2021年安徽省宿州市高考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷（理科）（三模）含答案解析版

2021年安徽省宿州市高考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷（理科）（三模）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符

合題意）

1.（5分）已知集合4=口|》。+1耳2},5={x|log3（l-xKl},則/口8=（）

A.（-2,1）B.[-2,1）C.[-1,1]D.（-1,1]

7_產(chǎn)021

2.（5分）i為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)2=二一，則z的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

1+i

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）我國古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之早在1500多年前就算出圓周率萬的近似值在3.1415926

和3.1415927之間，這是我國古代數(shù)學(xué)的一大成就.我們知道用均勻投點(diǎn)的模擬方法，也可

以獲得問題的近似解.如圖，一個(gè)圓內(nèi)切于一個(gè)正方形，現(xiàn)利用模擬方法向正方形內(nèi)均勻投

點(diǎn)，若投點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為小則估計(jì)圓周率的值為（

)

「355D.犯

B

7-T113120

4.（5分）已知〃、b為兩條不同直線，a、￡為兩個(gè)不同平面.下列命題中正確的是（）

A.若q//a,bIla,則。與6共面B.若a_La,aJL/?,則。//夕

C.若。_1_。，a//夕，則a_l_pD.若a//6,ptlb,則a///?

分）函數(shù)人%）=中的圖象大致為

5.（5（)

e

第1頁（共24頁）

y

6.（5分）新冠肺炎疫情防控期間，按照宿州市疫情防控應(yīng)急指揮部的要求，市教育體育局

對各市直學(xué)校下發(fā)了有關(guān)疫情防控通知.某學(xué)校按市局通知要求，制定了錯(cuò)峰放學(xué)，錯(cuò)峰吃

飯的具體防疫措施.高三年級(jí)一層樓有“、B、C、D、E、尸六個(gè)班排隊(duì)吃飯，力班必

須排在第一位，且。班、E班不能排在一起，則這六個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同方案共有（）

A.20種B.56種C.72種D.40種

7.（5分）（x+2y）（2x+y）s的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.80B.160C.200D.240

8.（5分）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列缶"｝的前"項(xiàng)和為，且0口7=34,%與生的等差中

項(xiàng)為18,則演=()

A.108B.117C.120D.121

9.(5分)已知奇函數(shù)/(x)在尺上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-k>gj)，b=g(2"),

25

c=g(3),則a,h,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<h<aC.h<c<aD.b<a<c

r2v2

10.（5分）己知雙曲線二—與=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥，圓V+/=/+〃

ab"

與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為A,B,四邊形4片B乙的周長p與面積S滿

足二二上，則該雙曲線的離心率為（）

p-64

A.aB.在C.近

D.空

2223

11.（5分）已知函數(shù)/（x）=sinx,函數(shù)g（x）的圖象可以由函數(shù)/（x）的圖象先向右平移至個(gè)

6

單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腖?>0）得到.若函數(shù)

CD

2g（x）=l在（0,萬）上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.f3）B.（Z,3]C.吊，mD.蔣，當(dāng)

第2頁（共24頁）

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=|x|e［若函數(shù)g(x)=/2(x)-0M+3)/(x)+3加恰有四個(gè)不同的零

點(diǎn)，則加的取值范

圍為()

A.(2,+oo)B.(-,+oo)C.(-,1)D.(0,-)

eee

二、填空題(共4小題，每題5分，共計(jì)20分)

x+2y22

13.(5分)已知實(shí)數(shù)x,歹滿足卜-》+220,目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值為.

4%一工4

14.(5分)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和為S,，并且滿足S“=2〃2-10〃，則出4的值為-

15.(5分)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉脯.己知在鱉

膈/-BCD中，滿足AB1平面BCD，且8C=CO=4,當(dāng)該鱉般的內(nèi)切球的半徑為2(72-1)

時(shí)，則此時(shí)它外接球的體積為一.

16.(5分)已知力,8分別為拋物線=8x與圓。2：》2+/-6》-4向，+16=0上的動(dòng)

點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為尸，P、0為平面內(nèi)兩點(diǎn)，且當(dāng)|/F|+|N2|取得最小值時(shí)，點(diǎn)4與點(diǎn)

P重合；當(dāng)|2尸|-|48|取得最大值時(shí)，點(diǎn)力與點(diǎn)0重合，則A/乎。的面積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必作答，第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共

60分.

