2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.已知集合'={一132"?T},8=加2},若8=4,則實(shí)數(shù)加=.

【答案】1

【分析】由題得機(jī)2=2加-1,解出值檢驗(yàn)即可.

【詳解】由題知/=13,2加-1},8={3,〃「},若8=4則/=_1或蘇=2加_1,

當(dāng)病=7時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)m2=2/H-1時(shí)，加2-2m+1=0

解得:切=1,

此時(shí)/={T，3,l},8={3,1}，符合題意,所以加=1.

故答案為：1.

2.化簡(jiǎn)：（//產(chǎn)?產(chǎn),=.

【答案】a

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)及平方差公式即可求解.

［詳解】（『場(chǎng)"".廠—=/2的2*兩"32-6

故答案為:仁

Iogi（log2x）=0

3.若8,貝|JX=.

【答案】2

【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

logi（k>g2X）=0=log|1

【詳解】因?yàn)?2,

所以晦3=1,

所以x=2,

故答案為：2

4.設(shè)占，%是方程/+光-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則再2_々+2021=

【答案】2025

【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到々=-1-再，然后代入計(jì)算即可求解.

【詳解】因?yàn)椴?，々是方程f+x-3=°的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得士+工2=-1,

所以/=-1-％故1；一馬+2°21=x,2—(―1—Xj)+2021=x；+*+2022=2025

故答案為：2025.

5.“工，卜中至少有一個(gè)小于零”是“》+了<°的條件.

【答案】必要不充分

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義,判斷由““J中至少有一個(gè)小于零'是否能推出“x+"°”成立，再

判斷由“x+"0”是否能推出“XJ中至少有一個(gè)小于零，成立即可

【詳解】解:由題知，當(dāng)'J中至少有一個(gè)小于零時(shí)，

不妨取x=T>=2,

此時(shí)x+N=l,

故“xj中至少有一個(gè)小于零,，是“x+y<°的不充分條件，

當(dāng)》+"°成立時(shí)，

則xj中必有負(fù)數(shù)，

故中至少有一個(gè)小于零，

故“XJ中至少有一個(gè)小于零，，是“x+N<0的必要條件，

綜上:“'J中至少有一個(gè)小于零”是“x+><0的必要不充分條件.

故答案為:必要不充分

kx2-Ax+1.

-7------->0

6.設(shè)％eR,若對(duì)任意xcR,都有V+x+2成立，則上的取值范圍為.

【答案】@4)

2,「rJ、/八Ax2-fcv+1八

x+x+2=x+—+—>0--------->0

【分析】由于I2J4恒成立，可以將i+x+2恒成立可轉(zhuǎn)化為

H-kx+l>°恒成立，然后分類(lèi)討論即可得到結(jié)果.

r+X+2=(XH--|H—>0

【詳解】因?yàn)镮2J4恒成立，

kx2-kx^-\〉0

所以x?+x+2>恒成立可轉(zhuǎn)化為h2-丘+1>°恒成立，

當(dāng)4=0時(shí)，1>0恒成立；

A=（-k^-4k<0

當(dāng)人時(shí)，需要滿(mǎn)足卜>°,即。<人<4,

綜上：%的取值范圍為1°'4）.

故答案為：1°'4）.

21

,—+—=

7.設(shè)3"=4=36,則ab

【答案】1

【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：.?.3"=4〃=36,則。=1嗚36/=唾436,

11log,3,、11log4,“

-=---------=----------=log,3—=---------=-------4---=log,4

366a3A6

alog336log336,blog436log436,

21.

?,--+7=210g3+log4=log3+log4=log（3-7x4）=log36=1

ab363636363636.

故答案為：1.

8.設(shè)條件P：l°g2（4x-V）有意義，條件4：|x-1<a（a>0）,若P是4的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

【答案】（°，2）

【分析】先分別求出條件表示的集合48,再由p是q的必要不充分條件，可得集合8是集合

A的真子集，從而可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍

【詳解】由4-2>o,得00<4,記為"={可℃<4},

由卜_2卜心>0）,得2-a<x<2+a,記為={巾一"x<2+a},

因?yàn)閜是4的必要不充分條件，

所以集合8是集合A的真子集，

2-a>0a<2

<2+a<4=><a<2

所以［a>0l?>°,解得0<a42,

當(dāng)“=2時(shí)，8={x|0<x<4}=。滿(mǎn)足題意

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（°'2）,

故答案為：（°乂）.

