2010年寒假數(shù)學集訓六導學jx63幾何不等式

（2008年高中數(shù)賽加試）如題一圖，給定凸四邊形ABCD，BD180Pf(P)PABCPDCAPCABf(PP,A,B,CE是ABCOAB上一點，滿足：AE

3，BC

312ECB1ECA又DA,DC是⊙O的切線，AC 22

f[解法一]（Ⅰ）如答一圖1，由不等式，對平面上的P，有PABCPCABPBACf(P)PABCPCABPDPBCAPDCA(PBPD)CAPAB,C順次共圓時取等號，因此當且P在ABCAC上時，

f(P)(PBPDCA …10PBPDBDBPDPBD上時取等號．因此當且僅P為ABCBDf(P)f(P)minACBD．故當f(P)達最小值時，P,A,B,C四點共圓 …20（Ⅱ）記ECB，則ECA2AEsin2 3 sin

3(3sin4sin3)4sincos

3343(1cos2)4cos0343cos24cos 0 …303解 cos

3或cos （舍去1212 30，ACE60

BC

31

sinEAC300sinsin(EAC30)(31)sinEAC 3sinEAC1cosEAC(31)sinEAC 整理 23sinEAC1cosEAC12123 tanEAC 2 3可 EAC75 AC2，則CD又ABC BC

2，BD212

2

5，BD5f(P)minBDAC

5 …502 外接圓O于P0點（因為D在⊙O外，故P0在BD上．2 P0在ACDA1B1C1x，y，z，則AP0C180yzx，B1C1P0AB1A1P0CB1y，同理有A1x，C1z所以A1B1C1∽ABC． …10分設(shè)B1C1BC，C1A1CA，A1B1AB，則對平面上任意點M112SA11(MABCMDCAMCf(M)

從 f(P0)f(M)由MP0f(P …20（Ⅰf(P)2

記ECB，則ECA2AEsin2 3 sin 從而3sin32sin2，即

3(3sin4sin3)4sincos3343(1cos2)4cos0

43cos24cos

30 …30解 cos

3或cos （舍去1212 30，ACE60

BC

31

sinEAC300,sin sin(EAC30)(31)sinEAC 3sinEAC1cosEAC(31)sinEAC 整理 23sinEAC1cosEAC12123 tanEAC 23

，可得EAC75 212212 E45，ABC為等腰直角三角形，AC ，SABC1， AB1C45，B1點在⊙212212

552 52所 f

2

512

10 …50 （Ⅰ）引進復平面，仍用A,B,C等代表A,B,C所對應的復數(shù)．由三角形不等式，對于復數(shù)z1,z2，有z1z2z1z2，z1z2（復向量）同向時取等號．有所 (AP)(CB)(CP)(B(AP)(CB)(CP)(BPPCABCBP(BP)(CA)PBAC，PABCPCABPDCAPBACPDAC(PBPD)BDAC

PABCPABCPCABPABCPC

…10式取等號的條件是復數(shù)AP)(CB與(CP)(BA同向，故存在實數(shù)0，使得(AP)(CB)(CP)(BA)APBAC C所 arg(AP)arg(BA)C CPCPABCABPAB,CBPDPBD故當f(P)達最小值時P點在ABC之外接圓上，P,A,B,C四點共圓 …20（Ⅱ）由（Ⅰ）

f(P)minBDACPP ra、rb、rcra4rrb4rrc在同圓或等圓中，圓心角（銳角）的同側(cè)，則AQBACBABCDABCDADBCACBD，等ABCD是圓內(nèi)接四邊形。定理：若ABCRrdR(Rd R2r，當且僅當ABCd0R(R多斯 不等式：在ABC內(nèi)部任取點P,dA,dB,dC分別是表示由點P到頂dAdBdC2(dadbdc外森比克不等式：設(shè)ABCa、b、cS，則a2b2c243S，當且僅當ABC為正三角形時等號成立。費爾馬問題：在ABCPAPBPCPBAC120oA點為費爾馬點；當ABC中任一內(nèi)角都小于120o時，則與三邊為120oP點為費爾馬點。②例 已知ABC，設(shè)I是它的內(nèi)心，A,B,C的內(nèi)角平分線分別交其對邊ABC14

AIBIAA/BB/CC

8BCaCAbAB

A/Bc

A/C

bc∴∴

abb bcabc易 12

b bcb

b ab∴

b ab a

(21ICCC

aba ab

(21(2

IC/2CC2處理令

IA1t,

1t,IC1t11 1BB11

2CC t1,

,

(2,1),

t3

11∴ 11

t2

t) t) t) t3) 1 1

∴(1t)(1

)(1

)11(ttt)1(t

tttt)ttt

4

21

2 3

12 ∴14

AIBI AA/BB/CC 處理（2）

CC

zxyz2xyz

(2∴xyz(xyz)3 xyzx(2xz)z1(21z)z1(3z)z1[(z3)29 2 1z1（1[(z3)29在區(qū)間端點取到最小值 ∴xyz1[(z3)2

