專題04抽象函數(shù)的基本題型與解法探究

專題抽象函數(shù)的基此題型與解法探究【專題導(dǎo)航】抽象函數(shù)是指沒有給出抽象函數(shù)是指沒有給出詳細(xì)的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，對(duì)同學(xué)思維力量考查的起點(diǎn)較高，使得此類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，使多數(shù)同學(xué)感覺無(wú)從下手，望而生畏．爭(zhēng)論抽象函數(shù)需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律思維力量、豐富的想象力以及函數(shù)學(xué)問敏捷運(yùn)用的力量.近幾年高考也在重點(diǎn)考查，但局部老師引導(dǎo)同學(xué)復(fù)習(xí)重視不夠，本專題系統(tǒng)歸納抽象函數(shù)相關(guān)的基此題型與解法探究，供同仁們教學(xué)參考，同學(xué)高考復(fù)習(xí).【抽象函數(shù)的學(xué)問體系】一、抽象函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)1、假設(shè)函數(shù)y＝f(x)是單調(diào)遞增的，那么以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：〔1〕假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)；〔2〕對(duì)任意x1，x2∈[a，b]且，都有>0；〔3〕對(duì)任意x1，x2∈[a，b]且，都有．性質(zhì)2、假設(shè)函數(shù)y＝f(x)是單調(diào)遞減的，那么以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：〔1〕假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)；〔2〕對(duì)任意x1，x2∈[a，b]且，都有<0；〔3〕對(duì)任意x1，x2∈[a，b]且，都有．二、抽象函數(shù)的對(duì)稱性〔內(nèi)反表示對(duì)稱性〕性質(zhì)1、假設(shè)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對(duì)稱〔自身對(duì)稱〕，那么以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：〔1〕f(a＋x)＝f(a－x)；〔2〕f(2a－x)＝f(x)；〔3〕f(2a＋x)＝f(－x)推論：假設(shè)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對(duì)稱〔自身對(duì)稱〕，設(shè).性質(zhì)2、假設(shè)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)〔a，0〕中心對(duì)稱〔自身對(duì)稱〕，那么以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：〔1〕f(a＋x)＝－f(a－x)；〔2〕f(2a－x)＝－f(x)；〔3〕f(2a＋x)＝－f(－x)推論：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱性質(zhì)3、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關(guān)于直線x＝〔b－a〕/2軸對(duì)稱推論EQ\o\ac(○,1)、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對(duì)稱推論EQ\o\ac(○,2)、函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論EQ\o\ac(○,3)、函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論EQ\o\ac(○,4)、函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論EQ\o\ac(○,5)、函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱推論EQ\o\ac(○,6)、互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點(diǎn)〔〔b－a〕/2，0〕中心對(duì)稱推論：復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱性質(zhì)5、中心對(duì)稱為〔a,b)，那么以下五類狀況成立：=1\*GB3①點(diǎn)=2\*GB3②=3\*GB3③〔即〕=4\*GB3④〔即〕=5\*GB3⑤EQ\o\ac(○,6)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例如、;性質(zhì)6、假設(shè),即EQ\o\ac(○,1)、EQ\o\ac(○,2)、三、抽象函數(shù)的奇偶性1、奇偶函數(shù)：設(shè)，或者定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱定義=1\*GB3①假設(shè)定義=2\*GB3②假設(shè)。易知y＝f(x)為偶〔或奇〕函數(shù)分別為抽象函數(shù)的性質(zhì)1〔或2〕，當(dāng)a＝0時(shí)的特例。推論EQ\o\ac(○,1)、偶函數(shù)與圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱推論EQ\o\ac(○,2)、奇函數(shù)與圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)推論EQ\o\ac(○,3)、y=f(x+a)是偶函數(shù)?函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱;推論EQ\o\ac(○,4)、y=f(x+a)是奇函數(shù)?函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性〔內(nèi)偶那么偶，內(nèi)奇同外〕定義EQ\o\ac(○,1)、假設(shè)對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，那么復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義EQ\o\ac(○,2)、假設(shè)對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，那么復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說(shuō)明：〔1〕復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，那么f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，那么f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。〔2〕兩個(gè)特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，那么f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，那么f(－x＋a)＝－f(a＋x)〔3〕y＝f(x＋a)為偶〔或奇〕函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對(duì)稱〔或關(guān)于點(diǎn)〔a，0〕中心對(duì)稱〕四、抽象函數(shù)的周期性〔內(nèi)同表示周期性〕1、周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，那么稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，那么〔〕也是的周期，全部周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期2、的周期為3、的周期為4、的周期為5、的周期為6、的周期為7、的周期為8、的周期為9、的周期為10、假設(shè)11、有兩條對(duì)稱軸和周期推論：偶函數(shù)滿意周期12、有兩個(gè)對(duì)稱中心和周期推論：奇函數(shù)滿意周期13、有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心的14、分段函數(shù)的周期：設(shè)是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像為C:。