課件-023邏輯函數(shù)表達式形式及變換

2.3邏輯函數(shù)表達式的形式及變換1邏輯函數(shù)的建立

將真值表中使每個輸出變量值為1時對應(yīng)的一組輸入變量組合以邏輯乘（與運算）形式表示（其中在輸入變量組合中，用原變量表示變量取值1，用反變量表示變量取值0），再將所有使輸出變量值為1的邏輯乘項進行邏輯加（或運算），即得到輸出變量的邏輯函數(shù)表達式。

例1.兩個單刀雙擲開關(guān)A、B，分別安裝在樓上和樓下。上樓之前在樓下開燈，上樓后關(guān)燈；反之下樓之前在樓上開燈，下樓后關(guān)燈。試建立其邏輯函數(shù)式。2例2有X、Y、Z三個輸入變量，當(dāng)其中兩個或兩個以上取值為1時，輸出F為1；其余輸入情況輸出均為0。試寫出描述此問題的邏輯函數(shù)表達式。

解：三個輸入變量有23=8種不同組合，根據(jù)已知條件可得真值表如下：由真值表可知，使F=1的輸入變量組合有4個，所以F的與—或表達式為：

32.3.1邏輯函數(shù)表達式的基本形式四種表示方法邏輯代數(shù)式

(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式)11&&≥1ABY邏輯電路圖:卡諾圖n個輸入變量種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對應(yīng)列出的表格。4將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應(yīng)地列出。n個變量可以有2n個輸入狀態(tài)。(1)真值表列真值表的方法：一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。5(2)邏輯函數(shù)式一、邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，一個邏輯函數(shù)的表達式可以有與或表達式、或與表達式、與非-與非表達式、或非-或非表達式、與或非表達式5種表示形式。6邏輯函數(shù)表達式的兩種基本形式

兩種基本形式：指“與-或”表達式和“或-與”表達式。

一、“與-或”表達式

“與-或”表達式：是指由若干“與項”進行“或”運算構(gòu)成的表達式。每個“與項”可以是單個變量的原變量或反變量，也可以由多個原變量或者反變量相“與”組成。例如，均為“與項”，將這3個“與項”相“或”便可構(gòu)成一個3變量函數(shù)的“與－或”表達式。即

“與項”有時又被稱為“積項”，相應(yīng)地“與-或”表達式又稱為“積之和”表達式。7二、“或-與”表達式

“或-與”表達式：是指由若干“或項”進行“與”運算構(gòu)成的表達式。

每個“或項”可以是單個變量的原變量或者反變量，也可以由多個原變量或者反變量相“或”組成。

例如，、、、D均為“或項”，將這4個“或項”相“與”便可構(gòu)成一個4變量函數(shù)的“或-與”表達式。即

“或項”有時又被稱為“和項”，相應(yīng)地“或—與”表達式又稱為“和之積”表達式。8

該邏輯函數(shù)是“與—或”式？不是！是“或—與”式？也不是！但不論什么形式都可以變換成兩種基本形式。

邏輯函數(shù)表達式可以被表示成任意的混合形式。例如，

9通常采用“與或”或“或與”的形式。

一種形式的函數(shù)表達式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數(shù)表達式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。例：102.3.2邏輯函數(shù)表達式的標準形式

邏輯函數(shù)的兩種基本形式都不是唯一的。例如為了在邏輯問題的研究中使邏輯功能能和唯一的邏輯表達式對應(yīng)，引入了邏輯函數(shù)表達式的標準形式。邏輯函數(shù)表達式的標準形式是建立在最小項和最大項概念的基礎(chǔ)之上的。11一、最小項和最大項

(1)定義：如果一個具有n個變量的函數(shù)的“與項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“與項”被稱為最小項。有時又將最小項稱為標準“與項”。

1．最小項(2)最小項的數(shù)目：n個變量可以構(gòu)成2n個最小項。

例如，3個變量A、B、C可以構(gòu)成、、…、

ABC共8個最小項。12最小項（以三變量的邏輯函數(shù)為例）具有以下特點的乘積項：1、每項只有三個因子；2、每個變量都是它的因子；3、每一變量以原變量或反變量形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。變量賦值為1時用該變量表示；變量賦值為0時用該變量的反來表示。輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對應(yīng)著八個最小項，n個變量共有2n個最小項13（3）簡寫：用mi表示最小項。

下標i的取值規(guī)則是：按照變量順序?qū)⒆钚№椫械脑兞坑?表示，反變量用0表示，由此得到一個二進制數(shù)，與該二進制數(shù)對應(yīng)的十進制數(shù)即下標i的值。

例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最小項可用m5表示。因為m5

(5)10101AC14三個變量的所有最小項的真值表m0—m7為對最小項的編號15在由n個變量構(gòu)成的任意“與項”中，最小項是使其值為1的變量取值組合數(shù)最少的一種“與項”，這也就是最小項名字的由來。

（4）性質(zhì):

最小項具有如下四條性質(zhì)。

性質(zhì)1:任意一個最小項，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個最小項的值為1。并且，最小項不同，使其值為1的變量取值不同。16

