理論力學(xué)4課件

理論力學(xué)熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理第三講剛體力學(xué)質(zhì)點(diǎn)組的單粒子運(yùn)動(dòng)和集體運(yùn)動(dòng)1

剛體運(yùn)動(dòng)的描述2

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

3

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能4

角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng),定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),一般運(yùn)動(dòng)一.剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生形變的物體。剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型二.剛體的運(yùn)動(dòng)

剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可視為某一點(diǎn)的平動(dòng)和繞通過(guò)該點(diǎn)的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)1.平動(dòng)

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持方向不變。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。－－剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。2.轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱(chēng)為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。O特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有的點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度?！?jiǎng)傮w上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律3.剛體運(yùn)動(dòng)的自由度各質(zhì)點(diǎn)的位置由剛體上任意一個(gè)點(diǎn)（如質(zhì)心）的位置加上剛體對(duì)該點(diǎn)的方位確定剛體的自由度等于描述其位型的坐標(biāo)數(shù)減去約束方程數(shù)可以證明，剛體的自由度一般為6描述剛體的一般運(yùn)動(dòng)需要6個(gè)獨(dú)立變量，由6個(gè)運(yùn)動(dòng)方程決定。最簡(jiǎn)便的方式：質(zhì)心的平移運(yùn)動(dòng)方程：＋剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程：如我們要決定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間中的位置，最少需要知道三個(gè)坐標(biāo)，x、y和z，因此質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)自由度。如果是剛體，我們除了要知道剛體質(zhì)心在空間中的位置，x、y和z，還需要知道剛體在空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)狀況。剛體在空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)可描述為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)Φ，固定軸的取向，即方位角α

、β

和γ中只有兩個(gè)是獨(dú)立的（我們可以通過(guò)讓剛體先繞y-軸轉(zhuǎn)β，再繞z-軸轉(zhuǎn)α，達(dá)到空間中任意取向），因此剛體的自由度數(shù)為6，可分為三個(gè)平動(dòng)的，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的。

單原子分子，如惰性氣體等，我們可以使用質(zhì)點(diǎn)模型，總自由度數(shù)為3。如果是雙原子分子，如氧氣、氫氣等。我們可以將其看作是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)一根彈簧（用一根線表示）連接起來(lái)，如果不考慮振動(dòng)，可以有3個(gè)平動(dòng)、2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)（沿軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0，因此與剛體相比要少1個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度）共5個(gè)自由度。這可看作是兩個(gè)獨(dú)立質(zhì)點(diǎn)（6個(gè)自由度），再加上一個(gè)約束條件（不考慮振動(dòng)的話，兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變），因此總自由度數(shù)為5個(gè)。

類(lèi)似地我們還可以考慮其他多原子分子情形，如三原子分子（不考慮三原子排列在一條直線情況）：不考慮振動(dòng)，應(yīng)有：3x3-3=6個(gè)自由度（三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，三個(gè)獨(dú)立約束條件）。三、剛體速度的描述選擇兩個(gè)坐標(biāo)系：A－空間坐標(biāo)系：靜止坐標(biāo)系B－固聯(lián)于剛體上的坐標(biāo)系，通常是坐標(biāo)原點(diǎn)位于質(zhì)心的動(dòng)坐標(biāo)系P點(diǎn)的位置：在A坐標(biāo)系中：在B坐標(biāo)系中：B坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)O’在A坐標(biāo)系里的位置矢量為：（1）平移運(yùn)動(dòng)剛體的平移運(yùn)動(dòng)為剛體中任一質(zhì)點(diǎn)的平移速度，可以用B坐標(biāo)相對(duì)于A坐標(biāo)的移動(dòng)速度表示，記為：（2）轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)P繞一直線(瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中P點(diǎn)到軸上每一點(diǎn)的距離保持不變?cè)O(shè)轉(zhuǎn)軸的單位矢量為P點(diǎn)繞轉(zhuǎn)軸的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)位移必垂直于及為P點(diǎn)繞轉(zhuǎn)軸的垂直轉(zhuǎn)動(dòng)半徑df

為該垂直轉(zhuǎn)動(dòng)半徑轉(zhuǎn)過(guò)的無(wú)限小轉(zhuǎn)角故可知：由轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的P點(diǎn)相對(duì)于軸上任一點(diǎn)O’的速度為：其中為繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量故：P點(diǎn)在固定坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)速度為O’點(diǎn)的平移速度與繞過(guò)O’點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角位置：