把個(gè)單位即按向量在其他周期的圖像：。即四、抽象函數(shù)的詳細(xì)模型化〔即詳細(xì)代替抽象，簡(jiǎn)稱具象化〕類型函數(shù)方程解析函數(shù)模型擬合抽象函數(shù)的性質(zhì)1型或者f(xy)=f(x)f(y)型正比例函數(shù)設(shè)函數(shù)定義在上，滿意，假設(shè)時(shí)，恒大于，那么有如下性質(zhì)：①；②是上的奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞增．2〔，，均不為零〕型反比例函數(shù)設(shè)函數(shù)滿意，，，都恒不為0，那么有如下性質(zhì)：①有對(duì)稱中心；②是對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同．3型一次函數(shù)函數(shù)定義域?yàn)椋瑢?duì)任意都有，且，當(dāng)時(shí)，，那么在上單調(diào)遞增．4(或)〔〕型二次函數(shù)〔〕．〔，〕設(shè)函數(shù)滿意，那么有如下性質(zhì)：①有對(duì)稱軸；②是對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反．5型或f(xy)=f(x)÷f(y)型指數(shù)函數(shù)定義在上的函數(shù)滿意對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，，那么有如下性質(zhì)：①；②；③當(dāng)時(shí)，；④在上單調(diào)遞增6型f(x÷y)=f(x)f(y)對(duì)數(shù)函數(shù)假設(shè)函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，都有，那么有如下性質(zhì)：①；②；③在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，．7型冪函數(shù)假設(shè)函數(shù)滿意對(duì)任意都有，且不恒為，當(dāng)時(shí)，那么有如下性質(zhì)：①；②當(dāng)時(shí)，；③在上單調(diào)遞增．8型余弦函數(shù)設(shè)是定義在上不恒為零的函數(shù)，對(duì)一切實(shí)數(shù)都滿意，那么有如下性質(zhì)：①；②是偶函數(shù)；③假設(shè)，那么是以為周期的函數(shù)．9()型正切函數(shù)設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)一切實(shí)數(shù)都滿意()，那么有如下性質(zhì)：①；②是奇函數(shù)；③假設(shè)，那么是以為周期的函數(shù)．10型復(fù)合函數(shù)定義在上的函數(shù)滿意對(duì)實(shí)數(shù)都有，且時(shí)，那么有如下性質(zhì)：①；②為奇函數(shù)；③是上的減函數(shù)．題型一題型一抽象函數(shù)的定義域羅師導(dǎo)航羅師導(dǎo)航抽象函數(shù)的定義域是依據(jù)函數(shù)的定義域，利用代換法得到不等式(組)進(jìn)行求解的，另外，還要滿意分式的分母不為0、被開方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0等一些常規(guī)的要求．詳見求函數(shù)的定義域．【例11】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，1)，那么函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定義域?yàn)?)A．(－2，0)B．(－2，2)C．(0，2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[答案]C；[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<1，,－1<x－1<1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<2，,0<x<2，))∴0<x<2，∴函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定義域?yàn)?0，2).[點(diǎn)評(píng)]求解復(fù)合型抽象函數(shù)y＝f(g(x))的定義域，經(jīng)常通過換元設(shè)t＝g(x)，依據(jù)函數(shù)y＝f(t)的定義域，得到g(x)的范圍，從而解出x的范圍．同時(shí)，在求函數(shù)的定義域時(shí)要兼顧函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)，要使函數(shù)各局部都有意義．【力量達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】【11】假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1，8]，那么函數(shù)eq\f(f〔2x〕,x－3)的定義域?yàn)?)A．(0，3)B．[1，3)∪(3，8]C．[1，3)D．[0，3)[答案]D；[解析]f(x)的定義域?yàn)閇1，8]，假設(shè)函數(shù)eq\f(f〔2x〕,x－3)有意義，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤2x≤8，,x－3≠0，))解得0≤x<3.應(yīng)選D.【12】函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－eq\r(3)，eq\r(3)]，那么函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)開_______．解析：由于y＝f(x2－1)的定義域?yàn)閇－eq\r(3)，eq\r(3)]，所以x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定義域?yàn)閇－1，2].答案：[－1，2]題型二題型二抽象函數(shù)的函數(shù)解析式羅師導(dǎo)航羅師導(dǎo)航一般賦值構(gòu)方程組，消元求解析式，在求函數(shù)解析式時(shí)，通常狀況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消逝〞，進(jìn)而保存一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略．詳見求函數(shù)的解析式．【例21】設(shè)對(duì)滿意的全部實(shí)數(shù)x，函數(shù)滿意，求f〔x〕的解析式．分析：以代換其中x構(gòu)造新等式方程〔2〕，再在〔1〕中以代換x構(gòu)造新等式方程〔3〕，聯(lián)立方程組利用可得解析式.解析：在中以代換其中x，得：再在〔1〕中以代換x，得化簡(jiǎn)得：【力量達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】【21】函數(shù)f(x)滿意f(－x)＋2f(x)＝2x，那么f(x)＝__________．【答案】eq\f(2x＋1－2－x,3)；【解析】(解方程組法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①．得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②．①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x．即f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)．故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)(x∈R)．【22】定義在(－1，1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿意2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，那么f(x)＝________________．