平面幾何中幾個重要定理的證明

平面幾何中幾個重要定理及其證明一、塞瓦定理ABC定理：在ABC內一點P,該點與ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點證明：運用面積比可得根據等比定理有SADPEADSSSADCADCSADPABC的頂點，則有APC所以SSAPCSAPBSAPCSSAPB注：在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是“等高”還是“等底”可以產生出“邊之比”.2.塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點D、E、F,且D、E、,這樣就的頂點,1,那么直線CD、AE、BF三線共點.證明：設直線AE與直線BF交于點P,直線CP交AB于點D/,則據塞瓦定理有所以有ADADZZ/.由于點D、D/都在線段AB上，所以點D與D/重合.即得D、E、F三點共線.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證.二、梅涅勞斯定理3.梅涅勞斯定理及其證明所在直線分別交于點ABC的頂點，則有證明：如圖，過點ABC的三邊AB、BC、CA注：添加的輔助線CG是證明的關鍵拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證.,即得,1“橋梁”，兩次運用相似比得出兩個比例等式，再4.梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在那證ABC的邊AB、BC上各有一點D、E,在邊AC的延長線上有一點F,若D、E、F三點共線.ADAD/共線.注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律.三、托勒密定理5?托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內接四邊形，則有證明：設點M是對角線AC與BD的交點，在線段BD上找一點，使得DAE=因為ADB=ACB,,,所以DAM=BAE:,即,即ABCDACBE-------------(2),注：巧妙構造三角形，運用三角形之間的相似推得結論?這里的構造具有特點，不容易想到，需要認真分析題目并不斷嘗試.6?托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形ABCD滿足ABXCD+BCXAD=ACXBD，那么A、B、C、D四點共AEAB且ADAC―DAECADXBC=DEXAC---------(3)共圓./、C/共線，則命題獲證）據圓幕定理知A、C、據圓幕定理知A、C、/AAC另一方面,欲證A/C/ACACA/DACA’D,即證 ,即證,A/C/,>>7?托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四邊形ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有ABXCD+BCXAD>ACXBDAEABADXBC=DEXAC------------(3)所以所以A、B、C、D四點不共圓，據托勒密定理的逆定理可知ABXCD+BCXADACXBDBE+DEBD，即得點E不在線段BD上，則據三角形的性質有BE+四、西姆松定理因為A、B、P、C四點共圓，所以BAC=BCP,或其延長線引垂線，垂足分別C、P、/由于過點P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點D與D，重合，即得D、E、F三點共線.注1）采用同一法證明可以變被動為主動，以便充分地調用題設條件?但需注意運用同一法證明時的唯一性.（2）反復運用四點共圓的性質是解決此題的關鍵，要掌握好四點共圓的運用手法.五、歐拉定理9?歐拉定理及其證明定理：設厶ABC的重心、外心、垂心分別用字母G、0、H表示.則有G、0、H三點共線（歐拉線），且滿足OH30G.證明（向量法）：連B0并延長交圓0于點D。連接CD、AD、HC,設E為邊BC的中點，連接0E和0C.則①OH0AAH——①從而得AHDC.而DC20E，所以AH20E.13注1）運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨特之處，注意掌握向量對幾何問題的表現手法;（2）此題也可用純幾何法給予證明.又證（幾何法）：連接0H,AE，兩線段相交于點為邊BC的中點，連接0E和0C,如圖.為AH//CD,CD//0E，所以AH//0E.可得AG2由,及重心性質可知點G僦是ABC的重心，即G/與點G重合?六、蝴蝶定理.io.蝴蝶定理及其證明定理：如圖，過圓中弦AB的中點M任引兩弦CD和EF,連接CF和ED證明：過點M作直線AB的垂線I，作直線CF關于直線I的對稱直線交圓于點&、F，交線段AB于點連接FF〈DF〈QU、DQ/.據圓的性質和圖形的對稱性可知：而由FF，//AB可得Q/PF+CFF/=180°,所以/Q/DM.這說明點Q與點Q/重合，即得此定理還可用解析法來證明:想法：設法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數.設直線DE、CF的方程分別為直線CD、EF的方程分別為則經過C、D、E、F四點的曲線系方程為-ri2)=0.整理得(+kik2)x2+(1+mim2)y2-(ki+k2)+-(ni+n2)x+(nim2+n2mi)y+(mi+m2)]xynin2=0.由于C、D、E、F四點在一個圓上，說明上面方程表示的是一個圓，所以必須i且(ki+k2)+(mi+m2)=0.若=0,則kik2=i,ki+k2=0,這是不可能的，故又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應落在y軸上，故有這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為