1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述

角位移：

角速度：角加速度：

角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則。2.角量和線量的關(guān)系矢量表示：

二角速度矢量四、剛體的動(dòng)量剛體的總動(dòng)量為剛體內(nèi)各部分（質(zhì)量元）的動(dòng)量之和：故故：若只討論剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)剛體的平動(dòng)速度為零，則故：將固定坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在剛體質(zhì)心（質(zhì)心速度為零），則：重合，五、剛體的動(dòng)能剛體的總動(dòng)能為與引入符號(hào)：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積構(gòu)成一個(gè)二階張量其中：因此，動(dòng)能可表示為：稱(chēng)為剛體繞x,y,z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稱(chēng)為剛體的慣量積，稱(chēng)為慣量張量記為Ix，Iy，Iz。則動(dòng)能的表示式簡(jiǎn)化為：六、主軸慣量對(duì)于具有軸對(duì)稱(chēng)質(zhì)量分布的剛體，當(dāng)取這些對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸后，可是剛體的慣量積為零，二階張量退化為矢量，即矩陣元內(nèi)只有對(duì)角元素，它們是繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix，Iy，Iz為主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，x，y，z為慣量主軸。把坐標(biāo)軸取在剛體對(duì)稱(chēng)軸上的做法叫作主軸變換。主軸如何確定?顯然,求剛體主軸的一般問(wèn)題等效于一個(gè)3*3矩陣對(duì)角化的數(shù)學(xué)問(wèn)題。由矩陣?yán)碚撝?任何對(duì)稱(chēng)方陣可以對(duì)角化。七.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)體：1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量、剛體的形狀、以及轉(zhuǎn)動(dòng)軸有關(guān)。例1

計(jì)算質(zhì)量為m

，長(zhǎng)為

l

的細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。oxzdxdmx解：例2

一質(zhì)量為

m，半徑為R的均勻圓盤(pán)，求通過(guò)盤(pán)中心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：rdrRO平行軸定理：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，等于它對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且與z軸平行的軸z’的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic，加上質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與兩軸間距離d的平方的乘積。垂直軸定理：如果質(zhì)點(diǎn)系的全部質(zhì)量都存在于平面上(x-y平面),則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該平面中任二垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之積(Ix+Iy),等于過(guò)該二軸的交點(diǎn)與它們垂直的第三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。工程上還常用到與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的回轉(zhuǎn)半徑的概念，對(duì)于一任意形狀的物體，設(shè)想它的全部質(zhì)量m集中在一點(diǎn)上，若這個(gè)質(zhì)量為m的"質(zhì)點(diǎn)"對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與物體對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I相等，則這質(zhì)點(diǎn)到軸的垂直距離，就叫做物體對(duì)該軸的回轉(zhuǎn)半徑，常用k表示。由于質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)與軸相距為k時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于

，而它等于物體對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I，故有

回轉(zhuǎn)半徑的單位是m（米）八、角動(dòng)量剛體的總角動(dòng)量定于為剛體上各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量之和只考慮剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上各質(zhì)點(diǎn)的速度為：總角動(dòng)量：角動(dòng)量連續(xù)質(zhì)量分布：其中即寫(xiě)成矩陣形式：作主軸變換，可使的表示式得到簡(jiǎn)化：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為九、慣量主軸當(dāng)剛體繞慣量主軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角動(dòng)量也沿慣量主軸的方向，因?yàn)榕c同方向，數(shù)學(xué)上就意味著它們只差一個(gè)標(biāo)量因子I，記做其中，II為標(biāo)量因子I乘單位矩陣寫(xiě)成矩陣形式：移項(xiàng)得：慣量橢球:解析幾何里求二次曲面主軸的方法；或線性代數(shù)里求本征值的方法。即：上述方程組有非平凡解得充要條件是系數(shù)行列式為零，即：此為久期方程，解之可得三個(gè)實(shí)的本征值：I1,I2,I3，每一個(gè)Ii對(duì)應(yīng)于繞一個(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。當(dāng)?shù)玫饺齻€(gè)主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1,I2,I3，分別代入，可求出三組兩兩正交的實(shí)本征向量，，它們的方向即三個(gè)主軸的方向。剛體運(yùn)動(dòng)的分類(lèi)：平動(dòng)：(x,y,z),f=3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，f，f=1平面平行運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)任意一點(diǎn)始終在平行于某固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)——平面運(yùn)動(dòng)。例：沿斜面滾動(dòng)的圓柱，取它的一個(gè)斷面，其上個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，代表了圓柱沿軸線方向的直線上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。平面內(nèi)兩個(gè)坐標(biāo)：x,y,+轉(zhuǎn)動(dòng)角f,f=3(4)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng))

只有一個(gè)點(diǎn)保持不動(dòng)，實(shí)際上是剛體繞通過(guò)定點(diǎn)的瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸的方向兩個(gè)變數(shù)，繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)變數(shù)，f＝3(5)一般運(yùn)動(dòng):平動(dòng)＋定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