17.(12分)在A48C中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,asinB=bsin(^~A)+yl3b.

(I)求角A的大小；

(II)若a=6,求邊BC的中線NO長度的最小值.

18.(12分)在直角梯形NBCD中，AABC=90°,BCI/AD,AD=4,AB=BC=2,M

為線段4。中點(diǎn).將A48C沿NC折起，使平面N8CJL平面/CZ),得到幾何體8-NCZ).

(I)求證：/8_1_平面8。。；

(II)求直線8。與平面8CW所成角的正弦值.

第3頁(共24頁)

19.（12分）已知橢圓。:0+耳=15>6>0）,若拋物線/=4x的焦點(diǎn)/恰好為橢圓C的

67bL

右焦點(diǎn)，且該拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為尸弓，平）.

（I）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)/、8是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線/與橢圓交于尸、。（不同于/、B）

兩點(diǎn)，設(shè)直線工尸與直線8。交于E點(diǎn)，求證：點(diǎn)E在定直線上.

20.（12分）2021年春節(jié)檔電影《你好李煥英》在大年初一上映，該片是今年票房的黑馬，

上映之前人們對它并不看好，預(yù)售成績也很一般，不過上映之后很快就改變了人們對它的看

法，憑借著不錯(cuò)的口碑，《你好李煥英》票房實(shí)現(xiàn)了逆襲，僅用10天就成為春節(jié)檔票房冠軍.某

電影院統(tǒng)計(jì)了該電影上映高峰后連續(xù)10場的觀眾人數(shù)，其中每場觀眾人數(shù)y（單位：百人）

與場次x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X12345678910

y2.7721.921.361.121.090.740.680.620.55

通過散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性，且滿足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式：y=aeh',設(shè)。=/町.

（I）利用表格中的前8組數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)廣，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為x與。之間具

有線性相關(guān)關(guān)系（當(dāng)相關(guān)系數(shù)滿足|川>0.789時(shí)，則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量具有線性相

關(guān)關(guān)系）；

（II）利用x與。的相關(guān)性及表格中的前8組數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程（結(jié)果保留兩

位小數(shù)）；

（IH）如果每場觀眾人數(shù)不足0.7（百人），稱為“非滿場”.從表格中的10組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選

出8組，設(shè)J表示“非滿場”的數(shù)據(jù)組數(shù)，求J的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：A/42B6.48,76x2.45,7^70?1.30,e'17?3.22.前8組數(shù)據(jù)的相關(guān)量及公式：尤占=36,

/=1

8=11.68,象gq=2.18,8占-亍>=42,￡8（%-7y=3.61,8-?）2=1.70,

/=l/=!Z=lt=l

第4頁（共24頁）

^(x,.-x)(x-7)=-11.83，￡(x,-%)Q-萬)=-8.35,

1=11=1

對于樣本(匕，“,)(i=l，2,n),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

Z(匕-v)(?,.-u)z匕%-〃西Z(匕-")(%-))

$=J--------------7--------------a=ii-bv,相關(guān)系數(shù)廠=/“.,“.

f(匕f2/：-而2，E(v,-V)2#(?,.-w)2

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*-or,g(x)=~^ax~~ax+x.

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)若aWl-L證明：當(dāng)xe［-l,+co)時(shí)，/(x)》g(x)+l.

e

(-)選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］)

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xC(y中，曲線C的參數(shù)方程為：卜=2+2cosa(a為參數(shù)),

［y=2sina

已知直線4:x-勒=0,直線4：瓜+N=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立

極坐標(biāo)系.

(I)求曲線c以及直線4，4的極坐標(biāo)方程；

(n)若直線4與曲線c分別交于。、/兩點(diǎn)，直線(與曲線c分別交于。、B兩點(diǎn),求

A4OB的面積.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)/(x)=|x-2|-|x+l|.

(I)求不等式f(x)Wl的解集；

(0)若函數(shù)/(x)的最大值為〃?，且正實(shí)數(shù)°,人滿足2a+6="，求證：a2+4b2^—.

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2021年安徽省宿州市高考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷（理科）（三模）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符

合題意）

1.（5分）已知集合/="|祗+1）@）,5={x|log,（l-xKl}.則始2=（）

A.（-2,1）B.[-2,I）C.[-1,1]D.（-1,1]

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【分析】可求出集合B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

【解答】解：A-{x\x2+x-2^0}={x|,5={x10<1-x^3}={x|-2^x<1},

^p|5=[-2,1）.