9.某地每年銷(xiāo)售木材約20萬(wàn)ml每立方米的價(jià)格為2400元.為了減少木材消耗，決定按銷(xiāo)售收

5

入的「％征收木材稅，這樣每年的木材銷(xiāo)售量減少5'萬(wàn)心，為了既減少了木材消耗又保證稅金收

入每年不少于900萬(wàn)元，則t的取值范圍是.

【答案】

【解析】設(shè)按銷(xiāo)售收入的f％征收木材稅時(shí)，稅金收入為v萬(wàn)元，求得每年的木材銷(xiāo)售量

（20-31240（）|20--rI^=2400|20--r|x/%

I2J萬(wàn)掰.每年的銷(xiāo)售收入為I2J萬(wàn)元，可得I2），令y?900,

由二次不等式的解法，可得所求范圍.

【詳解】解：設(shè)按銷(xiāo)售收入的，%征收木材稅時(shí)，稅金收入為y萬(wàn)元，

/=2400（20-I,x伙=60色-/）

令”900,即60?-產(chǎn)）*900,解得3Q5.

故答案為：[3,5]

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,使-—2x2/恒成立，那么我們把"的最大值叫做/-2x的下確界.若實(shí)數(shù)

12

.-----

6滿(mǎn)足必>0且a+b=l,則2a6的下確界為.

9

【答案】2

12

---1—

【分析】由題，下確界即2“b的最小值，求最小值即可.

【詳解】因?yàn)椤?6=1,且成>0,

129

當(dāng)且僅當(dāng)6=2。時(shí)取等號(hào)，所以24十7的下確界為：2.

9

故答案為：2.

產(chǎn)-1+。一。2<0

11.已知不等式組》+2a>l的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求。的取值范圍是

【答案】（12]

-x+a-a2<0

【詳解】試題分析：不等式組x+2°>l，即x>l-2”，

①當(dāng)a=l-a時(shí)，即a=5時(shí)，x無(wú)解.

②當(dāng)a>l-a時(shí)，即a>5時(shí)，不等式組的解集為(1-a,a),

再根據(jù)此解集包含2個(gè)整數(shù)解，可得l-a<0,且aW2,解得l<a/2.

③當(dāng)a<l-a時(shí)，即a<5時(shí)，

若不等式組的解集為(l-2a,1-a),無(wú)整數(shù)解，不滿(mǎn)足題意.

若aVO,不等式組的解集為0,不滿(mǎn)足題意.

綜上可得，l<aW2,

【解析】不等式的解法

12.對(duì)于數(shù)集丫={-1/32，覆=,，兌},其中0<占</<看<…<x,,w42,定義點(diǎn)集

y={(S,/)|S€X,fwX},若對(duì)于任意([/)€、存在($2出)€丫，使得“2+他=0,則稱(chēng)集合X具

有性質(zhì)尸.則下列命題中為真命題的是.

①、={-1,1,2}具有性質(zhì)p；

②若集合X具有性質(zhì)P,則lex；

1

③集合X具有性質(zhì)產(chǎn)，若2,則兌=1.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)已知條件及集合X具有性質(zhì)戶(hù)的定義，結(jié)合反證法即可求解.

【詳解】因?yàn)?=所以

y={(-1-1),(1,1),(2,2),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(112),(2,-l),(2j)}；

根據(jù)集合X具有性質(zhì)尸的定義，對(duì)于任意@‘)€丫，

若s>0/>0,貝ijs=f或($』)=0,2),或GJ"?！?，

若5=￡,取$2=-1，，2=-1,則斜2+〃2=0；

若取52=2冉二一1,則應(yīng)十〃2=。；

若(s/)=(2，l),取$2=—1,，2=2,則5$2+〃2=。；

若印有一個(gè)為負(fù)數(shù)，則--1或，=-1,

若S=-l,則取$2=的=1,則SS2+%=°；

若/=_],則取S2=L‘2=S,則SS2+〃2=0；

故①正確；

對(duì)于任意G"）ey,存在（$2山）",使得SR+%=0

取區(qū)，為）“，存在a”）使得中.+占%=0,所以。+%=°,

不妨設(shè)外=1，%=-1,所以若集合X具有性質(zhì)P,則XX,故②正確；

11C

-4=—，f[=X”,tz—s+tx=0

③假設(shè)4>1,令2?則存在s/wX使得2n,

同②得型中必有一個(gè)數(shù)為T(mén),

111

lx——t=<-=X|

若s=-l,則"2,于是2x?2,矛盾，

若f=T,則2,于是s=2x“>x"，也矛盾，

所以々'I,又由②得IwX,所以毛21,所以毛=1,故③正確，

故真命題是①②③正確.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是抓住集合X具有性質(zhì)尸的定義，結(jié)合反證法即可.