f＝(x,y,z)描述基點(diǎn)的位置，歐勒角a，b，g描述剛體的方位。

一只有對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常數(shù)，因?yàn)閯傮w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)到z軸的距離均不改變。剛體運(yùn)動(dòng)的基本類(lèi)型平動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，體內(nèi)或與之固聯(lián)的空間任何兩點(diǎn)之間的直線都與自身平行，或在運(yùn)動(dòng)的任何瞬間，剛體上每點(diǎn)都作平行移動(dòng)，即位移大小、方向都相等，剛體內(nèi)任一點(diǎn)都可以代表剛體的運(yùn)動(dòng)。只存在平動(dòng)時(shí)，剛體的運(yùn)動(dòng)可以作為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)處理。轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有兩點(diǎn)（因而就有一直線）保持不動(dòng)，此直線即為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，如兩點(diǎn)瞬時(shí)不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸為瞬時(shí)軸。如兩點(diǎn)始終保持不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸為固定軸。分為瞬時(shí)軸固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)+轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)關(guān)于剛體位移的重要定理：Euler’s定理和Chales’定理。Euler’s定理：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)具有任一個(gè)固定點(diǎn)的剛體的最一般的位移，可以由繞通過(guò)此定點(diǎn)的某一軸的純轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定理（Euler’s定理）的意義。該定理說(shuō)明剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)有限位移可以通過(guò)繞過(guò)定點(diǎn)的某一軸的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。將這個(gè)定理的結(jié)論用于無(wú)限小位移，證明了定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí)可以看作是繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的純轉(zhuǎn)動(dòng)，因而可以像定軸轉(zhuǎn)動(dòng)那樣引入角速度來(lái)表示其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用角速度來(lái)表示其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變。Chales’定理：一般運(yùn)動(dòng)剛體最一般的位移，等同于一螺旋位移，即可以被視為平動(dòng)及一繞一平行于平動(dòng)方向之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。

Euler’s角Euler’s角Euler’s

小結(jié):歐勒角歐勒角是按約定的順序，由相繼的三次轉(zhuǎn)動(dòng)形成的。設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系為O－xyz，固定坐標(biāo)系為O－zhxOz(x)x(z)y(h)Oz(x)x’y’zhNOxx’y’’zhNzffqqOxxyzhNzyy初始時(shí)，動(dòng)靜兩系完全重合動(dòng)系的O-xy平面繞x軸轉(zhuǎn)f角至x’,y’位置，轉(zhuǎn)動(dòng)后的Ox’軸稱(chēng)為節(jié)線，記為ON。f為進(jìn)動(dòng)角。動(dòng)系的O-y’z平面繞節(jié)線ON轉(zhuǎn)q角使動(dòng)系到達(dá)新位置O-x’y’’z。q為章動(dòng)角。將動(dòng)系的O-x’y’’平面繞Oz軸轉(zhuǎn)y角，且用x，y分別代替x’，y’’，使動(dòng)系達(dá)到最終位置O-xyz。y角為自轉(zhuǎn)角三個(gè)歐勒角完全確定了動(dòng)系相對(duì)于靜系的取向，從而決定繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體在空間的位置。當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，三個(gè)歐勒角可隨時(shí)間變化，即：剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的總角速度為進(jìn)動(dòng)角速度，章動(dòng)角速度，自轉(zhuǎn)角速度的疊加靜系在動(dòng)系，歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的勻質(zhì)細(xì)棒與轉(zhuǎn)軸剛性連接，且兩者之間成a角，棒繞過(guò)中點(diǎn)的豎直軸以勻角速w轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸在A、B兩點(diǎn)用軸承固定，已知AO＝OB＝l，求軸處所受的附加壓力。waOzyBA二.歐勒方程剛體繞質(zhì)心(或固定系)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為：故：或?qū)懗桑簮?ài)因斯坦求和約定：當(dāng)一項(xiàng)中一個(gè)指標(biāo)出現(xiàn)兩次，便自動(dòng)理解為對(duì)該指標(biāo)求和。i為自由指標(biāo)，j為啞指標(biāo)。固定坐標(biāo)系中，隨時(shí)間變化隨剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系，與時(shí)間無(wú)關(guān)。如果將動(dòng)量矩定理投影到固定坐標(biāo)軸來(lái)求解標(biāo)量方程，那么，固定坐標(biāo)系中，慣量張量的各分量都是隨時(shí)間在變化。因此不但運(yùn)算不方便，而且也遠(yuǎn)比定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形為復(fù)雜。首先，將相對(duì)于慣性系的矢量角動(dòng)量投影到任意的動(dòng)坐標(biāo)系上。其次，取剛體對(duì)O點(diǎn)的慣量主軸為動(dòng)系的坐標(biāo)軸，那么由于慣量積等于零，角動(dòng)量的的表達(dá)方式可以簡(jiǎn)化。OABQwwPr動(dòng)坐標(biāo)系：B，隨剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)固定坐標(biāo)系：A，地面固定坐標(biāo)系剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。A坐標(biāo)系，剛體以速度繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體上一點(diǎn)P的位置矢量的速度設(shè)Q為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)，若OQ在A坐標(biāo)系是固定矢量，則在B坐標(biāo)系中就是運(yùn)動(dòng)矢量，并有：推論：在A坐標(biāo)系中為固定矢量的任意矢量，在B坐標(biāo)系中對(duì)時(shí)間的導(dǎo)