【答案】eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)(－1＜x＜1)；【解析】當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①，將x換成－x，那么－x換成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②，由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)(－1＜x＜1)．【23】f(x)滿意2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，那么f(x)＝________．【答案】2x－eq\f(1,x)(x≠0)；【解析】∵2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①．把①中的x換成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)．②．聯(lián)立①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2f(x)＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝\f(3,x)，))解此方程組可得f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)．題型三題型三抽象函數(shù)的函數(shù)值羅師導(dǎo)航羅師導(dǎo)航賦值法是抽象函數(shù)求函數(shù)值的重要方法，通過觀看與分析抽象函數(shù)問題中與未知的關(guān)系，查找適宜的特殊有用的值，賦給抽象函數(shù)的變量，進(jìn)而解決抽象函數(shù)的求值.一般需要挖掘出函數(shù)的性質(zhì)，特殊是借助函數(shù)的奇偶性〔對(duì)稱性〕和周期性來(lái)轉(zhuǎn)化解答．賦值主要從以下方面考慮：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；②令x=x2，y=x1或y=eq\f(1,x1)，且x1<x2，判定抽象函數(shù)的單調(diào)性；③令y=﹣x，判定抽象函數(shù)的奇偶性；④換x為x+T，確定抽象函數(shù)的周期；⑤用x=eq\f(x,2)+eq\f(x,2)或換x為eq\f(1,x)等來(lái)解答有關(guān)抽象函數(shù)的一些其它問題.【例31】定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，f(2)＝1，那么f(2023)＝()A．－3B．0C．1D．3【答案】C；解析：用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴T＝6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1).∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.∴f(2023)＝0.【例32】〔2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)〔理〕試題〕設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．假設(shè)，那么〔〕A． B． C． D．【答案】D；【分析】由于是奇函數(shù)，所以①；由于是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．，，所以．思路二：從周期性入手；由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．應(yīng)選：D．【例33】〔多項(xiàng)選擇〕〔2022·全國(guó)·高考真題〕函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，假設(shè)，均為偶函數(shù)，那么〔

〕A． B． C． D．【答案】BC；【分析】轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)推斷即可得解.【解析】由于，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，那么，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；假設(shè)函數(shù)滿意題設(shè)條件，那么函數(shù)〔C為常數(shù)〕也滿意題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.應(yīng)選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，精確?????把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系，精確?????把握函數(shù)的性質(zhì)〔必要時(shí)結(jié)合圖象〕即可得解.【力量達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】【31】〔2018年全國(guó)一般高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)〔全國(guó)卷II〕〕是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿意.假設(shè)，那么A． B． C． D．【答案】C；【詳解】詳解：由于是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，由于，所以，，從而，選C.解析：選C法一：∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1).由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．由f(x)為奇函數(shù)得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：由題意可設(shè)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))，作出f(x)的局部圖象如下圖．由圖可知，f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.【32】〔2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)〔文〕試題〕設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.假設(shè)，那么〔〕A． B． C． D．【答案】C；【分析】由題意可得：，而，故.應(yīng)選：C.【33】〔2022·全國(guó)·高考真題〕函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，那么〔

〕A． B． C．0 D．1【答案】A；【分析】依據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【解析】由于，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．由于，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．應(yīng)選：A．【34】〔2022·全國(guó)·高考真題〔理〕〕函數(shù)的定義域均為R，且．假設(shè)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，那么〔

