2023屆福建省龍巖市高三數(shù)學(xué)三模試卷及答案

高三數(shù)學(xué)三模試卷一、單項(xiàng)選擇題1.集合，那么圖中陰影局部表示的集合為〔

〕A.

{-1}

B.

C.

D.

2.設(shè)，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

3.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).如下列圖的統(tǒng)計(jì)圖，記這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

4.的展開式中，的系數(shù)為〔

〕A.

-60

B.

-20

C.

30

D.

605.如圖，一個(gè)三棱柱的容器盛有水，水的體積是三棱柱體積的，現(xiàn)將其側(cè)面放置于水平地面，水面恰好經(jīng)過(guò)底邊上的點(diǎn)，那么的值為〔

〕A.

B.

C.

D.

6.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作，垂足為，假設(shè)，那么〔

〕A.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

75°7.在中，角的對(duì)邊為，那么"成立的必要不充分條件為〔

〕A.

B.

C.

D.

8.假設(shè)直線是曲線的切線，也是曲線的切線，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

二、多項(xiàng)選擇題9.以下命題中正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

B.

復(fù)數(shù)的虛部是-2

C.

假設(shè)復(fù)數(shù)，那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

D.

滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線10.兩個(gè)函數(shù)和，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

兩個(gè)函數(shù)的定義域相同

B.

兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)

C.

兩個(gè)函數(shù)的周期相同

D.

兩個(gè)函數(shù)的值域相同11.數(shù)列的前項(xiàng)和是，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，那么數(shù)列為等差數(shù)列

B.

假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，那么數(shù)列為等差數(shù)列

C.

假設(shè)數(shù)列和均為等差數(shù)列，那么

D.

假設(shè)數(shù)列和均為等差數(shù)列，那么數(shù)列是常數(shù)數(shù)列12.在意大利，有一座滿是“斗笠〞的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛(Alberobello)，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rulloTrullo的屋頂，得到圓錐其中為頂點(diǎn)，為底面圓心)，母線長(zhǎng)為6米，是母線的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).從點(diǎn)到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，假設(shè)燈光帶的最小長(zhǎng)度為米.下面說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔

〕A.

圓錐的側(cè)面積為平方米

B.

過(guò)點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積最大值為18平方米

C.

圓錐的外接球外表積為平方米

D.

棱長(zhǎng)為米的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)三、填空題13.是兩個(gè)單位向量，且滿足，那么向量與的夾角為________.14.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上且在第一象限內(nèi)，，那么的離心率為________.15.假設(shè)函數(shù)有零點(diǎn)，那么的取值范圍是________.16.有六個(gè)從左到右并排放置的盒子，現(xiàn)將假設(shè)干個(gè)只有顏色不同的黑球?白球隨機(jī)放入這六個(gè)盒子(每個(gè)盒子只能放入一個(gè)球)，那么事件“從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)盒子，總有黑球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)〞發(fā)生的概率為________.四、解答題17.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且是與的等差中項(xiàng).〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且邊上的中線〔1〕求的值；〔2〕在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：假設(shè)

▲

，那么是否存在？假設(shè)存在，請(qǐng)求出的面積；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.如圖，在三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，〔1〕求證：平面；〔2〕求二面角的余弦值.20.甲?乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù).本次比賽的主辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①假設(shè)有人先贏4場(chǎng)，那么先贏4場(chǎng)者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②假設(shè)無(wú)人先贏4場(chǎng)且比賽意外終止，那么甲?乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.每場(chǎng)比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.〔1〕設(shè)每場(chǎng)比賽甲贏的概率為，假設(shè)比賽進(jìn)行了5場(chǎng)，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得獎(jiǎng)金的分布列；〔2〕規(guī)定：假設(shè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，那么稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否那么認(rèn)為該事件有可能發(fā)生.假設(shè)本次比賽，且在已進(jìn)行的3場(chǎng)比賽中甲贏2場(chǎng)?乙贏1場(chǎng)，請(qǐng)判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金是否有可能發(fā)生，并說(shuō)明理由.21.，曲線由曲線和曲線組成，其中曲線的右焦點(diǎn)為，曲線的左焦點(diǎn).〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)直線過(guò)點(diǎn)交曲線于點(diǎn)，求面積的最大值.22.函數(shù)〔1〕證明：在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；〔2〕證明：.