性質(zhì)3：

n個變量的全部最小項相“或”為1。

通常借用數(shù)學(xué)中的累加符號“Σ”，將其記為

性質(zhì)2：

相同變量構(gòu)成的兩個不同最小項相“與”為0。

因為任何一種變量取值都不可能使兩個不同最小項同時為1，故相“與”為0。

即mi·mj=0

性質(zhì)4：

n個變量構(gòu)成的最小項有n個相鄰最小項。

相鄰最小項：是指除一個變量互為相反外，其余部分均相同的最小項。例如，三變量最小項ABC和相鄰。17邏輯相鄰：若兩個最小項只有一個變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱這兩個最小項邏輯相鄰。18邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子19最小項：與項中包含了全部的輸入邏輯變量，每個輸入邏輯變量在與項中可以以原變量的形式出現(xiàn)，也可以以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。又稱為標準與項。20最小項已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。例如：對于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項的變量數(shù)少于3個，則該項可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個，則該項不能繼續(xù)分解。21根據(jù)最小項的特點，從真值表可直接用最小項寫出邏輯函數(shù)式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：驗證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對應(yīng)的輸出狀態(tài)。22

邏輯函數(shù)的最小項表示式：利用邏輯代數(shù)的基本公式，可以把任一個邏輯函數(shù)化成一組最小項之和，稱為最小項表達式。

例1：23例2：24(2)數(shù)目：n個變量可以構(gòu)成2n個最大項。例如，3個變量A、B、C可構(gòu)成、、、

共8個最大項。(1)

定義：如果一個具有n個變量函數(shù)的“或項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“或項”被稱為最大項。有時又將最大項稱為標準“或項”。2．最大項25最大項具有以下特點的標準和之積項：1、每項都包含了函數(shù)的全部變量；2、每一變量以原變量或反變量形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。變量賦值為0時用該變量表示；變量賦值為1時用該變量的反來表示。輸入變量的八種狀態(tài)分別唯一地對應(yīng)著八個最大項，n個變量共有2n個最大項26（3）簡寫：用Mi表示最大項。

下標i的取值規(guī)則是：將最大項中的原變量用0表示，反變量用1表示，由此得到一個二進制數(shù)，與該二進制數(shù)對應(yīng)的十進制數(shù)即下標i的值。例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最大項可用M5表示。因為M5

(5)1010127三個變量的所有最大項的真值表M0—M7為對最大項的編號28（4）性質(zhì)：最大項具有如下四條性質(zhì)。

性質(zhì)1任意一個最大項，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個最大項的值為0。并且，最大項不同，使其值為0的變量取值不同。在n個變量構(gòu)成的任意“或項”中，最大項是使其值為1的變量取值組合數(shù)最多的一種“或項”，因而將其稱為最大項。

29

性質(zhì)2相同變量構(gòu)成的兩個不同最大項相“或”為1。因為任何一種變量取值都不可能使兩個不同最大項同時為0，故相“或”為1。

即Mi+Mj=1

性質(zhì)3

n個變量的全部最大項相“與”為0。通常借用數(shù)學(xué)中的累乘符號“Π”將其記為

性質(zhì)4

n個變量構(gòu)成的最大項有n個相鄰最大項。相鄰最大項是指除一個變量互為相反外，其余變量均相同的最大項。30最大項：或項中包含了全部的輸入邏輯變量，每個輸入邏輯變量在或項中可以以原變量的形式出現(xiàn)，也可以以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次。這種包含所有輸入邏輯變量的或項稱為最大項（或標準或項）。

31根據(jù)最大項的特點，從真值表可直接用最大項寫出邏輯函數(shù)式。32通過比較可以發(fā)現(xiàn)相同編號的最小項和最大項之間存在互補關(guān)系，即：所以：

mi+Mi=1mi·Mi=0列出函數(shù)F的真值表及其最小項和最大項代號如下表。

333．最小項和最大項的關(guān)系

（1）mi和Mi互補，即；例如：則則（2）以m個最小項之和表示的一個n變量的邏輯函數(shù)F，其反函數(shù)可用m個最大項之積表示，這m個最大項的下角標與m個最小項的下角標恰好完全一樣；例如34F（A，B，C）=∑m（1，3，6，7）=∏M（0，2，4，5）

35

推廣到一般情況，同一邏輯函數(shù)從一種標準形式變換為另一種標準形式時，只需將∑m和∏M符號互換，并在其后的括弧中填入原標準形式缺少的數(shù)字即可。如：F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14）=∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）36綜合舉例例1.如果邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（1，4，9，12），G（A，B，C，D）=∏M（1，4，9，12），求F+G=？解：F和G是具有相同變量個數(shù)的兩個函數(shù)，F(xiàn)（A，B，C，D）=∑m（1，4，9，12）意味著ABCD取值0001、0100、1001、1100時F的值為1，否則F的值為0。G（A，B，C，D）=∏M（1，4，9，12）意味著ABCD取值0001、0100、1001、1100時G的值為0，否則G的值為1。由此可見，F(xiàn)和G互為反函數(shù)。所以F+G=137所以：=∑m（0，3，5，7）=∏M（1，2，4，6）