〕A． B． C． D．【答案】D；【分析】依據(jù)對(duì)稱性和條件得到，從而得到，，然后依據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【解析】由于的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，由于，所以，即，由于，所以，代入得，即，所以，.由于，所以，即，所以.由于，所以，又由于，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以，由于，所以.所以.應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比擬隱藏，考生需要依據(jù)條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.【35】函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)，且當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f(x)＝x＋1，那么f(－2023)＋f(2024)＝()A．3B．2C．1D．0[答案]C；[解析]由于函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2023)＝－f(2023)，由于當(dāng)x≥0時(shí)，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即當(dāng)x≥0時(shí)，自變量的值每增加6，對(duì)應(yīng)函數(shù)值重復(fù)消失一次．又當(dāng)x∈(0，3)時(shí)，f(x)＝x＋1，所以f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2024)＝f(337×6＋2)＝ff(－2023)＋f(2024)＝－2＋3＝1.【36】定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f〔x〕，同時(shí)滿意以下條件：①；②，那么f〔3〕=，f〔9〕=.試題分析：令構(gòu)造等式，求f〔3〕;令構(gòu)造等式求f〔9〕.解析：(1)取，得，由于，所以，又取，得.【37】〔2014年全國(guó)一般高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)〔全國(guó)Ⅱ卷〕偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，那么=________．【答案】3；試題分析：由于的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故，又由于是偶函數(shù)，故．【38】函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(1)＝4，那么f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值為________．[解析]由于函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，由于f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4.所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2020)＋f(2022)＝f(2020)＋f(2020＋2)＝f(2020)＋f(－2020)＝f(2020)－f(2020)＝0，所以f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4.[答案]4[點(diǎn)評(píng)]利用對(duì)稱性求解不等式，一般是先利用函數(shù)的奇偶性與圖象的對(duì)稱性(偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱)，轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間上，然后脫去抽象不等式中的符號(hào)“f〞，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的不等式，進(jìn)而求得不等式的解集．【39】〔2023屆高三貴州聯(lián)考10〕函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋2)+f(－x)＝4成立，且函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)g(x)＝x3的圖象相交于五個(gè)點(diǎn)〔xi,yi)，那么i=15(x[答案]5;[解析]f(x)與g(x)均關(guān)于〔1,2)對(duì)稱，〔xi+yi)=1+〔2〕=1，題型四題型四抽象函數(shù)的性質(zhì)與解抽象不等式羅師導(dǎo)航羅師導(dǎo)航抽象函數(shù)中的求特殊的函數(shù)值，爭(zhēng)論函數(shù)的奇偶性及依此解關(guān)于x的不等式等問題多運(yùn)用“賦值法〞進(jìn)行求值和化簡(jiǎn)，判定抽象函數(shù)的單調(diào)性，一般設(shè)x=x2，y=x1或y=eq\f(1,x1)，且x1<x2；判定抽象函數(shù)的奇偶性，一般設(shè)y=﹣x.函數(shù)周期性求解一般通過賦值法，結(jié)合所給的抽象函數(shù)的等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到得到f〔x〕=f〔x+T)的結(jié)論.【典例41】設(shè)函數(shù)對(duì)任意、都有，且當(dāng)時(shí)，.〔1〕證明為奇函數(shù)；〔2〕證明在R上是減函數(shù)；〔3〕假設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【素養(yǎng)指導(dǎo)】〔1〕令求得的值，再令可得出，由此可得出結(jié)論；〔2〕任取，利用題干中的等式以及該函數(shù)的奇偶性可得出，得出與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論；〔3〕計(jì)算出和的值，利用〔2〕中的結(jié)論可得出結(jié)果.【解析】〔1〕由于函數(shù)對(duì)任意、都有，該函數(shù)的定義域?yàn)?，令，可得，再令，可得，即，，因此，函?shù)為奇函數(shù)；〔2〕設(shè)，那么，，那么，所以，，因此，函數(shù)在上是減函數(shù)；〔3〕由于函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，函數(shù)在上也是減函數(shù)，所以，函數(shù)在上的最大值和最小值分別為和，而，，因此，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.【典例42】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿意對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)推斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)假如f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．解：(1)由于對(duì)于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)為偶函數(shù)，證明如下：f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．(3)依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函數(shù)，所以f(x－1)<2等價(jià)于f(|x－1|)<f(16).又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，所以x的取值范圍是(－15，1)∪(1，17)【力量達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】【41】(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)假設(shè)定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，那么滿意xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3][解析]∵定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，f(x)的大致圖象如圖：∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－2)＝0，故f(－1)＜0；當(dāng)x＝0時(shí)，不等式xf(x－1)≥0成立，當(dāng)x＝1時(shí)，不等式xf(x－1)≥0成立，當(dāng)x－1＝2或x－1＝－2時(shí)，即x＝3或x＝－1時(shí)，不等式xf(x－1)≥0成立，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式xf(x－1)≥0等價(jià)為f(x－1)≥0，此時(shí)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,0<x－1≤2，))此時(shí)1＜x≤3，當(dāng)x＜0時(shí)，不等式xf(x－1)≥0等價(jià)為f(x－1)≤0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－2≤x－1<0，))得－1≤x＜0，綜上－1≤x≤0或1≤x≤3，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3]，應(yīng)選D.