答案解析局部一、單項(xiàng)選擇題1.【解析】【解答】由圖可得，圖中陰影局部表示的集合為,或，.故答案為：C.

【分析】圖中陰影局部表示的集合為，即可求解結(jié)論。2.【解析】【解答】，，，，，.故答案為：B.

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行判斷即可得出答案。3.【解析】【解答】由統(tǒng)計(jì)圖可得，眾數(shù)為；共有個(gè)數(shù)據(jù)，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)為，所以中位數(shù)為；平均數(shù)，所以.故答案為：B.

【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念，由統(tǒng)計(jì)圖可直接得出結(jié)論。4.【解析】【解答】，要找到展開式中含有的項(xiàng)，需從中找到含有的項(xiàng)，即，故的系數(shù)為-60.故答案為：A.

【分析】把y-2看作整體，那么，從中找到含有的項(xiàng)即可。5.【解析】【解答】因?yàn)樗捏w積是三棱柱體積的，又陰影局部為四棱柱，所以四棱柱的底面積是三棱柱的底面積的，所以無(wú)水局部三棱柱的底面積是大三棱柱底面積的，根據(jù)兩個(gè)三角形相似可得，所以，所以.故答案為：D

【分析】因?yàn)樗捏w積是三棱柱體積的，又陰影局部為四棱柱，所以四棱柱的底面積是三棱柱的底面積的，所以無(wú)水局部三棱柱的底面積是大三棱柱底面積的,根據(jù)兩個(gè)三角形相似，即可求得

的值。6.【解析】【解答】設(shè)，那么，由拋物線的定義可得，即，那么，又，那么，不妨令位于第一象限，那么，即，因此，所以，所以，因此為等邊三角形，所以.故答案為：C.

【分析】由拋物線的定義可得，即，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得、，可求出，因此為等邊三角形，即可得答案。7.【解析】【解答】時(shí)，ABC均成立，D不一定成立，A.，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以，A不符合題意；B.，那么，，或，即或，B符合題意；C.，那么，所以，，C不符合題意；D.時(shí)，由正弦定理得，即，，D不符合題意．故答案為：B．

【分析】根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)，證即可得到答案。8.【解析】【解答】設(shè)曲線上的點(diǎn)，，；曲線上的點(diǎn)，，；，，，．故答案為：D．

【分析】設(shè)曲線上的點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)，利用切點(diǎn)來(lái)尋找切線斜率的聯(lián)系，以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，綜合聯(lián)立求解即可。二、多項(xiàng)選擇題9.【解析】【解答】解：對(duì)于A：，A符合題意；對(duì)于B：故其虛部為，B符合題意；對(duì)于C：，所以在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第四象限，C不符合題意；對(duì)于D：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，表示在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到與的距離之差為常數(shù)，所以復(fù)數(shù)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，D不符合題意；故答案為：AB.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，逐一進(jìn)行判斷，即可得出答案。10.【解析】【解答】解：對(duì)A：的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以A不正確；對(duì)B：因，所以為奇函數(shù)；而，那么為奇函數(shù)，所以B符合題意；對(duì)C：因，所以周期為；又，那么周期也為，所以C符合題意；對(duì)D：因，而，所以兩個(gè)函數(shù)值域不相同，所以D不正確.故答案為：BC.