故選：B.

2.（5分）i為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)2=二一，則z的共擾復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

1+Z

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、周期性、共甑復(fù)數(shù)的定義及幾何意義即可得出.

【解答】解：???/=1,.?.產(chǎn)=(/4)505-i=i,

9_;20212-z(2-0(1-/)2-1-3z_17iq

...復(fù)數(shù)Z=,則z的共輾復(fù)數(shù)彳=上+乙?在復(fù)

1+z-7+7-(i+o(i-f)~_2~~2222

平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（g,m位于第一象限,

故選：A.

3.（5分）我國古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之早在1500多年前就算出圓周率萬的近似值在3.1415926

和3.1415927之間，這是我國古代數(shù)學(xué)的一大成就.我們知道用均勻投點(diǎn)的模擬方法，也可

以獲得問題的近似解.如圖，一個(gè)圓內(nèi)切于一個(gè)正方形，現(xiàn)利用模擬方法向正方形內(nèi)均勻投

點(diǎn)，若投點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為口，則估計(jì)圓周率的值為（）

第6頁（共24頁）

【考點(diǎn)】幾何概型

【分析】根據(jù)幾何概型求出圓周率的估計(jì)值即可.

【解答】解：由幾何概型得：p=-=~,

414

22

:.n=一，

7

故選：A.

4.（5分）已知a、h為兩條不同直線，a、0為兩個(gè)不同平面.下列命題中正確的是（）

A.若〃//a,bI/a,則。與b共面B.若〃_La,a10,則

C.若a_La,a///?,則aJ_4D.若a〃b,/?///?,則

【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直

線之間的位置關(guān)系

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系判定48。；由直線與平面垂直的性

質(zhì)判斷C.

【解答】解：若a//a,blla則a//b或。與6相交或。與b異面，故力錯(cuò)誤；

若Q_LG,a1J3,則。///或au/7,故8錯(cuò)誤；

若a//夕，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得故C正確；

若a/",ptlb,則a//夕或a與夕相交，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

5.（5分）函數(shù)/（x）=—的圖象大致為（）

第7頁（共24頁）

y

【考點(diǎn)】3/1：函數(shù)的圖象與圖象的變換

【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性即可得答案；

【解答】函數(shù)/Xx）=—不是偶函數(shù)，可以排除C,D,

e

又令f'M=二廠+2x+l=o得極值點(diǎn)為x,=l-72,x2=l+&,

e

所以排除8,

故選：A.

6.（5分）新冠肺炎疫情防控期間，按照宿州市疫情防控應(yīng)急指揮部的要求，市教育體育局

對各市直學(xué)校下發(fā)了有關(guān)疫情防控通知.某學(xué)校按市局通知要求，制定了錯(cuò)峰放學(xué)，錯(cuò)峰吃

飯的具體防疫措施.高三年級(jí)一層樓有/、B、C、D、E、尸六個(gè)班排隊(duì)吃飯，/班必

須排在第一位，且。班、E班不能排在一起，則這六個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同方案共有（）

A.20種B.56種C.72種D.40種

【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題

【分析】根據(jù)題意，將除/外的5個(gè)班級(jí)安排在后面的5個(gè)位置即可，由此分2步進(jìn)行分

析：①將8c尸三個(gè)班級(jí)全排列，排好后有4個(gè)空位，②在4個(gè)空位中選出2個(gè)，安排。班、

E班，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/班必須排在第一位，剩下5個(gè)班級(jí)安排在后面的5個(gè)位置即可,

分2步進(jìn)行分析：

①將BCF三個(gè)班級(jí)全排列，排好后有4個(gè)空位，有《=6種排法，

②在4個(gè)空位中選出2個(gè)，安排。班、E班，有442=12種排法，

則有6x12=72種不同的方案，

故選：C.

7.（5分）（x+2y）（2x+y）s的展開式中F丁項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.80B.160C.200D.240

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

第8頁（共24頁）

【分析】把(2x+y)5按照二項(xiàng)式定理展開，可得結(jié)論.

【解答】解：

(x+2y)(2x+y)5=(x+2y)(Cf-(2x)5+C；-(2x)4y+C1-(2x)3y2+C^-(2x)2y3+C*-(2x)-y4+C^-y5)

故展開式中x3y項(xiàng)的系數(shù)為C?22+2C；.23=200,

故選：C.