因為：解：由F（A，B，C）=∏M（0，2，4，7）可直接求出其反函數(shù)但不能導(dǎo)出F’（A，B，C）=∑m（0，2，4，7）。例2.已知邏輯函數(shù)F（A，B，C）=∏M（0，2，4，7），求其對偶函數(shù)的最小項表達式和最大項表達式。38二、邏輯函數(shù)表達式的標準形式

邏輯函數(shù)表達式的標準形式有標準“與-或”表達式和標準“或-與”表達式兩種類型。

1．標準“與-或”表達式

由若干最小項相“或”構(gòu)成的邏輯表達式稱為標準“與-或”表達式，也叫做最小項表達式。該函數(shù)表達式又可簡寫為F(A，B，C)=m1+m2+m4+m7

=例如，如下所示為一個3變量函數(shù)的標準“與-或”表達式

392．標準“或-與”表達式

由若干最大項相“與”構(gòu)成的邏輯表達式稱為標準“或-與”表達式，也叫做最大項表達式。例如，、、為3變量構(gòu)成的3個最大項，對這3個最大項進行“與”運算，即可得到一個3變量函數(shù)的標準“或-與”表達式該表達式又可簡寫為402.3.3邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換

將一個任意邏輯函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成標準表達式有兩種常用方法，一種是代數(shù)轉(zhuǎn)換法，另一種是真值表轉(zhuǎn)換法。一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法

1.求標準“與-或”式一般步驟如下：

第一步：將函數(shù)表達式變換成一般“與-或”表達式。

第二步：反復(fù)使用將表達式中所有非最小項的“與項”擴展成最小項。

所謂代數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進行邏輯變換，將函數(shù)表達式從一種形式變換為另一種形式。

41

第二步：把“與-或”式中非最小項的“與項”擴展成最小項。具體地說，若某“與項”缺少函數(shù)變量Y，則用()和這一項相與，并把它拆開成兩項。即例如，將邏輯函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成標準“與-或”表達式。解

第一步：將函數(shù)表達式變換成“與-或”表達式。即42所得標準“與-或”式的簡寫形式為當(dāng)給出函數(shù)表達式已經(jīng)是“與-或”表達式時，可直接進行第二步。2.求一個函數(shù)的標準“或-與”式

一般步驟：第一步：將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成一般“或-與”表達式。

第二步：反復(fù)利用定理把表達式中所有非最大項的“或項”擴展成最大項。43解

第一步：將函數(shù)表達式變換成“或-與”表達式。即例如，將邏輯函數(shù)表達式變換成標準“或-與”表達式。=144

第二步：將所得“或-與”表達中的非最大項擴展成最大項。即當(dāng)給出函數(shù)已經(jīng)是“或-與”表達式時，可直接進行第二步。該標準“或-與”表達式的簡寫形式為45二、真值表轉(zhuǎn)換法

具體：真值表上使函數(shù)值為1的變量取值組合對應(yīng)的最小項相“或”,即可構(gòu)成一個函數(shù)的標準“與-或”式。

邏輯函數(shù)的最小項表達式與真值表具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

因此，可以通過函數(shù)的真值表寫出最小項表達式。1.求標準“與-或”式46

解:首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根據(jù)真值表可直接寫出F的最小項表達式1011

0110ABCF1101

11100000

0101

10010010函數(shù)的真值表例如，將函數(shù)表達式變換成標準“與-或”表達式。47

具體：真值表上使函數(shù)值為0的變量取值組合對應(yīng)的最大項相“與”即可構(gòu)成一個函數(shù)的標準“或-與”式。2.求一個函數(shù)的標準“或-與”式

邏輯函數(shù)的最大項表達式與真值表之間同樣具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

48解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根據(jù)真值表直接寫出F的最大項表達式

函數(shù)的真值表1010

0111

ABCF

1100

1110

0000

0100

1001

0011

例如，將函數(shù)表達式表示成最大項表達式的形式。

49由于函數(shù)的真值表與函數(shù)的兩種標準表達式之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，而任何個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，可見，任何一個邏輯函數(shù)的兩種標準形式也是唯一的。邏輯函數(shù)表達式的唯一性給我們分析和研究邏輯問題帶來了很大的方便。50一、卡諾圖的構(gòu)成

卡諾圖是一種平面方格圖，每個小方格代表一個最小項，故又稱為最小項方格圖。

結(jié)構(gòu)特點：

(1)n個變量的卡諾圖由2n個小方格構(gòu)成,每個小方格代表一個最小項；

(2)幾何圖形上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項?？ㄖZ圖中最小項的排列方案不是唯一的，但任何一種排列方案都必須具備以上特點。（3）卡諾圖51

2變量、3變量、4變量卡諾圖如圖(a)、(b)、(c)所示。m3

m1

m2m0

AB0110(a)0m5m4m7m6m3

m1

m2