【分析】對(duì)各選項(xiàng)逐一利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可。11.【解析】【解答】對(duì)于A中，假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，可得，因?yàn)槭醉?xiàng)不確定，所以數(shù)列為不一定是等差數(shù)列，所以A不正確；對(duì)于B中，假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，那么，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，那么，由，那么，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以B符合題意；對(duì)于C中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，那么，可得，那么常數(shù)，所以，即，所以，所以，且，所以，所以C符合題意；對(duì)于D中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，那么，可得，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以為常數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以D符合題意.故答案為：BCD.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前

項(xiàng)和公式進(jìn)行分析，并作出判斷，即可得出答案。12.【解析】【解答】設(shè)圓錐底面半徑為如圖，中，，∴，∴，所以米，所以圓錐的側(cè)面積為平方米，A符合題意；在中，，，所以過(guò)點(diǎn)平面截此圓錐所得截面面積最大為平方米，B不符合題意；設(shè)圓錐的外接球半徑為，那么，又，所以，∴，圓錐的外接球外表積為，C不正確；設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，那么，∴，在棱長(zhǎng)為米的正四面體中，設(shè)其外接球半徑為，那么此正四面體的底面外接圓半徑為，高為，所以，所以，因?yàn)?，所以棱長(zhǎng)為米的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，D符合題意.故答案為：AD

【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖、余弦定理、扇形的弧長(zhǎng)公式可求出圓錐的底面半徑，進(jìn)而可求出圓錐的側(cè)面積，可知A正確;過(guò)點(diǎn)S平面截此圓錐所得截面面積最大為,計(jì)算可知，B錯(cuò)誤;計(jì)算出圓錐SO的外接球半徑后，再求出其外表積，可知C不正確;求出圓錐的內(nèi)切球的半徑和棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的半徑，比較可知，D正確.三、填空題13.【解析】【解答】由，得，是兩個(gè)單位向量，所以，所以向量與的夾角的余弦為：，所以向量與的夾角為.故答案為：.

【分析】由，得，可得，即可求出向量與的夾角的余弦，進(jìn)而得出答案。14.【解析】【解答】記雙曲線的右焦點(diǎn)為，因?yàn)樵谏锨以诘谝幌笙迌?nèi)，，所以，代入雙曲線方程可得，，即，那么，又，所以，即，那么，所以，那么，解得或〔舍〕.故答案為：.

【分析】記雙曲線的右焦點(diǎn)為，因?yàn)樵谏锨以诘谝幌笙迌?nèi)，，所以，代入雙曲線方程可得，，即，那么，再由，可得，進(jìn)而得出，求解可得

的離心率。15.【解析】【解答】令，所以，令，，那么函數(shù)有零點(diǎn)，即為，有交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，所以要使與有交點(diǎn)，那么需或，故答案為：．

【分析】令，所以，令，，那么函數(shù)有零點(diǎn)，即為，有交點(diǎn)，根據(jù)和結(jié)合根本不等式，即可求出

的取值范圍。16.【解析】【解答】每個(gè)盒子都有兩種可能，所以根本領(lǐng)件有種.符合條件的根本領(lǐng)件有：①六黑有一種：黑黑黑黑黑黑；②五黑一白有：黑黑黑黑黑白，黑黑黑黑白黑，黑黑黑白黑黑，黑黑白黑黑黑，黑白黑黑黑黑；共5種；③四黑二白有：黑白黑白黑黑，黑白黑黑白黑，黑白黑黑黑白，黑黑白黑黑白，黑黑白黑白黑，黑黑白白黑黑，黑黑黑白白黑，黑黑黑白黑白，黑黑黑黑白白；共9種；④三黑三白有：黑黑黑白白白，黑黑白黑白白，黑白黑黑白白，黑白黑白黑白，黑黑白白黑白；共5種；所以，事件“從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)盒子，總有黑球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)〞發(fā)生的概率為.故答案為：.

【分析】根據(jù)列舉法求出概率即可得出答案。四、解答題17.【解析】【分析】〔1〕運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求。

〔2〕求得，由裂項(xiàng)求和法即可求出數(shù)列

的前

項(xiàng)和

。18.【解析】【分析】〔1〕利用向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出

的值；

〔2〕由余弦定理可得，選①當(dāng)

時(shí)，由余弦定理得，

解得

與

矛盾，此時(shí)

不存在；選②當(dāng)

由余弦定理得，根據(jù)三