8.(5分)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S.，且q%=3q，%與巴的等差中

項(xiàng)為18,則/=()

A.108B.117C.120D.121

【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,q>0,由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式，解方程可得首項(xiàng)和公比，由等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛”,｝的公比為q,q>0,

由％%=a：=3a4>可得&=3，即有a4=3,

由々與的的等差中項(xiàng)為18，可得的+為=36,

即為a“+qq2=36,

解得q=81,q=—,

13

81x(1-J)

則$5=------言一=⑵.

1--

3

故選：D.

9.(5分)己知奇函數(shù)/(x)在尺上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-log：g),6=g(2°‘)，

c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【分析】由奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，則g(x)=M(x)偶函數(shù)，且在(0,+oo)單調(diào)遞增，則

第9頁(共24頁)

a=g(-log,-)=g(log25),分析log?5、2°\3的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.

25

【解答】解：奇函數(shù)/(X)在R上是增函數(shù)，當(dāng)x>0,/(x)>/(0)=0,且解(x)>0,

又g(x)=xf(x),則g，(x)=/(x)+xf'(x)>0,

g(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增，且g(x)=xf(x)偶函數(shù)，

，a=g(Togi-)=g(log25),

07

則2<log25<3,1<2-<2,

由g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，則g(2"')<g(log25)<g(3),

:.b<a<c?

故選：D.

10.(5分)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分另1J為E,F,,^x2+y2=a2+b2

ab

與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為力，B,四邊形力耳8乙的周長p與面積S滿

足之=上，則該雙曲線的離心率為()

p64

A.叵B.嶼C.D.空

2223

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)

【分析】由題知，片|-|4月卜2〃，再由四邊形/耳8鳥的周長為p,可得/百|(zhì)+|^|=^,

求出耳|=。+?，|在|=寧"，判斷四邊形/圈為矩形，結(jié)合面積公式以及已知條件

求出5/=2C2,然后求解雙曲線的離心率.

【解答】解：由題知，|/￡|-Mg|=2a,四邊形/耳85的是平行四邊形，|/耳|+|4巴|=5,

聯(lián)立解得，|的=。+",|仍|=分°,又線段耳名為圓的直徑，

由雙曲線的對稱性可知四邊形/片8行為矩形，，5=|/耳||/丹|=2-/,

16

??-4-=—?：.p2=—S,BPp2=—^-a2),解得p2=64",

p643316

由|明『+|盟『'KEF，得2/+￡1=402,即5a2=2C2,可得e=巫.

82

故選：A.

第10頁(共24頁)

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=sinx,函數(shù)g(x)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移工個(gè)

6

單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?0>0)得到.若函數(shù)

0)

2g(x)=1在(0,1)上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則co的取值范圍是()

A?亭3)B.(Z,3]C.耳，.D.耳，.

【考點(diǎn)】函數(shù)尸/sin(5+夕)的圖象變換

【分析】利用函數(shù)、=45M(5+9)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)

的圖象和性質(zhì)，求得。的范圍.

【解答】解：把函數(shù)〃x)=sinx的圖象先向右平移C個(gè)單位長度，可得y=sin(x-馬的圖

66

象；

再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(/>0),得到

co

y=sin?x-工)=g(x)的圖象.

6

???函數(shù)2g(x)=1在(0,乃)上恰有3個(gè)零點(diǎn)，

即當(dāng)x￡(0,笈)時(shí)，sin(d>x一二)=,恰有3個(gè)解.

62

結(jié)合GX一工W(一工,CO7T--),可得24+工<0乃一工W2^+笆，求得哄3,

6666663

故選：B.

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=|x|e"若函數(shù)g(x)=/'2(x)_(m+3)/*)+3相恰有四個(gè)不同的零

點(diǎn)，則〃7的取值范

圍為()

A.(2,+oo)B.(-，+oo)C.(-,1)D.(0,-)

eee

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【分析】函數(shù)/(x)=|x|e'=1：e'，x,°,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出圖象，

結(jié)合圖象即可得出.

【解答】解：函數(shù)/口)=四靖=卜4"卻，

[-x-e',x<0

x^O，fix')=xex,/"(x)=(x+l)e*>0,因此90時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.

第11頁(共24頁)

x<0,f(x)=-xex,f'(x)=-(x+Y)ex,可得函數(shù)f(x)在(-8,-1)單調(diào)遞增;可得函數(shù)/(x)

在(_1,0)單調(diào)遞減.

