平面幾何中幾個(gè)重要定理的證明

平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明一、塞瓦定理ABC定理：在ABC內(nèi)一點(diǎn)P,該點(diǎn)與ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)證明：運(yùn)用面積比可得根據(jù)等比定理有SADPEADSSSADCADCSADPABC的頂點(diǎn)，則有APC所以SSAPCSAPBSAPCSSAPB注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底”可以產(chǎn)生出“邊之比”.2.塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F,且D、E、,這樣就的頂點(diǎn),1,那么直線CD、AE、BF三線共點(diǎn).證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P,直線CP交AB于點(diǎn)D/,則據(jù)塞瓦定理有所以有ADADZZ/.由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合.即得D、E、F三點(diǎn)共線.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證.二、梅涅勞斯定理3.梅涅勞斯定理及其證明所在直線分別交于點(diǎn)ABC的頂點(diǎn)，則有證明：如圖，過點(diǎn)ABC的三邊AB、BC、CA注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證.,即得,1“橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個(gè)比例等式，再4.梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在那證ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D、E,在邊AC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F,若D、E、F三點(diǎn)共線.ADAD/共線.注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律.三、托勒密定理5?托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有證明：設(shè)點(diǎn)M是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得DAE=因?yàn)锳DB=ACB,,,所以DAM=BAE:,即,即ABCDACBE-------------(2),注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論?這里的構(gòu)造具有特點(diǎn)，不容易想到，需要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試.6?托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形ABCD滿足ABXCD+BCXAD=ACXBD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共AEAB且ADAC―DAECADXBC=DEXAC---------(3)共圓./、C/共線，則命題獲證）據(jù)圓幕定理知A、C、據(jù)圓幕定理知A、C、/AAC另一方面,欲證A/C/ACACA/DACA’D,即證 ,即證,A/C/,>>7?托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有ABXCD+BCXAD>ACXBDAEABADXBC=DEXAC------------(3)所以所以A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知ABXCD+BCXADACXBDBE+DEBD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE+四、西姆松定理因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以BAC=BCP,或其延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別C、P、/由于過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D與D，重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線.注1）采用同一法證明可以變被動(dòng)為主動(dòng)，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件?但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性.（2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法.五、歐拉定理9?歐拉定理及其證明定理：設(shè)厶ABC的重心、外心、垂心分別用字母G、0、H表示.則有G、0、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足OH30G.證明（向量法）：連B0并延長(zhǎng)交圓0于點(diǎn)D。連接CD、AD、HC,設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接0E和0C.則①OH0AAH——①從而得AHDC.而DC20E，所以AH20E.13注1）運(yùn)用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向量對(duì)幾何問題的表現(xiàn)手法;（2）此題也可用純幾何法給予證明.又證（幾何法）：連接0H,AE，兩線段相交于點(diǎn)為邊BC的中點(diǎn)，連接0E和0C,如圖.為AH//CD,CD//0E，所以AH//0E.可得AG2由,及重心性質(zhì)可知點(diǎn)G僦是ABC的重心，即G/與點(diǎn)G重合?六、蝴蝶定理.io.蝴蝶定理及其證明定理：如圖，過圓中弦AB的中點(diǎn)M任引兩弦CD和EF,連接CF和ED證明：過點(diǎn)M作直線AB的垂線I，作直線CF關(guān)于直線I的對(duì)稱直線交圓于點(diǎn)&、F，交線段AB于點(diǎn)連接FF〈DF〈QU、DQ/.據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱性可知：而由FF，//AB可得Q/PF+CFF/=180°,所以/Q/DM.這說明點(diǎn)Q與點(diǎn)Q/重合，即得此定理還可用解析法來證明:想法：設(shè)法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數(shù).設(shè)直線DE、CF的方程分別為直線CD、EF的方程分別為則經(jīng)過C、D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為-ri2)=0.整理得(+kik2)x2+(1+mim2)y2-(ki+k2)+-(ni+n2)x+(nim2+n2mi)y+(mi+m2)]xynin2=0.由于C、D、E、F四點(diǎn)在一個(gè)圓上，說明上面方程表示的是一個(gè)圓，所以必須i且(ki+k2)+(mi+m2)=0.若=0,則kik2=i,ki+k2=0,這是不可能的，故又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應(yīng)落在y軸上，故有這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為