二、單選題

13.設(shè).，人是滿(mǎn)足/<0的實(shí)數(shù)，那么（）

A.\a+b\>\a-b\B\a+b\<\a-b\c|a-Z?|<||a|-|5||D|a-d|<|a|+|Z>|

【答案】B

【分析】利用舉反例可判斷ACD,利用不等式的性質(zhì)可判斷B

【詳解】對(duì)于A,a=l』=T滿(mǎn)足"<0,則M+M==此時(shí)故不正確;

對(duì)于B,因?yàn)?<0,所以/+b2-2a6>/+^+2血

所以（"城>（a+4,所以1。+可<卜叫，故正確；

對(duì)于C,=滿(mǎn)足"<0,則|。-昨2,|14-網(wǎng)|=0,此時(shí)|"例>料一網(wǎng)|,故不正確；

對(duì)于D,a=L6=T滿(mǎn)足/<0,則1"耳=2,同+網(wǎng)=2,此時(shí)|。-1=同+例,故不正確;

故選：B

14.用反證法證明命題：“已知。，心,若成不能被5整除，則。與人都不能被5整除”時(shí)，假

設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（）

A.。、都能被5整除

B.a、"不都能被5整除

C.人至多有一個(gè)能被5整除

D.”、方至少有一個(gè)都能被5整除

【答案】D

【分析】根據(jù)反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，可知應(yīng)假設(shè)命題的否定成立.

【詳解】假設(shè)的內(nèi)容是命題“。與6都不能被5整除”的否定為“。、b至少有一個(gè)能被5整除”.

故選：D

15.小王從甲地到乙地再返回甲地，其往返的時(shí)速分別為a和b（a<b）,其全程的平均時(shí)速為v,

則（）

a+ba+b

A.a〈v<而B(niǎo).尸疝C.瘋<v<2D.v=2

【答案】A

2S2ab

v=-----=----

SSa+b

—I—

【分析】設(shè)甲乙兩地相距S,則平均速度。b，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.

2S2ab

v=-----=----

SSa+b

一十一

【詳解】設(shè)甲乙兩地相距S,則平均速度ab.

lablab

--->----=a

又?：a<b,a+bh+h

2ablab

,,a+b>2>[abf...a+b2\[ab

,.a<v<^bt故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

16.記方程①：/+平+1=°,方程②：/+限+2=0,方程③：/+叱+4=0,其中q,

%,如是正實(shí)數(shù).當(dāng)4,牝，生成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程③無(wú)實(shí)根的是

A.方程①有實(shí)根，且②有實(shí)根B.方程①有實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根

C.方程①無(wú)實(shí)根，且②有實(shí)根D.方程①無(wú)實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根

【答案】B

,,a,=^-<—=16,

【詳解】當(dāng)方程①有實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根時(shí)，可24,%<8,從而.a；4即方程③：

『+a/+4=°無(wú)實(shí)根，選B.而A,D由于不等式方向不--致，不可推：C推出③有實(shí)根

【解析】不等式性質(zhì)

三、解答題

J=lx|—＞1

17.已知集合〔1+x8=*|Y_(2々+3)x+a(a+3)<0

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求/c8；

（2）若Bui,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（l）"c8=[L2]

⑵。4-4或。＞2

【分析】（1）當(dāng)。=1時(shí)，求出集合8,即可求出/C8；

（2）由集合N求出彳，利用BuN即可求出。的取值范圍.

/=[田7^-21）=（-1，2]

【詳解】（1）[1+xJ,

8=卜|-（2a+3）x+a（a+3）＜。}=[a,a+3]

當(dāng)。=1時(shí)，8=[1,4],所以NC8=[1,2]

（2）8={X|〃WXWQ+3},4={X|XK-1或x＞2}

若Bu）,則。+34-1或。＞2,所以a4-4或。＞2.

