信號(hào)與系統(tǒng)課件 9-6 離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解和連續(xù)系統(tǒng)的求解方法類似，包括時(shí)域和變換域兩種方法。

一、矢量差分方程的時(shí)域求解二、An的計(jì)算三、離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的z變換解§9.6

離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解返回一．矢量差分方程的時(shí)域求解

離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為此式為一階差分方程，可以應(yīng)用迭代法求解。設(shè)給定系統(tǒng)的起始狀態(tài)為：在n=n0，l(n0)則按式(1)有以下用迭代法，求(n0+2),(n0+3),…,n時(shí)刻的值：l(n+1)=Al(n)+Bx(n)

（1）l(n0+1)=Al(n0)+Bx(n0)

l(n0+1)=Al(n0)+Bx(n0)

l(n0+2)=Al(n0+1)+Bx(n0+1)

=A2l(n0)+ABx(n0)

+Bx(n0+1)對(duì)于任意n

值，當(dāng)n>n0

可歸結(jié)為

上式中，當(dāng)n=n0時(shí)第二項(xiàng)不存在，此時(shí)的結(jié)果只由第一項(xiàng)決定，即l(n0)本身，只有當(dāng)n>n0時(shí)，式(2)才可給出完整的l(n)之結(jié)果。(2)l(n0+3)=Al(n0+2)+Bx(n0+2)

=A3l(n0)+A2Bx(n0)+ABx(n0+1)+Bx(n0+2)

如果起始時(shí)刻選n0=0，并將上述對(duì)n值的限制以階躍信號(hào)的形式寫入表達(dá)式，于是有還可解得輸出為由兩部分組成：一是起始狀態(tài)經(jīng)轉(zhuǎn)移后在n時(shí)刻得到的響應(yīng)分量；另一是對(duì)(n-1)時(shí)刻以前的輸入量的響應(yīng)。它們分別稱為零輸入解和零狀態(tài)解。其中An

稱為離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，它與連續(xù)系統(tǒng)中的eAt含義類似，也用符號(hào)j表示，寫作j(n)它決定了系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)情況。

可以看出，零狀態(tài)解中，若令x(n)=d(n)，則系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為

可見，零狀態(tài)解正是h(n)與x(n)的卷積和，也可寫作h(n)*x(n)返回關(guān)鍵：計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣j(n)，即An

。二．An的計(jì)算

利用凱萊一哈密頓定理:(3)設(shè)ai(i=1,2,…n)為A的n個(gè)獨(dú)立的特征單根，用下列聯(lián)立方程組求系數(shù)c0,c1,…,ck-1將c0,c1,…,ck-1分別代入（3），即可。

若A的特征根為重根的情況，例如a1為A的m

階重根，則對(duì)重根部分計(jì)算為返回例9-6-1三．離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的z變換解

和連續(xù)系統(tǒng)的拉氏變換方法類似，離散系統(tǒng)的z變換方法也使?fàn)顟B(tài)方程的求解顯得容易一些。

由離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程兩邊取z變換整理,得到取其逆變換即得時(shí)域表示式為:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣即為

或返回例9-6-2矩陣A的特征方程例9-6-1已知矩陣，求矩陣函數(shù)。特征根為根據(jù)關(guān)系式可得聯(lián)立求解可得所以返回例9-6-2某離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程分別為求描述該系統(tǒng)輸入、