調(diào)和數(shù)列研究課件

2、提出問(wèn)題：H(n)是否收斂？我們借助于數(shù)學(xué)軟件Mathematica對(duì)H(n)的收斂性進(jìn)行觀察。

Step1定義前n項(xiàng)和H(n)H[n_]:=Sum[1/k,{k,1,n}]

Step2列出H(n)隨n變化的數(shù)據(jù)表

t=Table[{n,N[H[n],6]},{n,1,100}]nH[n]11.0000021.5000031.8333342.08333…………995.177381005.1873810007.48547100009.78761100000014.39273

Step3根據(jù)數(shù)據(jù)表畫出H(n)的圖形

ph1=ListPlot[t]通過(guò)對(duì)所得圖象的觀察和分析，我們發(fā)現(xiàn)它很接近對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象。我們把它與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx

的圖象一起比較一下。

Step4與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx作比較

ph2=Plot[Log[x],{x,1,100}]Show[ph1,ph2]根據(jù)圖象比較的結(jié)果可以看出，當(dāng)n很大時(shí)，H(n)的圖象與ln(n)的圖象非常相似，但它們大致相差一個(gè)常數(shù)。這個(gè)常數(shù)約為

C=H(100)-ln100≈0.5822.我們將lnx的圖象向上平移C個(gè)單位后再進(jìn)行觀察。

c1=H[100]-Log[100]ph3=Plot[Log[x]+c1,{x,1,100}]Show[ph1,ph3]

猜測(cè)1

調(diào)和數(shù)列的前n項(xiàng)和H(n)是發(fā)散數(shù)列，它的數(shù)值與ln(n)+C很接近。

猜測(cè)2

數(shù)列H(n)-ln(n)可能是收斂的?？梢缘玫饺缦碌臄?shù)據(jù)表：

Step5用計(jì)算數(shù)據(jù)作印證對(duì)充分大的n，計(jì)算H(n)-ln(n)的值：

t2=Table[N[{n,H[n],Log[n],H[n]-Log[n]},10],{n,1000,10000,1000}]nH(n)ln(n)H(n)-ln(n)10007.485470861

6.9077552790.577715581620008.1783681047.60090245950.577465644130008.5837498908.006367568

0.577382322340008.8713903008.29404964010.577340659750009.0945088538.5171931910.57731566160009.2768137448.6995147480.577298995970009.4309525208.8536654280.577287091880009.5644749848.98719682070.577278163690009.6822510769.1049798560.5772712194100009.7876060369.2103403720.5772656641

3、研究數(shù)列H(n)-ln(n)的收斂性

Step1

令C(n)=H(n)-ln(n)，通過(guò)圖象觀察其特性：

Cup[n_]:=H[n]-Log[n]tup=Table[{n,N[Cup[n],6]},{n,1,100}]ph4=ListPlot[tup,PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]

Step2

令c(n)=H(n)-ln(n+1)，通過(guò)圖象觀察其特性：

Clow[n_]:=H[n]-Log[n+1]tlow=Table[{n,N[Clow[n],6]},{n,1,100}]ph5=ListPlot[tlow,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]

Step3

比較C(n)和c(n)，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖象。

Show[ph4,ph5]通過(guò)觀察可知如下事實(shí)：

1、C(n)是單調(diào)遞減數(shù)列；

2、c(n)是單調(diào)遞增數(shù)列；

3、c(n)≤C(n)；

4、c(n)，C(n)都是收斂數(shù)列，而且它們有相同的極限。

4、結(jié)論與證明結(jié)論：