18.（1）已知實(shí)數(shù)0力滿(mǎn)足。＞6,求證：f＞立

（2）已知實(shí)數(shù)0力滿(mǎn)足/+〃=2,用反證法證明：4+642.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）通過(guò)立方差公式得出+"+〃），根據(jù)已知條件得出a-b＞0,再判

斷/+“/＞+〃＞0,即可證明；

（2）假設(shè)。+6＞2,則。＞2-6,即可得到/+〃＞（2-6）3+",判斷其范圍再與已知對(duì)比，即可

證明.

【詳解】（1）證明：

a-b＞0f

j3

又?.?/_/=（”6）（“+必+〃），且。2+岫+62=（0+56）2+彳62>0

/.a3-Z?3>0,

「.a3>b3.

（2）假設(shè)。+b>2,則八2-6,

故/+/〉Q_匕)3+〃=8-〃+6/-⑵+/=6(b-1)2+2>2

與已知，+力=2矛盾，

故a+H2.

19.為了保護(hù)環(huán)境，某單位采用新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，已知該單位每

月都有處理量，且處理量最多不超過(guò)300噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)

關(guān)系可近似的表示為：y=V-200x+40000,且處理X噸二氧化碳可得到價(jià)值為300x元的化工產(chǎn)

品.

(1)設(shè)該單位每月獲利為S(元)，試寫(xiě)出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)若要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應(yīng)控制在什么范圍？

(3)該單位每月處理量為多少?lài)崟r(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

［答案］(1)$=--+500%-40000(0<x<300)

⑵［100,300］

(3)200噸

【分析】(1)由產(chǎn)品價(jià)格去掉成本即可得到利潤(rùn)：

(2)令利潤(rùn)大于零，求解相關(guān)的一元二次不等式即可得出答案；

(3)表示出每噸平均處理成本，利用基本不等式求解即可.

【詳解】(1)由題意S=300x-(x2-200x+40000)

=-x2+500x-40000(0<x<300)

(2)令SNO,Bp-x2+500x-40000>0,

解得100?xW400,y0<x<300,所以1004x4300,

故要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應(yīng)控制在［'0°，300］內(nèi).

以x+迎-2。。乜戶(hù)口2。。=2。。

(3)由題得xxV%,

40000

當(dāng)且僅當(dāng)x-x,即200時(shí)取等號(hào)，

所以該單位每月處理量為200噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.

20.(1)證明：卜-1|+卜-2怯1對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立，并求等號(hào)成立的條件;

(2)若不等式卜-1卜卜-2〃|>1的解集非空，求〃的取值范圍；

(3)設(shè)關(guān)于*的不等式"2+2,-4-20<°的解集為4試探究是否存在aeN,使得不等式

一+》-2<°與"x-l|<x+2的解都屬于《若不存在，說(shuō)明理由，若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的a的

所有值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析，當(dāng)“*口'2］時(shí)取等號(hào)；(2)或。<°；(3)存在，。=°或"1或

a=2

【分析】(1)應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式即可證明;(2)解集非空轉(zhuǎn)化為最大值大于1解不等式即可；

(3)先解一元二次不等式和絕對(duì)值不等式確定A的子集，再分。=°和兩種情況討論求解可得

。的值.

【詳解】⑴由三角不等式得kT+k-2|N|(x-l)-(x-2)|=l,當(dāng)xe［L2］時(shí)取等號(hào).

(2)由題意得l<k-l|-|x-2aK|(x-l)-(x-2a)|,

所以12"心1,解得或”0,

xe(-2,l)

卜f。

(3)由IRXT<X+2得［(3人故(-2,3)5,

若a=0,則2k|<20,所以xe(-10,10),符合題意，

若"0,設(shè)g(x)=ax2+2|x-a|-20,

因?yàn)椤?gt;0,aeN,所以g(-2)40,g(3)W0,

4a+2|a+2|-20<0

所以上。+2|3-力2040,解得"1或"2.

當(dāng)〃=1g(x)=x2+2|x-l|-20^x>l,g(x)=x2+2(x-l)-20=x2+2x-22g(l)<0,g(3)<0

當(dāng)工<1名(尺二犬+2(1―1)_20=12_2五一［8g(-2)<0(-2,3)6^

符合題意

當(dāng)4=2g(x)=2d+2,一2|—20x>2,g(x)=2x2+2(x-2)-20=2x2+2x-24g(2)<0,g(3)=0

^x<2,g(x)=2x2+2(2-x)-20=2x2-2x-16g(-2)<0(一2,3)w4符合題意

綜上，"0或。=1或〃=2.

21.設(shè)”是正整數(shù)，集合/={a1a=(W