋nd1≤b2＋nd2≤b1＋(n＋1)d1，所以n(d2－d1)≥b1－b2，①n(d2－d1)≤b1－b2＋d1.②若d2－d1＝0，則①和②都成立，所以d1＝d2.同理得d1＝d3，所以d1＝d2＝d3.設(shè)d1＝d2＝d3＝d，b