9]1[(13)2

9] amnbnkckmAIBIAA/BB/CC

mn2k2(mn

m2nk2(mn

2mn2(mn(mnk)3(mnk)3(mnmknk)(mnk)mnk8(mnk)3 （）axybyzczx,(xyz0abcabcxyzx,y,z的代數(shù)不等式例 設(shè)P是ABC內(nèi)的一個點，Q,R,S分別是A,B,C與P的連線與對邊的交點（圖

14

.（QRS是三角形

34

1

,

,

ARSPARSP

則由定理SASR

ASARAB

(1)(

BQBSBC

(1)(

CQCRBC

(1)(即

34

(1)(

(1)(

(1)( 只要證6只要證61

1)()]顯然1

1)()當1P是ABC22SPACxSPBCySPABSB

y,x

z,QCxy

ASAR

xz(xy)(z

BQBSBC

(yx)(z

CQCRBC

(xz)(y

34

xz即(xy)(z

(yx)(z

3(xz)(y xz(xzyzyzxy(xy3(xyyz)(z4x2yzy2zx)2z2xy3(xyyz)(z434

xy

yz

y2xzx2yzz2xy)y2xzx2yzz2xy)(x2yy2zz2xxy2yz2zx2

x2yy2zz2x

xy2yz2zx

3xyz3xyzxyzP是ABC3ASBQCR，且, BS1CQ1,AR1ARSP ARSP由定理得(1)(1)(1整理得1

ASAR(1AB

BQBSBC

CQCR(1BC只要證(1(1(14事實上(1(1(11

1 當且僅當

1時取等號，此時QRSP是ABC2

3，B是ON上一點，D為3

OD

CAMABBCCD3分析：以O(shè)M為對稱軸，作D點關(guān)于OM的對稱點D/ D3 以O(shè)N為對稱軸，作A點關(guān)于ON的對稱點A/ 連結(jié)OA/、OD/，則A/OD/60BA、CDADABBCCDBA/BC3因為OA/43OD/3ADAD(OA/)2(OD/)22OA/OD(OA/)2(OD/)22OA/OD/cos在ABCP，使得它到三個頂點距離之和為最大.分析：P在ABCB、CPABACP1P2APPPPPAmax{PAP1 1PAP1P必定在邊界上P只能是ABC不妨設(shè)點P 段BC的內(nèi)部，因PAmax{AB,AC}，設(shè)PAAB，那么PAPBPCPABCAB綜上所述，所求的點必為ABC的頂點， C /O于另一點C/ /O證明：OA/OB/OC/8R3， 在什么情況下等號成立？（ 37IMO預選題A則DA/ODCO90DOCBAC,AOCA/OD180DOCAOCACB cosRtA/OD

cos

C OBCAOBCADcos(ACBABC)cos即

cos(ACBABC)R記為cos

cos(CB)同理OB

cos(AC)cosOC

cos(AB)coscosABcos(BCcos(CA)cos∵cos(AB)

coscos(Acos(A

coscosAcosBsinAsincosAcosBsinAsin

1cotAcot1cotAcotxcotAcotBycotBcotCzcotCcotxyzcotAcotBcotBcotCcotCcotcotA(cotBcotC)cotBcotcot(BC)(cotBcotC)cotBcotcotBcotC1(cotBcotC)cotBcotC1cotBcotC而對于ABCxyz(xy)(z∴cos(AB)1x(xy)(xy)(zcoscos(Bcos

1(x(xy)(z

yx

y(xz)(zcos((xz)(z

x3paAbBcC的關(guān)系 abA1EF和BDG所在平面的距離分別為p和q，則 q 如圖，5條棱長都等于2的四面體的體積的最大值 MAMDBCx2若5x12yx2x被曲線C4

的極小值 (xarcsina)(xarccosayarcsinayarccosa)0d，當變化時d的最小值 yx，得到點(x1y1，(x2y2，(x3y3x1x2x3x2x2x1，下列的數(shù)與上述三點“最貼近”的直線的斜率是從上述三點到這條直線的距離的平小于它們到其他任何直線距離的平方 求出所有的正整數(shù) ，使對任意滿足不等式k(abbcac)5(a2c2abcabcBC是ABC的最長邊，在此三角形內(nèi)部任意選一點OACOOA、OB、OCA1B1、C1，（1）OA1OB1OCACO（2）OA1OB1OC1max{AA1,BB1,CC 在ABCP，使得它到三個頂點距離之和為最大如圖所示，設(shè)C1C2C2的半徑是C12A1A2A3A4于圓C1

A4A1延長交圓C2B1

A1A2延長交圓C2B2

A2A3延長交圓C2B3A3A4C2B4，試證明：四邊形B1B2B3B4的周長大于等于四邊形A1A2A3A42倍，并請確定等號成立的條件摘要:nEnnEn中的一種基本凸體,它的幾何性質(zhì)非常具有一般性關(guān)n維單形的幾何不等式研究,近期建立了許多重要幾何不等式,然而,關(guān)于垂足單形幾何不等式研究還是比較少,n維單形與其垂足單形體積的幾何不等式n維Enn維單形的垂足單形的幾何不等式問題,n維單形與其垂足單形的外接球半徑和內(nèi)切球半徑之間的一個幾何不等式,n維Euler不等式的一些推廣.關(guān)鍵詞單形;外接球半徑內(nèi)切球半徑;垂足單形設(shè)n維歐氏空間En中單形n的頂點為A0, ,An,外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r體積為V,aij