可得：/(x)在x=-l時(shí)-，函數(shù)/(X)取得極大值，/(-1)=-.

e

畫出圖象：可知：/(x)^0.

函數(shù)g(x)=/(x)-(〃?+3)/(x)+3加恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，

n/(》)=3和/(X)=M共有四個(gè)根，

因?yàn)?(x)=3有1個(gè)根,故f(x)=m有3個(gè)根,

由圖可得：0＜加＜1，

e

故選：D.

二、填空題(共4小題，每題5分，共計(jì)20分)

x+2y22

13.(5分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足,x-y+220,目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值為14.

4x-yW4

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,

把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

第12頁(共24頁)

聯(lián)立07+2=0,解得.RM),

[4x-y=4

化z=3x+2y為y=-gx+：,由圖可知，當(dāng)直線歹=-?|工+：過4時(shí)，

直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3x2+2x4=14,

故答案為：14.

14.(5分)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和為S”，并且滿足S〃=2萬—10〃，則出4的值為.

-48

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

【分析】由S,=2力2-10〃，a2=S2-Sl,。6=$6-S5，能求出生。6.

【解答】解：?.?數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的和為S“，且滿足S〃=2/—10〃，

a2=52-5(=(2x4-10x2)-(2-10)=-4,

a6=S6-S5=(2x36-10x6)-(2x25-10x5)=12,

a2a6=-4X12=-48.

故答案為：-48.

15.(5分)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉腌.已知在鱉

席/-BCD中，滿足AB1平面BCD,S.BC=CD=4,當(dāng)該瞥膈的內(nèi)切球的半徑為2(應(yīng)-1)

時(shí)，則此時(shí)它外接球的體積為_32A/LT_.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積

【分析】首先利用等體積轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用求出N8的長，進(jìn)一步求出球的半徑，最后求出球體

第13頁(共24頁)

的體積.

【解答】解：根據(jù)題意：在鱉腌Z-BC。中，滿足平面BCD,且BC=CO=4,當(dāng)該

鱉席的內(nèi)切球的半徑為2（a-1）時(shí)，

設(shè)AB=x,

如圖所示:

利用等體積轉(zhuǎn)換

-X—x4x4xx=-x(—x4xx+—x4x4+—x4xJ16+x2+—x4^2xx)x2x(72-1),

3232222

解得x=4或0（舍去）,

故外接球的半徑R="+'+不=2百,

2

故P=§?乃?（26）3=32V3^

故答案為：326.

16.（5分）已知力,8分別為拋物線G：/=8X與圓。2：/+_/-6》-4年+16=0上的動(dòng)

點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為尸，P、。為平面內(nèi)兩點(diǎn)，且當(dāng)|/F|+|Z8|取得最小值時(shí)，點(diǎn)4與點(diǎn)

尸重合；當(dāng)|-|取得最大值時(shí)，點(diǎn)/與點(diǎn)。重合，則AF尸0的面積為_4亞

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)

［分析】利用拋物線的定義及其性質(zhì)，分析出何時(shí)|NF|+1取得最小值，何時(shí)|4尸|-1

取得最大值，進(jìn)而確定點(diǎn)尸，0的坐標(biāo)，即可解出.

【解答】解：由題意可知G是以G，2忘）為圓心，1為半徑的圓，F(xiàn)（2,0）,如圖：

第14頁（共24頁）

記G的準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)/作/的垂線，垂足為。，過點(diǎn)作/的垂線，垂足為A，連接力C2,

則|4/|+|^8|=|40|+|48|》|4￡>|+|水；2|-1》?刀|-1,當(dāng)且僅當(dāng)/,C2,。三點(diǎn)共線

且點(diǎn)8在線段4C2上時(shí)取等號(hào)，則點(diǎn)尸（1,272）,

連接FC2,則7H|W|4F|-（IAC21-1）=|AF-\AC2|+K|FC,|+1,當(dāng)且僅當(dāng)/為線

段FC2的延長線與拋物線G的交點(diǎn)，且點(diǎn)B在線段AC2上時(shí)等號(hào)成立，

易知點(diǎn)。在第一象限，由卜=20（》一2）得［4,4拒），

y=8x

FQ|=7（2-4）2+（0-4^）2=6,點(diǎn)、P到直線QF的距離為d=儂|"生紀(jì)11=逑,

』+（2偽23

?1'S^PQ=；x6x^^=4后）

故答案為：4丘.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必作答，第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共

60分.

