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正方形性質(zhì)的運(yùn)用想一想:你認(rèn)為正方形有哪些性質(zhì)?研學(xué):探究活動1
如圖是一塊正方形草地,要在上面修建兩條交叉的小路,這兩條小路將草地分成面積相等的四部分,你有多少種方法?研學(xué):探究活動1∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD,∴OA=OB=OC=OD,∴△AOB、△BOC、△COD、△AOD都是等腰直角三角形,并且它們?nèi)?。∴AC與BD將正方形分成了面積相等的四部分.研學(xué):探究活動1∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BC,AD∥BC,∠A=90°。又∵點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn),∴AE=BF?!逜E∥BF,∴四邊形ABFE是平行四邊形?!摺螦=90°,∴平行四邊形ABFE是距形?!唷螦EF=90°。同理可證四邊形AGHD為矩形∴∠AGH=90°?!嗨倪呅蜛GOE為矩形?!逜G=AE,∴四邊形AGOE為正方形。同理可證四邊形GBFO、OFCH、OHDE都是正方形。因?yàn)樗鼈兊倪呴L都是正方形ABCD邊長的一半,所以它們的面積相等。研學(xué):探究活動1連接AC,BD?!咚倪呅蜛BCD為正方形,∴AC⊥BD?!唷螦OB=90°.∵EF⊥GH,∴∠EOG=90°.∴∠1=∠2=90°-∠AOG.∵AC、BD分別平分∠BAD,∠ABC,∴∠3=∠4=45°.∵OA=OB,∴△AOE≌△BOG.∴S△AOE=S△BOG?!郤四邊形AGOE=S△AOB=1/4S正方形ABCD。
研學(xué):探究活動2如圖,ABCD是一個正方形花園,E,F(xiàn)是它的兩個門,且DE=CF。要修建兩條路BE和AF,這兩條路等長嗎?它們有什么位置關(guān)系?為什么?研學(xué):探究活動2解:AF=BE,AF⊥BE.理由如下:∵四邊形ABCD是正方形∴AD=CD.∵DE=CF,∴AD-DE=CD-CF,∴AE=DF.∵AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°?!唷鰽BE≌△DAF.∴AF=BE.∴∠1=∠2.∵∠1+∠3=∠BAD=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠4=90°,∴AF⊥BE.研學(xué):探究活動3如圖,正方形草地ABCD內(nèi),工人們?nèi)我庑藿藘蓷l互相垂直的小路PQ與GH,則這兩條小路的長度是相等的。你知道為什么嗎?說說其中的道理。研學(xué):探究活動3提示:過點(diǎn)A作AF∥PQ交CD于F,過點(diǎn)B作BE∥GH交AD于E,∵四邊形ABCD是正方形,∴AP∥FQ,BG∥EH,∴四邊形APQF、EBGH都是平行四邊形?!郃F=PQ,BE=GH.研學(xué):探究活動3設(shè)AF與BE、GH分別交于點(diǎn)K、N,PQ與BE、GH分別交于點(diǎn)L、M.∵PQ⊥GH,∴∠PMN=90°∵BE∥GH,∴∠PLE=∠PMN=90°AF∥PQ,∴∠AKL=90°∴∠1+∠2=90°∵∠BAD=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3?!逜B=AD,∠BAE=∠ADF=90°,∴△ABE≌△DAF,∴AF=BE.∴PQ=GH.小結(jié)證明線段相等,可以通過平移的方法,將線段轉(zhuǎn)化到兩個三角形中去。再證明這兩個三角形全等,從而得到線段相等。研學(xué):探究活動4活動3中的問題,還有其他解決方法嗎?研學(xué):探究活動4提示:作PE∥AD,GF∥AB。易證四邊形ABGF、ADEP都是矩形?!鱌QE與△GHF都是直角三角形.∵AB=GF,AD=GF。∴PE=GF?!逷Q⊥GH,∴∠1=90°.∵∠D=90°,∴∠2+∠3=180°.∵∠3+∠4=90°,∴∠2=∠4?!唷鱌QE≌△GHF,∴PQ=GH.反思本節(jié)課你學(xué)到那些知識?有什么收獲?本節(jié)課收獲知識點(diǎn)證明線段相等的方法構(gòu)造方法數(shù)學(xué)思想正方形性質(zhì)可以構(gòu)造全等三角形作平行線轉(zhuǎn)化、類比課后作業(yè)1.如圖1,在正方形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),F(xiàn)是AE上一點(diǎn),過點(diǎn)F作GH⊥AF,交直線AB于G,交直線CD于H。(1)求證:BG=CH-BE;(2)如圖2,若F是AE延長線上一點(diǎn),其他條件不變,試探究:BG,BE,CH之間的數(shù)量關(guān)系。課后作業(yè)2.已知正方形ABCD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AD,CD的中點(diǎn),AF與BE交于點(diǎn)
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