[答案]D【42】函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．假設(shè)f(1)＝－1，那么滿意－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]解析：選D∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x).∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.【43】定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，那么f(x)在以下哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減()A．[3，7]B．[4，5]C．[5，8]D．[6，10]解析：選B依題意知，f(x)是偶函數(shù)，且是以6為周期的周期函數(shù)．由于當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在[－3，0]上單調(diào)遞減．依據(jù)函數(shù)周期性知，函數(shù)f(x)在[3，6]上單調(diào)遞減．又由于[4，5]?[3，6]，所以函數(shù)f(x)在[4，5]上單調(diào)遞減．【44】(多項(xiàng)選擇)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．假設(shè)f(－3)＝－1，那么f(2021)＝－1解析：選BCD依據(jù)題意，f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，那么f(－x)＝－f(x)，又由函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)，那么函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，那么有f(－x)＝f(4＋x)，那么有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù)．據(jù)此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，那么f(0)＝0，又由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，那么f(4)＝0，B正確；對(duì)于C，函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù)，即f(x＋8)＝f(x)，C正確；對(duì)于D，假設(shè)f(－3)＝－1，那么f(2021)＝f(－3＋253×8)＝f(－3)＝－1，D正確．【45】(多項(xiàng)選擇)(2021·濟(jì)南模擬)函數(shù)f(x)，對(duì)?x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1)＜0(x1≠x2)，以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()A．f(0)＞f(－3)B．?x∈R，f(x)≤f(－1)C．f(a2－a＋1)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))D．假設(shè)f(m)＜f(2)，那么－4＜m＜2解析：選AB依據(jù)題意，函數(shù)f(x)對(duì)?x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1)＜0(x1≠x2)，那么f(x)在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，那么f(x)在(－∞，－1]上單調(diào)遞增；據(jù)此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，f(－3)＝f(1)，那么有f(0)＞f(1)＝f(－3)，A正確；對(duì)于B，f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)在x＝－1時(shí)，取得最大值，即有?x∈R，f(x)≤f(－1)，B正確；對(duì)于C，f(x)在區(qū)間[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，又由a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，那么f(a2－a＋1)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)f(m)＜f(2)，那么有|m＋1|＞3，解得m＜－4或m＞2，D錯(cuò)誤．【46】假設(shè)函數(shù)f(x－2)為奇函數(shù)，f(－2)＝0，且在區(qū)間[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，那么不等式f(3－x)>0的解集為________．[解析]由于函數(shù)f(x－2)為奇函數(shù)，所以f(x－2)圖象的對(duì)稱中心為點(diǎn)(0，0).由于f(x)的圖象可由f(x－2)的圖象向左平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度而得，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對(duì)稱．由于f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2]上也單調(diào)遞減．由于f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.[答案](5，＋∞)【47】定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，那么不等式f(logeq\f(1,9)x)>0的解集為________．[解析]由題意知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，f(x)在(－∞，0)上也單調(diào)遞增．∴f(logeq\f(1,9)x)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))或f(logeq\f(1,9)x)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴l(xiāng)ogeq\f(1,9)x>eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)<logeq\f(1,9)x<0，解得0<x<eq\f(1,3)或1<x<3.∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,3)或1<x<3)))).[答案]eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,3)或1<x<3))))【48】假設(shè)對(duì)于常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x，等式恒成立，那么的周期為.【分析】將x換成x+m得，再將x換成x+2m得.將恒等式中的x換成x+m得【解析】,又將上式中的x換成x+2m得,故是以4m為周期的周期函數(shù).【49】(2021·銀川模擬)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).現(xiàn)有以下三種表達(dá)：①8是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期；②f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱；③f(x)是偶函數(shù)．其中正確的序號(hào)是________．解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，那么f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一個(gè)周期，8也是f(x)的一個(gè)周期，故①正確；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，故②正確；由f(4－x)＝f(x)與f(x＋4)＝f(x