17.（12分）在A48c中，角/、8、C的對邊分別為a、b、c,asin8=%sin（?-/）+取.

（I）求角A的大小;

第15頁（共24頁）

（H）若。=6，求邊8c的中線長度的最小值.

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理

【分析】（1）利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再結(jié)合兩角差的正弦公式、輔助角公

式，即可得解；

（n）在ZU8Q和AJCQ中，分別使用余弦定理，^^2AD2=b2+c2-一,再在A4BC中，

2

由余弦定理得（道）2=尸+。2+A，然后利用基本不等式推出〃+C2＞2,從而得解.

【解答】解：（I）由正弦定理得，—=—

sinAsinBsinC

因?yàn)镼sin5=bsin(y-A)+下>b

所以sin/sinB=sinBsin(y一4)+百sin6

因?yàn)閟in8w0,所以sinZ=sin(y-4)+VJ,

所以sin力=-cosA-—sinA+正，即—sinA-—cosA=\,

2222

所以sin（4_（）=l,

又0＜/＜乃，所以一二＜z-2＜包，

666

所以4一工=工，即/=紅.

623

(II)因?yàn)?=

-+AD2-C2-+AD2-b2&

所以^—L-----+----------=0,化簡得24。2=〃+，-士,

V3.oV32

29x—xAn.D2x—xA.D

22

在&4BC中,由余弦定理得，a2=62+c2-26c-cosJ,

所以(g)2=b2+c2+be>

因?yàn)?c(此金，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)，

2

所以3=/+。2+z?c^|(62+c2),

所以從+C2^2,

所以,

第16頁（共24頁）

所以/。長度的最小值為

2

18.(12分)在直角梯形中，AABC=90°,BCIIAD,AD=4,AB=BC=2,M

為線段4。中點(diǎn).將A//8C沿/C折起，使平面48CL平面4C。，得到幾何體8-4CD.

(I)求證：/8_1_平面8。。；

(II)求直線BD與平面BCM所成角的正弦值.

【考點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面所成的角

【分析】(I)推導(dǎo)出CD_L/C,COJ.面NBC,CDLAB,AB1BC,由此能證明/8_L

平面BCD.

(H)取4C的中點(diǎn)。，連接08,OM,以。加、OC,08所在直線為x軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線8力與平面所成角的正弦值.

【解答】解：(1)證明：由題設(shè)可知NC=2V2,CD=25/2,AD=4,

AD2=CD2+AC2,CDLAC,

又?/平面ABC1平面ACD,平面ABCC平面ACD=AC,

.,.8_1面/8。，CD1AB,

ABVBC,K5CQCD=C,AB1BCD.

(H)取ZC的中點(diǎn)。，連接08,由題設(shè)可知A48C為等腰直角三角形，

.?.。5_1面1。胡，連接,

?：Mx。分別為48和/C的中點(diǎn)，.?.<?///CZ),

由(I)可知故以O(shè)M、0C、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖所示.

則。(2&,近,0),8(0,0,&),C(0,近,0),“(&,0,0),

BC=(0,y/2,-y/2),CM=(y/2,-y/2,0),麗=(2直,"-揚(yáng)，

設(shè)平面8cA/的一個(gè)法向量力=(x,y,z),

第17頁(共24頁)

.n-BC='\[2y—\[2z=0?z

則《—「r-，取X=1，得元=（1，1，1），

n-CM=V2x-V2j/=0

設(shè)直線BD與平面BCM所成的角為d

則直線BD與平面BCM所成角的正弦值為：

sin公”團(tuán)

|町?1萬|3

19.（12分）已知橢圓C:=+4=13＞人＞0）,若拋物線/=4x的焦點(diǎn)尸恰好為橢圓。的

ab-

右焦點(diǎn)，且該拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為尸（|,手）.

（I）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（11）設(shè)/、B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線/與橢圓交于尸、Q（不同于N、B）

兩點(diǎn)，設(shè)直線4P與直線8。交于E點(diǎn)，求證：點(diǎn)E在定直線上.

【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：直線與橢圓的綜合

【分析】（I）由題意得。=1,再由橢圓定義求出a的值，結(jié)合求出方的值，從

而得到橢圓C的方程.

