離散型隨機變量的方差【 高效備課精研 + 知識精講提升】 高二數(shù)學 課件(人教A版2019選擇性必修第三冊)

7.3.2離散型隨機變量的方差第七章

隨機變量及其分布復習回顧1.離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱期望.若X服從兩點分布，則E(X)=_____p數(shù)學期望的線性性質(zhì):E(aX＋b)=__________aE(X)＋b2.求離散型隨機變量均值的步驟：(1)確定隨機變量取值(2)求概率(3)寫分布列(4)求均值新課導入隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征.新知探究：離散型隨機變量的方差與標準差的概念問題1從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評價這兩名同學的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過計算可得，由于兩個均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學的射擊水平.評價射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.E(X)=8；E(Y)=8

新知探究：離散型隨機變量的方差與標準差的概念問題2怎樣刻畫離散型隨機變量取值的離散程度?（如何比較離散程度）為了能直觀分析甲乙兩名擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下面我們分別作出X和Y的概率分布圖.O678109P0.10.20.30.4O678109P0.10.20.30.4

比較兩個圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學的射擊成績更穩(wěn)定.追問：怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度?新知探究：離散型隨機變量的方差與標準差的概念我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的，所以我們可以用能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量隨機變量的離散程度.

樣本的方差

：隨機變量的方差

Xx1x2???xnPp1p2???pn

Xx1x2???xnPp1p2???pn設離散型隨機變量X的分布列如下表所示.隨機變量X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方為(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，???，(xn－E(X))2.所以偏差平方的平均值為(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋???＋(xn－E(X))2pn.新知探究：離散型隨機變量的方差與標準差的概念

一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示.Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱為隨機變量X的標準差，記為σ(X).隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.概念生成離散型隨機變量的方差：分別計算兩位同學的方差?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03已知：E(X)=8；E(Y)=8∴隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學的射擊成績相對更穩(wěn)定.問題1從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.在方差的計算中，為了使運算簡化，還可以用下面的結論.證明：講解新知問題3

離散型隨機變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣的變化?離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質(zhì)有什么不同?新知探究：離散型隨機變量的方差的性質(zhì)

方差的性質(zhì)：一般地，可以證明下面的結論成立：解：1.已知隨機變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).課本70頁鞏固練習例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.解：隨機變量X的分布列為典例解析典例解析例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差.解2：隨機變量X的分布列為(1)寫分布列(2)求均值E(X)(3)求方差D(X)說明:方差的計算需要一定的運算能力，在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實用的方法．典例解析例2

投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風險較高?

分析：如果隨機變量是風險投資的收益,那么方差的大小大小反映了投資風險的高低.典例解析股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3∵E(X)>E(Y),∴投資股票A的期望收益較大.解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,

E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投資股票A比投資股票B的風險高.解:(2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12=1.29,

D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3?12=0.6.

隨機變量的方差是一個重要的數(shù)字特征,它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度,或者說反映隨機變量取值的離散程度.在不同的實際問題背景中,方差可以有不同的解釋----（1）如果隨機變量是某項技能的測試成績,那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性;（2）如果隨機變量是加工某種產(chǎn)品的誤差,那么方差的大小反映了加工的精度;（3）如果隨機變量是風險投資的收益,那么方差的大小大小反映了投資風險的高低.決策問題概念解讀3.甲、乙兩個班級同學分別目測數(shù)學教科書的長度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測誤差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直觀判斷X和Y的分布哪一個離散程度大，再分別計算X和Y的方差，驗證你的判斷.乙班的目測誤差分布列Y