AiAj0ijn,Aifin1維單形 n設(shè)OG分別為單形n的外心與重心P為單形n內(nèi)任一點,作單形n的側(cè)面fi之垂線,垂足為Aii0,1,2, ,n,以A0,A1, 為點P關(guān)于單形的垂足單形1.設(shè)垂足單形的體積為V,外接球半徑為

AiAj0ijn.特別地,P為單形nI 的切點單形2單形中不過同一頂點的兩條棱稱為一對對棱,表示單形各對對棱所成角的算術(shù)平均值 VnnVP為正則單形n中心時等號成立

關(guān)系尚未建立,本文研究了單形與其垂足單形的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之間的不等式關(guān)系,建立了單形的一個新的幾何不等式,作為特例給出了n維Euler不等式的一些推廣. 設(shè)單形n內(nèi)部一點P關(guān)于n的垂足單形為n,則R2R

2

2n1cscn1 cscn1 PI時

n為單形n的切點單形,Rr,于是可得n維Euler如下 對n維單形n,2

n2 R當n為正則單形時等號成立

cscn1nr

n由于cscn

1,因此不等式(3加強推廣了文獻[7]R2n2r2

n當為正則單形時等號成立不等式(4改進了n維Euler不等式[8Rnrn為證明定理1,需下面幾個引理 設(shè)n維單形n內(nèi)一點P到單形的側(cè)面fi之距離為dii0,1, nn2n12Vcsc

當nP為其內(nèi)心時等號成立n由于csc2n11所以不等式(5改進了著名的Gerber不等式9n n2n12

nV di

證明利用下面兩個不等式10,3

2

nnnn12n0i

aijcsc

n

Ficsc

n!

n

由于式(78中等號當且僅當n為正則單形時成立,所以式(9中等號當且僅當n則單形時成立

ndiP在單形n內(nèi)部,所以diFinV或

1,利用算術(shù)幾何平均不等式,nd

ndF

n

nV i

ii

d

i0

n1i0nV

n

ii由不等式(9),(10)便得不等式(5),由證明過程 當n為正則單形且點P為其內(nèi)心時等 2 2 aijFi

n

0i 證明EnB關(guān)于坐標單形n的重心規(guī)范坐標為(λ0,λ1?,λn,nV1Vi0,1 n1，,n

的體積 En中任一點Q,有QBiQAi由此可得iBAiiQAiQB0

2

QBQB2QBBABA n

QB2 在式(12)中取QAj,并兩邊乘以j,,,AABABAj iji nj求和,并利用n

0,得

AAABAiji 0i 對任意給定的一組正數(shù)xii ,n,在En中取一點B,使點B關(guān)于垂足單形 ,,其中xx

,利用式(13,

nij nij

2即0i即

0i

i由于01i0,1, ,n,所以點B在單形n內(nèi)部,又由于單形n的內(nèi)點P關(guān)于n的垂足單形n在單形n內(nèi)部(除頂點外),從而點B在單形n內(nèi)部.過點i面fi之垂線,垂足為Qii xx x

i等號當且僅當QiAi ,n,即BP時成立inn利用Cauchy不等式與BQjgFinV,nxBQn

x

BQgF

nV

由式(14～(16

nn

2

n2 n212

ij xi

Fi

xi

0i

在式(17)中令x0x1 xn1,便得不等式(11),由證明過程 當n為正則單形且n為其切點單形時式(11)中等號成立. 對n維單形nn

n21 2

n!n

當n為正則單形時等號成立.定理1的證明:由不等式(1118

0i a2

n!n V利用結(jié)果

0i

0i

ij22 0i

a2n12R2OG20ij

a2n12R2在引理1中取點P單形n的內(nèi)心I,此時有diri ,n,由不等式(5)nn2nn2n1Vcsc

當n為正則單形時等號成立由式(19)～(22)便得不等式(2),由證明過程 當n為正則單形且點P為其內(nèi)心I時1張垚關(guān)于垂足單形的一個猜想[J系統(tǒng)科學與數(shù)學,199212(4)371375.(ZHANGYao.Aconjectureonthevolumeofsimplexwithfeetofperpendicularasvertexes[J].JSysSciMathScis,1992,12(4):371-375.)[2],如.切點單形的一個幾何不等式[J].數(shù)學的實踐與認識,1987,17(4):71-75.(MAOQi2jiZUOQuan2ru.AgeometricinequalityofthesimplexatthepointofcontactJMathematicsinPracticeandTheory,1987,17(4):71-75.)[3]冷崗松.En中Euler不等式的一個加強[J]