（11）設(shè)尸（西，弘），Q（X2,y2）,設(shè)直線尸。的方程為工=叩+1,與橢圓方程聯(lián)立，利用

韋達(dá)定理可得乂+%=--*一，y,y2=——^―（*）,再聯(lián)立直線/尸的方程和直線5。的

方程，得到立2=士必.。?_=（即i+3）%=町%+%,將（*）式代入上式可得

工一2必X2-2y]（my2-\）必一切

3,、、39

x+22（%+%）+3%~y\+彳/

求出x的值即可證明結(jié)論.

X~2孤+%）-必

22

【解答】解：（I）由題意得c=l,

第18頁（共24頁）

所以/=4,b2=3

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1.

43

(II)由(1)知尸(1,0),設(shè)直線尸。的方程為x=wy+l,

與橢圓工+幺=1聯(lián)立，得(3//+4)/+-9=0,

43

顯然恒成立，

設(shè)尸(士，必)，Q(X2,y2),

所以有必+%=--6"J->

3m+4E*)

直線/尸的方程為y=」_(x+2),直線B0的方程為了=占A2),

芭+2

聯(lián)立兩方程可得，所以”」(x+2)=*—(x-2),

X]+2x2—2

x+2二%+2%二(孫+3)%二叩|乂+3y2

2必X2-2必(加.匕一1)加必歹2一必

由(*)式可得必力=丁(%+%)，

2m

3，、r39

/+8)+3%

代入上式可得言/+5乃

=3,

~3~~

尹+必)-必

22

解得x=4,

故點(diǎn)E在定直線x=4上.

20.(12分)2021年春節(jié)檔電影《你好李煥英》在大年初一上映，該片是今年票房的黑馬，

上映之前人們對它并不看好，預(yù)售成績也很一般，不過上映之后很快就改變了人們對它的看

法，憑借著不錯(cuò)的口碑，《你好李煥英》票房實(shí)現(xiàn)了逆襲，僅用10天就成為春節(jié)檔票房冠軍.某

電影院統(tǒng)計(jì)了該電影上映高峰后連續(xù)10場的觀眾人數(shù)，其中每場觀眾人數(shù)y(單位：百人)

與場次x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

X12345678910

y2.7721.921.361.121.090.740.680.620.55

通過散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性，且滿足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式：y=設(shè)0=/〃y.

(I)利用表格中的前8組數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為x與o之間具

第19頁(共24頁)

有線性相關(guān)關(guān)系（當(dāng)相關(guān)系數(shù)滿足|川＞0.789時(shí)，則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量具有線性相

關(guān)關(guān)系）；

（H）利用x與。的相關(guān)性及表格中的前8組數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程（結(jié)果保留兩

位小數(shù)）；

（III）如果每場觀眾人數(shù)不足0.7（百人），稱為“非滿場”.從表格中的10組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選

出8組，設(shè)4表示“非滿場”的數(shù)據(jù)組數(shù)，求4的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：相~6.48,娓=2.45,JT而a1.30,e117?3.22.前8組數(shù)據(jù)的相關(guān)量及公式：,斗=36,

/=1

8882882

Ez=11.68.之例=218,￡（xf-x）=42,-歹＞=3.61,￡（＜?,.-?）=1.70,

/=!/=li=l/=1?=1

EU-五）（%一歹）=T1.83，￡（項(xiàng)一,例-而）=-8.35，

1=11=1

對于樣本（匕，?,.）（/=1,2,…，”），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為

Z（匕_v）（M,.-u）2V,.o.-nvux（匕一萬）（%一））

b=^—；i----------=號(hào)----a-=--u--bv,相關(guān)系數(shù)r=J一B——,

E（v,-v）2Ev,.2-nv2

i=l/=1

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差

【分析】（I）求出？“-0.99.從而|r|=0.99＞0.789,進(jìn)而有99%的把握認(rèn)為x與。之間

具有線性相關(guān)關(guān)系.

（11）對y=ae.兩邊求對數(shù)得：出y=Ina+bx,設(shè)〃=/〃“，又⑷=09，則＜w=bx+〃，求

出AX-0.20,x=4,5,5=0.2725,從而〃=而一宸=1.17,。=-0.2x+1.17,由此能求出y

與x之間的回歸方程.

（III）由題意得4的可能取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出J的分布列和

E?）.

-8.35

-0.99.

6.49xl.30~

r卜0.99>0.789,

有99%的把握認(rèn)為x與o之間具有線性相關(guān)關(guān)系.

（II）對y=ae麻兩邊求對數(shù)得：Iny=Ina+bx,

設(shè)〃=Ina,又=Iny,則