線性代數(shù)清華版第1章行列式

第一章行列式1.1 n階行列式的定義及性質(zhì)二階行列式用于解二元一次聯(lián)立方程組當(dāng)時(shí)，定義為二階行列式當(dāng)時(shí)求解二元線性方程組:例解上海海事大學(xué)基礎(chǔ)部4由9個(gè)元素排成三行三列的式子定義的表達(dá)式稱為三階行列式。上海海事大學(xué)基礎(chǔ)部5沙路法設(shè)三元線性方程組當(dāng)時(shí)，其中這里上海海事大學(xué)基礎(chǔ)部9以上三階行列式是用比其低一階的二階行列式定義的。于是，我們可以得到更一般的行列式的定義。

定義

由n2個(gè)數(shù)aij(i,j=1,2,,n)組成的n

階行列式是一個(gè)算式

當(dāng)n=1時(shí)，D＝a11當(dāng)n2時(shí),1.1.1n

階行列式的定義（遞歸法）其中：aij稱為行列式的第i行，第j列的元素;是劃去D的第i行第j列后的n1階行列式;定義上式也稱為行列式按第一行展開(kāi)。元素aij的余子式元素aij的代數(shù)余子式練習(xí)：計(jì)算行列式例1

對(duì)角行列式，上、下三角行列式例2

1.1.2n階行列式的性質(zhì)行列式對(duì)行和列有相同的性質(zhì)(下面主要用行講)性質(zhì)1行列式D的行與列依次互換，則行列式的值不變性質(zhì)2行列式對(duì)任一行(或列)按下式展開(kāi)，其值相等，即練習(xí)1：計(jì)算行列式練習(xí)2：計(jì)算行列式

40，-1080注意觀察按哪一行或哪一列展開(kāi)

性質(zhì)3（線性性質(zhì)）推論若行列式有一行元素全為零，則行列式的值等于零。性質(zhì)4若行列式有兩行元素對(duì)應(yīng)相同，則行列式的值為0用歸納法證明：n=2成立。設(shè)命題對(duì)n-1階行列式成立，對(duì)第i,j

行相同的n

階行列式D，對(duì)第k（ki,j）行展開(kāi),得推論

行列式有兩行元素成比例，則行列式的值為0。

性質(zhì)5將行列式的某一行乘以非零常數(shù)加到另一行(對(duì)行列式作倍加行變換),則行列式的值不變。性質(zhì)6 若行列式兩

行對(duì)換，行列式的值反號(hào)，即證明將左邊第j行加到第i行；再將第i

行乘(1)加到第j行。于是

將上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(1)，即得左邊=右邊性質(zhì)7行列式某一行元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即證明把行列式D的第

i行換成第

j行=0是克羅內(nèi)克(Kronecker)符號(hào)兩式可合寫(xiě)為同理，對(duì)列展開(kāi)，有計(jì)算方法：利用定義或性質(zhì)例1上、下三角行列式均等于其主對(duì)角元素的乘積例2=2(3/2)=31.2n階行列式的計(jì)算例3第3列乘4加到第1列

對(duì)第1行展開(kāi)

第1行化為只有一個(gè)非0元將第3列乘1加到第1列再將第3列乘2加到第2列對(duì)第3行展開(kāi)例4

證明：

把左端行列式的第2,3列加到第1列，提出公因子2證法1將第2,3列加到第1列提出第2,3列的公因數(shù)(1)再作兩次列對(duì)換把第1列乘(1)加到第2,3列證法2

用性質(zhì)3，將左式表示成23個(gè)行列式之和(n階可以表示成2n個(gè))。=右式對(duì)換2次拆成8個(gè)，其中有6個(gè)行列式各有兩列相等而等于零例5計(jì)算n階行列式的每行元素之和均為a+(n1)b把各列加到第1列提出公因子a+(n1)b將第1行乘(1)加到其余各行，化為上三角行列式解例6設(shè)

xyz0,計(jì)算將第2列乘(x/y)，第3列乘(x/z)都加到第1列解法1第1行乘(1)加到第2,3行上三角行列式解法2拆項(xiàng)法

得

D=yz+2xz+3xy+xyz將D表示成23個(gè)行列式之和（拆第1列）拆第2，3列，除去有兩列成比例而等于零的例7解例8證明n階范德蒙(Vandermonde)行列式證明用數(shù)學(xué)歸納法.n=2成立假設(shè)對(duì)n-1階命題成立從第n行起,依次將前一行乘(x1)加到后一行對(duì)第1列展開(kāi)提出公因子是x2,,xn的n1階范德蒙行列式，由歸納假設(shè)得例9

A

B

C

A

Bkkmm證明：證明對(duì)

k歸納。k=1,對(duì)第1行展開(kāi)假設(shè)A為k1階時(shí)命題成立。若A

為k階,按第1行展開(kāi)。歸納假設(shè)將A和C所在的每一列依次與其前面的m列逐列對(duì)換(共對(duì)換km次)。

例9可以簡(jiǎn)記為例10第1列乘(1)分別加到第2,3,4列

再將第2列加到第4列解定理設(shè)線性方程組1.3克拉默(Cramer)法則

其系數(shù)行列式方程組有唯一解

0時(shí)，j=1,2,,n

其中證明其中

Akj是D中

akj的代數(shù)余子式(1)驗(yàn)證滿足方程組i=1,2,,n

交換兩個(gè)和號(hào)的順序=bi(i=1,2,,n)(2)證明解唯一設(shè)（c1,c2,,cn）是滿足方程組的解A1j+)A2jAnj若齊次線性方程組其逆否命題是：若方程組有非零，則D=0的系數(shù)行列式D0,則x1=x2==xn=0,即只有零解

例1已知三次曲線

y=a0+a1x+a2x2+a3x3

過(guò)4個(gè)點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4）其中x1,x2,x3,x4

互異，試求方程

的系數(shù)

a0,a1,a2,a3推論

將4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入三次曲線的方程,得到非齊次線性方程組其中a0,a1,a2,a3

為未知量；其中

Dj是以

y1,y2,y3,y4

替代D中第

j列元素所得的行列式由Cramer法則,有唯一解(j=0,1,2,3)例2求4個(gè)平面相交于一點(diǎn)(x0,y0,z0)的充分必要條件。

解將4個(gè)平面方程寫(xiě)成四元方程組的系數(shù)行列式這里，t=1,i=1,2,3,4，于是4個(gè)平面相交于P0點(diǎn)就是4個(gè)方程構(gòu)成的x,y,z,t的齊次線性方程組有唯一的非零解(x0,y0,z0,1)，因此其系數(shù)行列式D